第四章：刚体转动习题解答.pdf

第四章 刚体一章习题解答 习题 4 1如图所示 X轴沿水平方向 Y轴竖直向下 在t 0 时刻将质量为m 的质点由a处静止释放 让它自由下落 则在任意时刻t 质点对原点O的力矩 M 在任意时刻t 质点对原点的角动量 L 解 作用于质点上的重力为 jmgG 任一时刻t质点 也是重力的作用点 的位 置矢量为 jgti br 据定义 该重力对原点O点的力矩为 kbmgjmgjgti bGrM 任一时刻t质点的动量为 jmgtmP v 据定义 质点对原点O的角动量为 kbmgtjmgtjgti bPrL 习题 4 2我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运 动 地球的中心O为椭圆的一个焦点 如图 已知地球半径R 6378km 卫星与地面的最近距 离l1 439km 与地面的最远距离l2 238km 若 卫星在近地点A1的速度v1 8 1km s 则卫星在 远地点的速度v2 解 卫星受到地球引力 有心力 的作用 对地心O的角动量守恒 X Y O a b 习题 4 1 图 v gt 卫星 A1A2 Rl1l2 O 1 v 2 v 习题 4 2 图 因此 2211 vvmlRmlR 解得 3 61 8 2386378 4396378 1 2 1 2 vv lR lR km s 习题 4 3光滑圆盘面上有一质量为m的物体A 栓在一根穿过圆盘中心光滑 小孔的细绳上 如图所示 开始时 物体距离圆盘中心O的距离为r0 并以角 速度 0 绕圆盘中心O作圆周运动 现向下拉绳 当物体A的径向距离由r0减少 到2 0 r时 向下拉的速度为v 求下拉的过程中拉力所作的功 分析 下拉过程并不是缓慢的 在下拉过程中的任一时刻 物体的速度不是 刚好沿半径为r的切线方向 而是既有切向分量 又有法向分量 另一方面 此 题可以考虑用动能定理求拉力的功 这就得先求出物体的末态速度 解 设在末态物体的速度的切向分量为vt 法向分量为vn 亦为下拉速度 由角动量守恒可 得 t m r mrvv 2 0 00 所以 末态速度的切向分量 000 22 r t vv 由质点动能定理 下拉的过程中拉力所作的功 2 0 22 0 2 1 2 1 vvvmmEEA ntkk 2 0 22 00 2 1 2 2 1 rmrm v 22 0 2 0 2 1 2 3 vmmr v 0 r 0 习题 4 3 图 A O 习题 4 4质量为m1的粒子A受到第二个粒子B的万有引力作用 B保持在原 点不动 最初 当A离B很远 r 时 A具有速度 0 v 方向沿图中所示直线 Aa B与这条直线的垂直距离为D 粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路 线 沿着图中所示的轨道运动 已知这轨道与B之间的最短距离为d 求B的质 量mB 解 粒子A在粒子B的有心力场中运动 系统的角动量和机械能均守恒 因此 我们可以得到 vv 101 mdmD d mm Gmm B12 1 2 01 2 1 2 1 vv 联立 两式解得B的质量为 Gd dD mB 2 2 0 22 v 习题 4 5在光滑的水平面上 一根长L 2m 的绳子 一端固定于O点 另一 端系一质量m 0 5kg 的物体 开始时 物体位于位置A OA间距离d 0 5m 绳 子处于松弛状态 现在使物体以初速度vA 4m s 垂直于OA向右滑动 如图所示 设以后的运动中物体到达位置B 此时物体速度的方向与绳垂直 则此刻物体对 O点角动量的大小LB 物体速度的大小vB 解 由质点角动量守恒定律有 BA mLmdvv 因此 物体在B点时对O点的角动量为 smkg145 05 0 2 AAB mdLLv 物体在B点时的速度为 m s1 2 45 0 AB L d vv 习题 4 6一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动 该曲线在直角坐标系下 0 v v A a D B 习题 4 4 图 d 习题 4 5 图 A v A B d O B v 的定义为 j tbi tar sincos 其中a b 皆为常数 则此质点所受的对 原点的力矩 M 该质点对原点的角动量 L 解 依定义 质点的加速度 rj tbi ta dt rd dt d a 22 2 2 sincos v 质点受到的力为 rmamF 2 因此力矩 0 2 rrmFrM 因为 j tbi ta dt rd cossin v 所以质点角动量为 cossin sincos j tbi tamj tbi tamrPrL v kabmktabmktabm sin cos 22 习题 4 7两个匀质圆盘A和B的密度分别为 A 和 B 若 BA 但两圆 盘的质量和厚度相同 如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为JA 和JB 则 A BA JJ B BA JJ 因而 BA JJ C 21 D 开始时 21 以后 21 解 由牛顿定律及转动定律 对A 1 1 Ra JTR MaTMg 对B 2 JFR 从以上各式可解得 2 1 MRJ MgR J MgR J FR 2 显然 21 0 求圆盘的角速度从 0 变为2 0 所需要的 时间 解 由转动定律 dt d JkM 分离变量并积分 t dt J kd 0 2 0 0 解得 2ln k J t 习题 4 22一轻绳跨过两个质量均为m 半 径均为r的均匀圆盘状定滑轮 绳的两端分别 挂着质量为m和 2m的重物 如图所示 绳与 滑轮之间无相对滑动 滑轮轴光滑 两个定滑 轮的转动惯量均为2 2 mr 将由两个定滑轮以 及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释 放 求两滑轮之间绳内的张力 解 对滑轮和重物分别列式可得 ra mamgT mrrTT mrrTT maTmg 2 2 23 2 31 1 2 1 2 1 22 联立以上五式可求得两滑轮之间绳内的张力 mgT 8 11 3 习题 4 23质量分别为m和 2m 半径分别为 r和 2r的两个均匀圆盘 同轴地粘在一起 可 绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑轴转动 对轴的转动惯量为29 2 mr 大小圆盘边缘均绕 有绳子 绳子下端都挂有一个质量为m的重物 如图所示 求盘的角加速度的大小 2m m m rm r 习题 4 22 图 2m 2mg T1 T1 T3T3 T2 T2 m mg 题解 4 22 图 2r m mm 2m r 习题 4 23 图 解 由示力图可得如下方程 2 1 21 22 11 2 2 ar ar JrTrT mamgT maTmg 联立以上五式可解得 r g 19 2 习题 4 24有一质量为m1 长为l的均匀 细棒 静止平放在滑动摩擦系数为 的水平 桌面上 它可绕通过其水平端点O且与桌面 垂直的光滑固定轴转动 另有一水平运动的 质量为m2的小滑块 从侧面垂直于棒与棒 的另一端A相碰撞 设碰撞时间极短 已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 1 v 和 2 v 如图所示 求碰撞后从细棒开始转动到停止 转动的过程所需的时间 已知棒绕O点转 动的转动惯量3 2 1l mJ 解 碰撞过程时间极短 小滑块与细棒之间内力矩远大于外力矩 摩擦力矩 因此系统角动量守恒 3 1 2 12212 lmlmlm vv 解得 lm m 1 212 3vv 该角速度是细棒开始转动的初角速度 细棒转动中所受到的摩擦力矩可用积分求 达得 在细棒上距O为x处取一小段dx 其受到的元摩擦力矩为 xgdx l m dM f 1 俯视图 1 v 2 v m1 l m2 O A 习题 4 24 图 mgmg T1T2 T2T1 题解 4 23 图 N Mg 2rr 细棒所受到的摩擦力矩为 glmxdxg l