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Ch10统计预测与预警 统计学原理 10 1统计预测的基本问题 10 2趋势预测 new 10 3季节变动预测 new 10 4时间数列预警分析 new 主要介绍 统计预测的基本方法 统计预警的基本原理与方法 Ch10主要内容 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 10 2趋势预测 new 10 3季节变动预测 new 10 4时间序列预警分析 new Ch10学习目的 1 掌握统计预测的基本原理与方法2 掌握统计预警的基本原理与方法 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 10 2趋势预测 new 10 3季节变动预测 new 10 4时间序列预警分析 new Ch10统计预测与预警 统计学原理 10 1统计预测的基本问题 10 2趋势预测 new 10 3季节变动预测 new 10 4时间数列预警分析 new 10 1统计预测的基本问题 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 10 2趋势预测 new 10 3季节变动预测 new 10 4时间序列预警分析 new 10 1 1统计预测的概念和分类 10 1 2统计预测的基本假设 10 1 3统计预测的步骤 10 1 4预测结果评价与误差分析 返回 10 1 1统计预测的概念和分类 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 统计预测 就是以统计资料为基础 运用统计方法 建立数学关系模型 对现象的未来发展状况 做出测算和推断 定性预测法 是以逻辑判断为主 根据个人的经验 阅历 学识和智慧 通过类比 分析和综合的方法 就现象在未来的表现或发展方向 做出直观判断 预测所用的方法比较简单 定量结果较为粗糙 具体方法有 领先指标法 主观概率法 专家意见法 群众评估法等 定量预测法 在定性的基础上 通过充分描述现象之间的统计依存关系 利用统计资料 建立变量关系模型 从一个变量的数值变化 预测另一个变量的数值变化 具体方法有 因果分析法 趋势预测法 回归预测法 时间序列预测法 定量预测的特点是 方法比较复杂 但预测的精度较高 返回 10 1 2统计预测的基本假设 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 连续性假设 假设包括两方面内容 其一是指现象的历史传递具有规律性 其二是指预测对象与其影响因素的结构关系 具有相对稳定性 所以 可以对现象的发展过程进行模拟 利用历史资料推断未来 类推假设 所谓类推 是指预测对象与其他已知事物之间 存在某种程度的相似性 如结构和发展模式相类似 因此可以类比 相关性假设 现象之间的相关 大多与因果关系有联系 任何事物的变化都有其原因 有一个原因 就必然有一个结果 利用现象之间的相关性 可以建立预测对象与其影响因素之间的数量变动关系 根据已知的影响因素 推断预测对象的未来数值 动态性假设 规律是客观的 规律的存在是有一定条件的 如果客观条件发生了变化 则原来起作用的规律也就随之改变 因此 必须处理好规律与客观条件的关系 具体地说 就是要注意掌握模型外推预测的适用范围 返回 10 1 3统计预测的步骤 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 确定预测对象 搜集资料 资料是统计预测的基础 数据资料要求完整 准确 具有可比性 建立预测模型 资料审核 调整后 要分析其结构形式和变化趋势 提出能够描述其变动特性的预测模型 并估计出模型参数 检验预测模型 模型估计后 一般要经过检验才能用于预测 精确的统计预测方法 如回归预测模型 随机时间序列模型 都规定了 统计上是否可靠 的检验程序 必须严格执行 分析预测误差 改进预测模型 对误差产生的原因 要客观分析 改进模型的缺陷 努力提高预测的精度 返回 10 1 4预测结果评价与误差分析 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 确定预测精度指标 预测误差 设预测指标的实际值为Y 预测值为 令 Y 10 1 1 则称 为预测误差 显然 越小越好 预测的相对误差 预测误差在实际值中所占比例称相对误差 记为 Y 10 1 2 该指标克服了预测指标本身量纲的影响 可用于不同预测问题精度的比较 均方根误差 n个预测误差 t2 Yt t 2 t 1 2 3 n 1 n的平均数称为均方误差 MSE 其算术根就是均方根误差 记为RMSE 即 10 1 3 平均绝对百分误差 n个预测相对误差 t t 1 2 3 n 1 n绝对值的平均数称为平均绝对百分误差 以MAPE表示 10 1 4 10 1 4预测结果评价与误差分析 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 误差指标的计算在预测过程中 用样本期的实际值Y1 Y2 Yn建立预测模型 