《力学》 第一章 .pdf

0 第一章 质点运动学第一章 质点运动学 1 1 1 1 1 1 1 1 1 空间和时间空间和时间空间和时间空间和时间 时间和空间的测量 绝对时空观绝对时空观 绝对空间 就其本性来说 与任何外在的情况无关 始终保持着相似和不变 绝对的 纯粹的数学的时间 就其本性来说 均匀地 流逝而与任何外在的情况无关 牛顿牛顿 自然哲学的数学原理 时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系 2 Wireless GPS Synchronized Clock System 3 3 参考物 选取的一个有固定大小和形状的物体 相对参考物 可以确定其它物体的位置 参考空间 沿左右 前后 上下三对方向无限扩展 构成三维平直空间 参考系 参考空间 测量时间的时钟 坐标系 在参考空间中任选一点作为原点 可建立各种坐标系 时间的零点也可任选 x z y O 参考系 4 4 相对运动的参考系 两个参考系之间若有相对运动 他们观测同一个运动物体 是否会得到相同的距离和时间 x z y O v v 5 由繁到简 将物体模型化为一个点 质点 由简到繁 质点 质点系 质点质点 6 1 2 直线运动1 2 直线运动 1 2 1 位移 速度 加速度 直线运动的运动方程 txx tx ttx x 位移 txttxx 矢量的标量化 引入正负号即可表示方向 7 平均速度和瞬时速度平均速度和瞬时速度 t x O tx ttx t x P Q 切线 割线 平均速度 t x v 瞬时速度 t x v t 0 lim 某一点的导数将该点的函数值与它相邻的函数值联系起来 求导 积分 历史上 正是由于牛顿在处理这类基本力学问题时需要 一种适当的数学工具 才促使他创建了微积分 8 平均速度 t x v 不能反映各个时刻的运动 瞬时速度 简称速度 dt dx v 加速度 2 2 dt xd dt dv a 瞬时速度 t x v t 0 lim 9 如果已知加速度随时间的变化 t t tv v dttadvvtv 00 0 t t dttavtv 0 0 t t dttvxtx 0 0 质点的运动状态 vx 质点的初始运动状态 00 vx 10 例题 物体在 t0 时刻的初始运动状态为 x0 v0 加速度 求 t 时刻的位置和速度 00 ttbaa 先求 t 时刻的速度 adtdv t t t t t t dtttbaadtdv 000 00 微分关系式 两边积分 2 1 2 1 2 1 2 0000 2 00 2 000 0 ttbtattbta ttbtavv t t 11 2 0000 2 1 ttbttavv 再求 t 时刻的位置 vdtdx 微分关系式 t t t t t t dtttbttavvdtdx 000 2 1 2 0000 两边积分 3 0 2 00000 6 1 2 1 ttbttattvxx 物体运动的初始状态与积分常数一一对应 12 1 2 2 三类直线运动 直线运动可按加速度为零 常量和变量分为 匀速 匀加速和变加速匀速 匀加速和变加速 2 3 例 简谐振动 cos 0 tAx sin 0 tAv x tAa 2 0 2 cos 13 例小球A在倾角为 的光滑斜面顶部从静止下滑 同时小球B在 斜面底部从静止开始匀加速离开斜面 若A不能追上B 试求B 的加速度a的取值范围 A B 分析 a越小 A越能追上B 先求A恰能追上B的加速度临界值 设A滑到底部的速度为vA 所用时间为t1 sin 1 g v t A 经t2时间 A恰能追上B的条件 路程 2 212 2 1 ttatvA 速度 21 ttavA sin 2 1 ga B的加速度a的取值范围 sin 2 1 ga 1414 第一章作业第一章作业第一章作业第一章作业 AA组组组组 4 4 5 5 7 7 9 9 1111 1313 1414 1515 1717 1818 2323 2525 B B组组组组 2626 3333 3434 15 1 3 平面曲线运动1 3 平面曲线运动 直角坐标系 自然坐标系 极坐标系 16 1 3 1 直角坐标系分解 在质点运动的平面上建立直角坐标系Oxy x y O tr v P 位置矢量j yi xr vv v trr vv 质点的平面曲线运动方程 这个运动方程有两个分量式 tyytxx 平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动 17 x y O tr v ttr v r v i xv j y v P Q 速度rj dt dy i dt dx dt rd v v vv v v rj dt dv i dt dv dt rd dt vd a y x v vv vv v 2 2 t 时刻质点位于P处 位置矢量 t dt 时刻质点运动到Q处 位矢 tr v ttr v 位移 trttrr vvv 加速度 18 例 空心入篮 O x y 水平线 v v 1 2 xA A 抛射角 21 1 2 2 sin 2 1 cos gtvtx 1 2 2 cos 2 1 sin gtvty 0 y 1 2 