由此模型估计的数值 1 2 n 再现了样本期的状况 称历史模拟 利用预测模型 对样本期外实际已发生的若干时期情况所作的预测 为事后预测 对尚未发生的未来时期情况所进行的预测 叫事前预测 不论是事前预测还是事后预测 均可以计算它们的预测误差 事后预测所发生的误差 是已发生的误差 也叫外推误差 事前预测所发生的误差 是尚未发生的误差 是一个未知数 它可以用模拟误差来估计 也可以用外推误差来估计预测误差 是检验模型预测能力的一个重要指标 为了综合评价模型的预测能力 往往把已掌握的历史数据 分成两个部分 大部分数据作为样本用来建立预测模型 小部分数据用来做外推检验 上述检验的图示如下 返回 10 2趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 10 2趋势预测 new 10 3季节变动预测 new 10 4时间序列预警分析 new 10 2 1平稳型趋势预测 10 2 2线性趋势预测 10 2 3二次曲线趋势预测 10 2 4成长曲线预测模型 返回 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 如果序列 Yt Y1 Y2 Yn 的各期数据 围绕某一水平线上下波动 其统计特性不随时间t的推移而变化 则表明预测对象的变动是平稳的 其数列就是一个平稳趋势数列 严格平稳的趋势数列 其趋势预测值可以写成 t 1 b0 其中b0为一个与时间t无关的常数 为了求得未来预测值 t 1 b0 可以通过计算数列的序时平均数 消除随机变动影响 显示出现象的趋势水平b0 通常有以下处理方法 固定平均法 严格平稳的趋势数列移动平均法 存在潜在趋势的数列一次指数平滑法 严格平稳的趋势数列 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 固定平均法 以全部样本数据 Y1 Y2 Yn t n 的平均数 10 2 1 作为未来值 t 1的一个估计 10 2 2 若Yt 1已经观察到 则 t 1 Yt 1 t 1 10 2 3 是预测误差 上述预测公式 各期的观察值赋予相同的权数1 n 如果对各期的观察值采用不等权组合 10 2 4 可期望得到比 10 2 2 式更好的预测结果 此时 10 2 5 这里 1 2 n n是近期的权 1是远期的权 目的是保证各期观察值对预测值的影响由近及远逐渐减少 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 移动平均法 方法适用于存在潜在趋势的平稳趋势预测 就是随时间的推移 不断舍弃老的数据 而加入新的数据求平均值 以此作为对未来值的估计 这一方法与固定平均法的区别是 它是从变参数的角度 来处理平稳趋势数列的预测问题 它的预测模型是 t 1 bt 其中bt是一个与t有关的局部常数均值 它可以按一定的规则 顺序地从序列 Yt t 1 2 3 n 总体中抽取m个样本数据 计算顺序平均数来求得 简单移动平均法加权移动平均法 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 简单移动平均法 从序列 Yt t 1 2 3 n 总体中抽取第t期的前m个样本数据 Yt Yt 1 Yt 2 Yt m 1 m n 并以Mt 1 表示第t期的m项一次移动平均数 10 2 6 用作t 1期的预测值 即 t 1 Mt 1 bt 10 2 7 同样 也可以从序列 Yt t 1 2 3 n 总体中 抽取第t 1期的前m个数据 Yt 1 Yt Yt 1 Yt m 2 m n 计算第t 1期的m项一次移动平均数 10 2 8 并作t 2期的预测 则 t 2 Mt 1 1 bt 1 10 2 9 如此反复 求得 t 1 bt t 2 bt 1 t 3 bt 2 t 4 bt 3 等等 显然 一次移动平均法只有一期的预测能力 若进行多期预测 则要对反复计算移动平均数 但这种情况下很可能产生预测的累积误差 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 加权移动平均法 取权数 0 1 2 m 2 m 1 且 0 1 2 m 2 m 1 对 10 2 6 式进行加权计算平均数 10 2 10 作t 1期的预测 有 t 1 M t 1 bt 10 2 11 同样 也可以取相同权 0 1 2 m 2 m 1 且 0 1 2 m 2 m 1 对 10 2 8 式加权 10 2 12 并作t 2期的预测 则 t 2 M t 1 1 bt 1 10 2 13 如此反复 也求得 t 1 bt t 2 bt 1 t 3 bt 2 t 4 bt 3 等等 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 一次指数平滑法 是对移动平均法的改进 将 10 2 6 式变形写成如下形式 10 2 14 显然 10 2 14 式有递推功能 可递推求出一次移动平均数序列 由于Mt 1 1 作为Yt 1 Yt 2 Yt m的平均数 对这个序列具有代表性 故Yt m可作为Mt 1 1 的估计值 则 10 2 15 令1 