cos sin2 g v t 11 1 2 2 sin 2sin cos A gx v 无极大值 但有极小值 2 45 1 0 o 极小值对应的抛射角 19 1 3 2 自然坐标系分解 自由度 确定物体的运动状态所需的独立坐标的数目 限定在一条曲线上运动 限定在圆周上运动 222 Ryx 曲面上运动的质点最多有两个自由度 20 圆周运动圆周运动 d vd v vd v vd v tv v dttv v 角速度 dt d 角加速度 2 2 dt d dt d 圆周运动加速度可分解为 切心 aa dt vd dt vd dt vd a vv vvv v 2 R dt dR dt vd dt dv a 心 R dt Rd dt dv a 切 速度 R dt d Rv 与速度垂直 改变速度方向与速度平行 改变速度大小 21 无限小角位移矢量 d k v tr v ttr v kdd vv 初 末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法则 无限小角位移与有限角位移的区别 22 有限角位移不是矢量 不满足矢量加法的交换律 23 d 角速度k dt d v v v 角加速度k dt kd k dt d dt d v v v v v k v tv v 角速度和角加速度都沿转轴的方向 无限小角位移是矢量无限小角位移是矢量 24 d vR dt Rd R dt d dt vd a vv vv v v v vv v tv v 转动引起的无限小位移 R v Rd v RdRd vvv 速度 加速度 RR dt d dt Rd v v v v vv v k v Rava vv vvvv 切心 25 曲线的曲率和曲率半径 d d dl 曲率 曲率半径 dl d d dl 曲率正比于转过的角度 反比于经过的路程 26 自然坐标系自然坐标系 v v n v v 自然坐标系的两个正交基矢 v n v 沿速度方向 指向曲率圆的圆心 aaa n vvv 加速度在自然坐标系中的分解 dt dv a v dt dl dl vd dt vd an 2 切向单位矢量 法向单位矢量 27 计算曲率半径的运动学方法计算曲率半径的运动学方法 1 假设一种沿曲线的简单运动 2 计算各点的速度 3 计算各点的加速度 4 计算与速度方向垂直的加速度分量 即向心加速度 5 计算曲率半径 心 a v 2 28 例 椭圆半长轴和半短轴处的曲率半径 A B 假设一沿轨道的运动 tBytAx sin cos 求速度和加速度 tBatAa tBvtAv yx yx sin cos cos sin 22 求向心加速度 在 A 0 处 2 Aa 心 在 0 B 处 2 Ba 心 代入公式 曲率半径 2 BA A B B A2 29 1 3 3 极坐标系分解 tr v r e v e v 极坐标系 r 基矢 eer vv 任意矢量的分解 eAeAtrA rr vv v 与直角坐标系的变换 sin cosryrx 30 正交基矢与极坐标的微分关系 tr v r e v e v d eded r vv r eded vv 正交基矢只依赖 q 与 r 无关 当 变化时 正交基矢同时改变方向 满足微分关系 31 极坐标系中位置矢量 速度和加速度的表示 位置矢量 r err vv 速度 vve dt d re dt dr dt ed re dt dr dt erd dt rd v rr r r r vvvv v v vv v rrrr eve dt dr v vvv eve dt d rv vvv 径向速度 横向速度 32 tr v r e v e v rrrr eve dt dr v vvv eve dt d rv vvv 径向速度 横向速度 径向速度依赖 r 随时间的变化和径向基矢 横向速度依赖 r 随时间的变化和横向基矢 当 r 和 随时间变化时 径向速度的变化包含两项 横向速度的变化包含三项 径向基矢和横向基矢依赖 v v v v r v v 33 rr r e dt d dt d re dt d re dt d dt dr e dt d dt dr e dt rd e dt d re dt dr dt d dt vd a vvvvv vv v v 2 2 2 2 径 向 速 度 大 小 的 变 化 径 向 速 度 方 向 的 变 化 r 增 大 引 起 横 向 速 度 的 变 化 角 速 度 增 大 引 起 横 向 速 度 的 变 化 横 向 速 度 方 向 的 变 化 34 e dt d r dt d dt dr e dt d r dt rd eaea aaa r rr r vv vv vvv 2 2 2 2 2 2 径 向 加 速 引 起 横 向 旋 转 引 起 径 向 变 化 与 横 向 旋 转 共 同 引 起 加 速 旋 转 引 起 加速度 35 平面极坐标系中质点运动的轨道方程 在平面上 质点的运动方程 trr vv 在极坐标系中 质点的运动方程 t trr 消去时间参量 t 得到极坐标系中的质点运动轨道方程 rr 若已知径向速度与横向速度 利用 v rv d dr r 通过积分 可以得到轨道方程 