m St 1 Mt 1 得到St 1 Yt 1 St 1 1 10 2 16 称为一次平滑公式 St 1 称为第t期的一次平滑值 为平滑系数 平滑公式 10 2 16 做向前一期预测 于是 t 1 St 1 bt t St 1 1 bt 1 10 2 17 有 t 1 t Yt t t t 10 2 18 平滑预测含有误差校正机制 当本期预测误差Yt t t0时 就在下一期把预测值增大一些 因此 其实是预测误差纠正系数 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 利用平滑公式 10 2 16 做向前一期预测 需要确定 和平滑初始值S0 1 和S0 1 的确定 是重要的技术问题 首先 由于 是纠错系数 不同的 值 其预测能力和纠错能力 也就有所不同 通常 主要是依据时间序列波动的状况来考虑 的取值 当时间序列的波动较大时 0 4 0 9 反之 当波动较小时 0 1 0 3 如果不容易判断 可取几个不同的 值进行试算 然后选用误差较小的 其次是S0 1 的确定 这与样本序列的项数m有关 m 30 经过多次平滑运算 初始值的影响越来越小 可取S0 1 Y0 或Y1 m 30 平滑运算的次数有限 初始值的影响仍很大 宜取S0 1 Y1 Y2 2或S0 1 Y1 Y2 Y3 3 在实际应用中 指数平滑法一般不直接用作预测 因为有比其简单而更有效的方法可供选用 而是用来平滑数列中的季节成分或随机成分 为其它预测方法做技术准备 比如 为了能更好的平滑数据 常常采用二次乃至更高次的滑动平均 例如 若St 1 1Yt 1 1 St 1 1 1 1 n1 10 2 21 则St 2 2St 1 1 2 St 1 2 2 1 n2 10 2 22 St 3 3St 2 1 3 St 1 3 3 1 n3 10 2 23 10 2 22 式就是二次指数平滑公式 10 2 23 式则是三次指数平滑公式 在此基础上 可形成隐藏着其它趋势的序列预测公式 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 例10 1 我国1985 2002年的粮食播种面积如表11 1 试用移动平均法和指数平滑法预测2003年的播种面积 根据Yt样本期的分布状况 1985年以来我国粮食播种面积没有明显的上升 下降趋势变动 所以可选用平稳趋势型的预测方法 10 2 1平稳型趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 例10 1 我国1985 2002年的粮食播种面积如表10 1 试用移动平均法和指数平滑法预测2003年的播种面积 根据Yt样本期的分布状况 1985年以来我国粮食播种面积没有明显的上升 下降趋势变动 所以可选用平稳趋势型的预测方法 1 简单移动平均法 取n 3 M87 1 110845 110933 111268 3 111015 3 故 88 M87 1 111015 3 同理 2003 108463 106080 103891 3 106144 7 2 加权移动平均法 取 2 1 1 2 0 3 可计算M87 1 1 110845 2 110933 3 111268 6 111085 8 它代表1988年的模拟值 同理 可计算出2003年预测值 2003 1 108463 2 106080 3 103891 6 105382 7 3 指数平滑法 取平滑系数 0 85 平滑初始值S87 1 Y85 Y86 Y87 3 111015 3 从1987年起开始计算平滑值 即S87 1 0 85 111268 0 15 111015 3 111230 1作为1988年的模拟值 同理 2003 S2003 1 0 85 103891 0 15 106544 8 104289 1 4 从1985 2002各年的相对误差来看 上述三种预测方法都达到了较好的预测效果 三项简单移动平均 加权移动平均和指数平滑法的MAPE 分别为2 02 1 78 和1 48 差别不大 返回 10 2 2线性趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 加权最小二乘法 二次指数平滑法 10 2 2线性趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 加权最小二乘法 简称WLS 是OLS法的一种改进形式 它在构造参数评价函数时 采取远小近大 逐期递减原则 对各期离差平方逐次加权 最常用的方法是 对每个离差平方赋予一个指数权数 n t 0 1 t 1 2 n 估计参数时使显然 n t单调递增 n t对于远期数据起着 打折扣 的作用 值越接近于0 折扣作用越大 值越接近于1 折扣作用越小 当 1 WLS就是OLS 10 2 2线性趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 以直线趋势方程 t b0 b1t为例 其加权的剩余平方和为 10 2 24 将二次函数 10 2 24 式对待估参数b0 b1分别求偏导数 得到正规方程组 10 2 25 解方程组求出的b0 b1就是加权最小二乘估计值 其预测方程为 t b0 b1t 10 2 26 将相应的t 1 2 3 n n 1 n 2 值代入即可 10 2 2线性趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 二次指数平滑法如果 Y1 Y2 Yn t n 存在线性趋势 可利用二次指数平滑法 变参数线性外推预测 t K at btK 10 2 27 其中 10 2 28 式中 t表明现期 K是从t期起推向未来的期数 参数at bt是局部时段内的常数 但从长期而言是变参数 参数at bt可以运用布朗二次指数平滑法 由 10 2 28 式动态求出 显然 要估计at bt 首先必须计算一次平滑值St 1 和二次平滑值St 2 St 1 St 2 由 10 2 21 10 2 22 式确定 平滑时 令 1 2 S0 2 S0 1 预测公式 10 2 27 有无限期的预测能力 当K 1时 有 10 2 32 作K 2期预测时 应由 10 2 28 式递推求出样本最末期的at bt值 代入 10 2 27 式计算 t K 返回 10 2 3二次曲线趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 二次曲线的外推预测方程为 t K at btK ctK2 10 2 33 式中 t K含义如前 参数at bt ct是局部时段内的常数 但从长期而言也是变参数 动态参数at bt ct由下式求得 10 2 34 其中 一次平滑值St 1 二次平滑值St 2 三次平滑值St 3 由 10 2 21 10 2 22 10 2 23 式确定 同样 平滑时 令 1 2 3 模型 10 2 33 有无限期的预测能力 当K 1 且at bt ct分别用 10 2 34 式求得时 可获得第t 1期的预测公式 10 2 35 作K 2期预测以及计算样本期模拟趋势值的方法 与二次指数平滑法估计的线性方程类似 且可取平滑初始值S0 3 S0 2 S0 1 10 2 3二次曲线趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 例10 3 某地区的商品库存如表 要求用三次指数平滑法建立二次曲线模型预测第16 17 18期的商品库存 取 0 6 10 2 3二次曲线趋势预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 例10 3 某地区的商品库存如表 要求用三次指数平滑法建立二次曲线模型预测第16 17 18期的商品库存 取 0 6 解 以t 15为预测起点 利用 10 2 34 式计算得at 228 9226 bt 11 46575 ct 0 576841于是二次曲线预测模型为 t K at btK ctK2 228 9226 11 46575K 0 576841K2利用 10 2 33 式计算得 t 1 at bt 1 ct 12 240 9652 16 t 2 at bt 2 ct 22 254 1615 17 t 3 at bt 3 ct 32 268 5114 18 返回 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 指数曲线趋势方程修正指数曲线趋势方程Compertz曲线趋势方程Logisti曲线趋势方程 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 指数曲线趋势方程对于时间序列t 1 2 3 4 5 n 1 nYt Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Yn 1 Yn如果Yt的发展按指数规律变化 或者Yt的逐期观察值 按一定的百分比增长或衰减 则可以用指数曲线模型来描述 t abt 式中 a b为待估参数 若b 1 Yt随t的增加而增加 若b0 b 1 Yt的趋势值 t随t的减少而趋于极限值0 为确定指数曲线模型中的a b 可采取 线性化 方法 将其化为对数直线形式 即两端取对数 有ln t lna lnb t然后根据最小二乘法 得到求解lna lnb的标准方程 9 3 21 求出lna lnb后 再取其反对数 即得a b 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 修正指数曲线趋势方程对于时间序列t 1 2 3 4 5 n 1 nYt Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Yn 1 Yn如果Yt的发展按指数规律变化 或者Yt的逐期观察值 按一定的百分比增长或衰减 但存在一个增长极限K 则可以用修正指数曲线模型来描述 t K abt 求K a b的方法 是先用 差分化 将修正指数曲线模型化为指数曲线模型 t a 1 1 b bt 即用 t去拟合时间序列 Y t 用最小二乘法求出a b后由 Yt t 0求出K 9 3 22 求K a b更一般的方法是三和法 其基本思想是 将时间序列观察值 等分为三个部分 每部分有m个时期 根据趋势值 t的三个局部总和 