rr 36 例 狐狸沿圆周跑 狗从圆心出发 速度都 为v 圆心 狗 狐狸始终连成一直线 求狗的速度 加速度和轨道方程 狐狸的角速度 R v dt d 狗有横向和纵向速度 22 vvvrv r 狗的横向和纵向加速度 2 2 2 2 2 2 dt d r dt rd a dt d r dt d dt dr a r 轨道方程 22 rR v v r d dr r 0022 d rR dr r sinRr 37 r 例 四点追击 四支狗开始位于边长为 l 的正方形 四个顶点上 追击速度v保持不变 求开始时狗的加速度 相遇的时间 和轨道方程 分析 四支狗始终成一正方形 经过时间间隔dt lvdtd vdvd v 加速度lva 2 沿径矢的分速度不变相遇的时间 r v v r d dr r ler 2 2 38 1 4 空间曲线运动1 4 空间曲线运动 1 4 1质点的空间曲线运动 x y O tr v ttr v r v P Q z x y z 质点的位置矢量 kzj yi xr vvv v 运动方程 trr vv tzztyytxx 可分解成三个直线运动方程 39 位移 trttrr vvv 速度 kvjvivk dt dz j dt dy i dt dx dt rd v zyx vvvvvv v v 加速度 kajaiak dt dv j dt dv i dt dv dt vd a zyx z y x vvvvvv v v 40 1 4 2 质点系和刚体的空间运动 物体的形状不可忽略 若物体内各个点部位的运动相同 整个物体可近似为质点 若物体内各个点部位的运动不相同 将它分解成一系列无穷小部位 每个小部位可处理为质点 物体 质点系 力学中质点系是普适性的系统模型 41 刚体的运动 刚体的自由度 刚体的平动 刚体的定点转动 刚体的定轴转动 质点在空间中自由运动 有三个自由度 宠辱不惊 闲看庭前花开花落 去留无意 漫随天外云卷云舒 42 1 5 参考系间的相对运动1 5 参考系间的相对运动 1 5 1 参考系间的平动 z y O r v P x y z O r v x S 系 S系 两个参考系观测同一质点的运动 时间tt 位置矢量 trtrtr O vvv O r v 43 平动 参考系S 的基矢相对参考系S不变 参考系S 的基矢不随时间变化 L v 0 i trtrtr O vvv 位置矢量 速度 tvtvtv O vvv 加速度 tatata O vvv 44 1 5 2 参考系间的匀速定轴转动 y O r v P x y O r v x S 系S系 v 转动参考系 相对S系 S 系绕着它的某一点O 匀速定轴转动 转动角速度沿z轴方向 两个坐标系的原点和z轴重合 在两个坐标系中质点P的 jyixr j yi xr vv v vv v 速度 加速度 jyixv j yi xv v v v v v r jyixa j yi xa v v v v v v 位置矢量 45 y O r v P x y O r v x S 系 S系 v 质点P相对S 系静止 相对S系作匀速圆周运动 在S 系 质点P的速度 加速度皆为零 在S系 质点P的速度为r 沿切向 加速度为r 2 指向原点 若质点P相对S 系运动 速度 加速度的变换关系就更为复杂 46 y O r v P x y O r v x S 系S系ij dt jd dt i d i v v v vv v jij v v v v rv dt jyd dt ixd rrv vvv vv v vv v 相对S系 它自己的基矢是静止不变的 但S 的基矢由于转动是随时间变化的 坐标关系 jyixj yi x rr vvvv vv rvv vvvv 47 加速度的推导加速度的推导 2rvaa vvvvvvv iyjxjyixrvv vvv v vvvv rva iyjxvva iyjxiyjx jyixjyixa vvvvvv vv vvvvvv v v v v v v v v v v v v v 2 rrvaa v vvvvvvvv 2非匀速转动 48 y O r v P x y O r v x S 系 S系 v 质点P相对S 系静止 相对S系作匀速圆周运动 在S 系 质点P的速度 加速度皆为零 在S系 rrvv vvvvvv 2rrvaa vvvvvvvvvv 0 0 a v v v 速度 加速度的大小和方向与质点P在S系中作匀速圆周运动一致 49 1 5 2 参考系中质点间的相对运动 在参考系S中 质点B 相对质点A的运动 一个质点不能作为运动参考物 不能建立相应的参考空间和参考系 z O r v B x y A B r v S系 A r v AB AB AB aaa vvv rrr vvv vvv vvv 在参考系S中 可分别测量质点A的运动 质点B的运动 B相对A的运动 B点相对S系的运动 B点相对A点的运动 A点相对S系的运动 AB AB AB aaa vvv rrr vvv vvv vvv 或 B的运动 B相对A的运动 A的运动 50 例直角三角板的边长如图示 开始时 斜边靠在y轴上 使A点单 调地朝O点运动 1 AC平行x轴时 A点速度为vA 求C点的 速度和加速度