分别等于原序列Yt的三个局部总和 来确定K a b 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 设观察值的三个局部总和 分别为S1 S2 S3 即 9 3 23 根据三和法的要求 有 9 3 24 解得 9 3 25 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 例9 12 利用我国1978 2001年小麦单产数据 用修正指数曲线法拟合小麦单产的长期趋势 解 将1978 2001年数据等分为3部分 于是m 8 根据三和法公式解得 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 则小麦单产修正指数曲线方程为 t 6028 4133 08 0 971305 tt 1 2 3 n 1 n将t 1 2 3 23 24依次代入趋势方程 结果列入计算表的第4栏中 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new Compertz曲线趋势方程对于时间序列t 1 2 3 4 5 n 1 nYt Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Yn 1 Yn如果Yt的发展按增长曲线规律变化 且初期增长缓慢 以后逐渐加快 达到一定程度后 增长率又逐渐下降 最后接近一条水平线 并且增长曲线的两端 都有一条水平渐近线 其上渐近线为Y K 下渐近线为Y 0 则Yt可以用Compertz曲线模型来描述 式中 a b K为待估参数 00 为确定a b K 可先 对数化 得一个修正指数曲线模型ln t lnK lna bt然后按修正指数曲线模型求参数的方法 确定Compertz曲线模型中的a b K 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new 如果是用三和法求a b K 则 9 3 26 并且有 10 2 4成长曲线预测 Ch10统计预测与预警 10 2趋势预测 new Logisti曲线趋势方程Logisti曲线的特点 与Compertz曲线特点相似 但方程却为修正指数曲线的倒数 t 1 K abt 确定a b K的方法是 倒数化 得一个修正指数曲线模型1 t K abt 然后按修正指数曲线模型求参数的方法 用1 Yt去拟合1 t 求出a b K 返回 10 3季节变动预测 Ch10统计预测与预警 10 1统计预测的基本问题 10 2趋势预测 new 10 3季节变动预测 new 10 4时间序列预警分析 new 10 3 1分解分析预测法 10 3 2合成分析预测法 10 3 3季节模型的指数平滑法 返回 10 3 1分解分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 分解分析预测 就是从时间序列Yt中 把趋势变动Tt 季节变动S t 循环变动Ct 随机变动It分离出来 并在此基础上向前延伸推断 以乘法模型为例 因为Yt Tt S t Ct It t 1 2 3 n 1 n 10 3 1 所以 预测的理论公式应为 t E Yt Tt S t Ct t 1 2 3 n 1 n 10 3 2 但在实际应用中 Ct难以确定 而且 在做短期预测时 Ct不是主要因素 通常把它归入随机变化 t Ct It之中 即Yt Tt S t t t 1 2 3 n 1 n 10 3 3 于是 在E t 1 E t2 2条件下 有预测公式为 t E Yt Tt S t 10 3 4 注意到在预测公式 10 3 4 中 只有Tt是时间t的函数 而S t却是周期函数 即如果周期长度P 4 12 则有S t S t 3P S t 2P S t P S t S t P S t 2P S t 3P 10 3 5 于是 只要求出现在时期t的趋势值Tt 以及相应的季节变动值S t 并适当外推 便可得出未来时期t K的预测值 t K Tt K S t K t 1 2 3 n 1 n K 1 2 P 10 3 6 显然 如果是加法模型 则t K的预测值为 t K Tt K S t K t 1 2 3 n 1 n K 1 2 P 10 3 7 10 3 1分解分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 如果Yt呈水平趋势变动 此时 序列Yt的主要因素是季节变动 因此 可直接用同期平均法求出季节指数S t P 然后利用周期函数特性S t S t P S t P 得出S t K S t K P t 1 2 3 n 1 n K 1 2 P K P 10 3 8 又由于Yt的季节周期平均数 可代表长期趋势值 且这个周期平均数数列 大体是稳定的 10 3 9 其中 是样本期最后一个周期的平均数 其余类推 所以 进行外推预测时 可令 10 3 10 于是 未来时期t K的预测值 10 3 11 但若已知t期向前推k期 k P 的几个实际值的最新信息 则预测期的趋势值Tt k应为 10 3 12 则从t k期起 再向前推K期的预测值 t k K为 t k K Tt k K S t k K Tt k S t k K P K 1 2 P K P 10 3 13 10 3 1分解分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 例10 4 利用 例9 14 的结果 预测该地区1999年各季度旅游产值 解 以1998年第4季度为预测起点t 则有S t 3 1 276923 S t 1 S t 2 0 949744 S t 2S t 1 0 73128 S t 3 S t 1 042051 S t 4样本期最后一个周期的平均数 Tt 19 9 于是1999年各季度旅游产值 t 1 Tt 1 S t 1 Tt S t 3 19 9 1 276923 25 4108 t 2 Tt 2 S t 2 Tt S t 2 19 9 0 949744 18 9 t 3 Tt 3 S t 3 Tt S t 1 19 9 0 73128 14 5525 t 4 Tt 4 S t 4 Tt S t 19 9 1 042051 20 7368 10 3 1分解分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 如果Yt存在趋势变动 则应该采用趋势剔除移动平均法来解决预测问题 预测应首先计算S t 在第十章中求 t时 我们用趋势剔除移动平均法 计算了中心化移动平均值Mt 2 并用Mt 2 代表趋势变动测定值Tt 但进行外推预测时 直接用Mt 2 作为预测期的趋势序列 却不可行 因为这样对Mt 2 再计算移动平均数 会产生误差的累积 较好的方法是 在求出季节变动测定值S t后 将它从时间序列中剔除 其结果将显示趋势变动和随机变动 然后对这一列数据建立趋势方程 以消除随机变动 便可以测算各期的趋势值Tt 趋势方程最常用的形式是 Tt b0 b1 t t 1 2 3 n 10 3 14 则相应的内插预测公式为 t b0 b1 t S t t 1 2 3 n 10 3 15 式中 t为时间序号 b0 b1为参数估计值 Tt和 t分别代表t期的趋势值和预测值 S t为预测期的季节指数 如果认为 10 3 15 式是可以外推的 则从t期起外推K期的预测值 t K Tt K S t K b0 b1 t K S t K P t 1 2 3 n K 1 2 P 10 3 16 其中 S t和S t K P由 10 3 5 式或者 10 3 8 式求出 10 3 1分解分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 例10 5 利用 例9 18 的结果 预测我国1984年各季度生产资料零售值 解 以1983年第4季度为预测起点t 有S t 3 0 88392 S t 1 S t 2 1 223341 S t 2S t 1 1 090116 S t 3 S t 0 802623 S t 4同时 其长期线性趋势方程为Tt 69 87383 1 494151t t 1 2 23 24因为1983年第4季度是预测起点t t 24 所以 其外推K期的长期线性趋势预测方程为Tt K 69 87383 1 494151 t K t 24 K 1 2 3 4 从t期起作K期外推预测 则 t K Tt K S t K 69 87383 1 494151 t K S t K P K 1 2 P P 4 K P 于是 1984年各季度生产资料零售值为 t 1 69 87383 1 494151 24 1 S t 3 94 78063 25 t 2 69 87383 1 494151 24 2 S t 2 133 0038 26 t 3 69 87383 1 494151 24 3 S t 1 120 1481 27 t 4 69 87383 1 494151 24 4 S t 89 66107 28 返回 10 3 2合成分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 对于季节周期序列周期1 Y11 Y12 Y13 Y1j Y1P 周期2 Y21 Y22 Y23 Y2j Y2P 周期i Yi1 Yi2 Yi3 Yij YiP 周期k Yk1 Yk2 Yk3 Ykj YkP 当给定一个季节j值时 Y1j Y2j Y3j Yij Ykj Y1 j Y2 j Y3 j Yi j Yk j 可写成一个独立的序列 这个序列 是一个周期不同但季节相同的同季序列 它将显示j季节的长期发展趋势 由于j 1 2 3 P 因此 整个季节周期序列就是P个独立的序列 它们将显示P个季节的独立发展趋势 我们可以对P个同季节序列 建立各自独立的季节预测模型 并以周期k为起点 外推r期求模型的预测值 k r j 则各个模型的预测值 k r j j 1 2 P 便是k r周期的季节分量值 将各个季节分量值合成 便得k r周期的预测值 合成分析预测法因此得名 对同季序列建立趋势模型时 前述的模型趋势法都可运用 但具有变参数性质的指数平滑法更为常用 应当注意的是 只有当同季序列都具有明显的趋势变动规律时 合成分析法才具有优势 实际中要注意其适用性 10 3 2合成分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 例10 6 利用1978 1983年数据 用合成分析预测法 预测我国1984年各季度生产资料零售值 解 将我国1978 1983年各季度生产资料零售值表示成分别处理季度序列数据如图 可见Y1 j Y2 j Y3 j Yi j i 1 2 6 j 1 2 3 4大部分可近似表示为线性趋势 于是 可用二次指数平滑法计算各个季度序列 10 3 2合成分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 取 0 85 初始值为S0 2 j S0 1 j Y1 j Y2 j 2 计算的各个季度序列的平滑值 以1983年为预测的起点 其季节序列的长期趋势预测方程为 t K P at P bt P K t 6 P 1 2 3 4 K 1 2 n 二次指数平滑计算表 10 3 2合成分析预测法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 利用 10 2 28 式求出at和bt 则1984年 K 1 各季度生产资料零售值为 t 1 1 86 62898 3 05567 1 89 68456 6 1 t 1 2 130 9924 12 37286 1 143 3652 6 2 t 1 3 115 4085 8 42511 1 123 8336 6 3 t 1 4 90 17425595 10 5142724 1 100 6885283 6 4 返回 10 3 3季节模型的指数平滑法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 这一方法的特点是 它不仅将Tt处理为时间t的函数 而且将季节指数S t也看作时间t的函数 为可变季节指数 它是把时间序列的因素分解和指数平滑法结合起来 采用指数平滑法计算Tt和S t 然后按照 10 3 4 或 10 3 7 式的模式求预测值 对于乘法和加法两种不同的模式 其组成分量的指数平滑公式是不同的 这里仅介绍乘法模型 t Tt S t t n 10 3 17 温特斯 P R Winters 指数平滑法温特斯线性 季节指数平滑法带衰减因子的温特斯线性 季节指数平滑法平滑系数的确定 10 3 3季节模型的指数平滑法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 温特斯 P R Winters 指数平滑法这种方法只适用于呈现水平趋势变动的季节序列 于是 可令Tt at 则Tt at和S t的平滑估计公式为 10 3 18 从t期起向前推K期的预测方程是 t K at St K P K 1 2 3 P K P 10 3 19 上面各式中 P为季节周期的长度 为平滑系数 0 1 at 1是上期趋势的平滑值 Yt S t Yt S t P则是对现期趋势值的估计 显然 at的估计是通过指数平滑来反映现期趋势的最新变化 并消除现期趋势估计中随机因素的影响来达到的 同理 S t的估计也是通过Yt at与上一周期同期季节指数S t P进行平滑计算 来达到这一目的 计算出平滑参数at和S t后 可根据 10 3 19 进行预测 温特斯指数平滑法只有一个周期 P 的预测能力 10 3 3季节模型的指数平滑法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 温特斯线性 季节指数平滑法这一方法适用于具有线性趋势的季节变动时间序列 可令 内插趋势Tt at bt t 于是 at bt和S t的平滑估计公式为 10 3 20 从t期起向前推K期的变参数预测方程是 t K at bt K S t K P t n K 1 2 P K P 10 3 21 上面各方程中 P为季节周期的长度 为平滑系数 0 1 bt是t期的趋势增量 at为t期的趋势平滑值 但平滑计算中上一期趋势平滑部分增加了增量bt 1 用于克服对线性趋势值进行平滑时所导致的滞后偏差 bt和S t则分别对趋势增量和季节指数进行平滑计算 目的也是既要反映趋势增量的最新变化 同时也要消除随机变动 从预测方程 10 3 21 看出 温特斯线性 季节指数平滑法有无限期的外推预测能力 在样本期内求模拟趋势值时 宜做一步预测 逐期递推 在样本期外 则利用 10 3 20 求出样本最末期的at bt 以及最后一周期的季节指数S t 按K的不同取值作多期预测 10 3 3季节模型的指数平滑法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 带衰减因子的温特斯线性 季节指数平滑法温特斯线性 季节指数平滑法 做短期预测的精度是相当高的 但做长期预测其能力有限 原因是其对长期趋势的线性假设 是不妥当的 尤其是在at和bt固定而K加大时 趋势部分将不断增长 这样会掩盖季节指数对时间序列的影响 故不宜做中 长期预测 解决这一问题的办法是 将序列的长期趋势 写成一个带衰减因子 的线性方程 10 3 22 在0 1条件下 其趋势部分的渐近水平为at bt 1 从而其增长受到了控制 可望用于中 长期预测 这种方法是对温特斯线性 季节指数平滑法的改进 显然 当 1时 方程为温特斯线性 季节指数平滑模型 趋势序列及季节变动序列的参数平滑估计公式为 10 3 23 则从t期起向前推K期的预测方程便是 10 3 24 10 3 3季节模型的指数平滑法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 以带衰减因子的温特斯线性 季节指数平滑法为例说明 温特斯线性 季节指数平滑法 温特斯季节指数平滑法是它的特例 可以类推 平滑系数的确定趋势平滑系数的作用与简单指数平滑法相同 一般取0 05 0 3 季节平滑系数可取大些 如0 4 0 6 趋势增量的平滑系数宜取小值 如0 05 0 2 衰减因子取大值 0 8 1 实际应用中 可将 取值的各种组合 对样本序列进行模拟预测 并选择计算误差最小的一组 值 平滑初始值的确定从理论上说 平滑初始值最好是用样本序列之前的历史数据估算 如果无法实施 也可以从样本序列中 取出若干周期的数据来估算平滑初始值 然后从第二周期开始作平滑运算 具体步骤为 至少取2个周期的样本数据Y1 Y2 YP YP 1 YP 2 Y2P 第一步 计算前两个周期的期内均值M1 M2 及周期之间的平均增量b0第二步 计算初始平滑值a0 10 3 3季节模型的指数平滑法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 第三步 计算前两个周期内各期的季节因子St St P 并求两周期各季节因子的均值St P 第四步 对初估季节因子进行归一化处理第五步 令t 2P at 1 a0 bt 1 b0 S t P St P 利用 10 3 20 式对at bt S t P进行更新 然后 令t 2P 1 at at 1 bt bt 1 S t P St P 利用 10 3 20 式对at bt S t进行更新 直到t 2P P at at 1 bt bt 1 S t P St P 利用 10 3 20 式对at bt S t进行更新 10 3 3季节模型的指数平滑法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 并进行第3个周期内各期值的预测 t 1 at bt S t P 第六步 待一个周期内的P个季节因子S t 全部更新后 重复第四步作归一化处理 作为下一周期预测时的季节因子S t P S t 第七步 令t 3P 用第五步 第六步更新新的周期内的at bt S t以及S t P S t 并完成其预测值 t计算 如此反复 直到t k P 第八步 在t k P at 1 at bt 1 bt S t S t P 利用下式进行外推预测 例10 7 利用我国1978 1983年生产资料零售数据 用带衰减因子的温特斯线性 季节指数平滑法 预测1984年各季度值 解 这是具有线性趋势的季节变动数列 因此 可以用带衰减因子的温特斯线性 季节指数平滑法进行预测 设置平滑初值 序列有6个周期 因此利用第1 2周期的数据计算平滑初值M1 73 425 M2 81 b0 M2 M1 4 1 89375 a0 M1 3b0 2 76 26563 于是 S1 0 886882 S2 1 214159 S3 1 063574 S4 0 839172 S5 0 914797 S6 1 190459 S7 1 079968 S8 0 819412 10 3 3季节模型的指数平滑法 Ch10统计预测与预警 10 3季节变动预测 new 求两周期的均值S5 0 886882 0 914797 2 0 90084 S6 1 214159 1 190459 2 1 202309 S7 1 063574 1 079968 2 1 071771 S8 0 839172 0 819412 2 0 829292 归一化计算得S5 0 899892 S6 1 201045 S7 1 070644 S8 0 82842 令a5 a0 76 26563 b5 b0 1 89375 S5 0 90084 S6 1 202309 S7 1 071771 S8 0 829292 并取 0 825 0 998 0 145 0 587 从第3周期开始 利用 10 3 23 式 逐期平滑at bt S t t 9 10 11 12 利用公式 t 1 at bt S t 1 P t 9 10 11 12预测第3周期的值 第3周期平滑完毕 对S t归一化处理得S t 从第4周期开始平滑at bt S t t 12 13 14 15 利用公式 t 1 at bt S t 1 P t 12 13 14 15预测第4周期的值 第4周期平滑完毕 对S t归一化处理得S t 重复平滑at bt S t过程 直到t 21 22 23 24 并求出S t 从第6周期开始预测 24 1 a24 b24 S 24 1 4 101 8797 24 2 a24 b24 2 S 24 2 4 139 9576 24 3 a24 b24 2 3 S 24 3 4 121 4313 24 4 a24 b24 2 3 4 S 24 4 4 90 85861 10 3 3季节模型