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来自报纸的数学问题 一种真实取向的数学教学 徐斌艳 华东师范大学课程与教学研究所 200062 为了在数学教学中密切数学与生活的联 系 使抽象的 形式化的数学建立在学生生 动 丰富的生活背景之上 数学教育工作者尝 试着各种教学方法的改革 德国数学教育界 有一群教育工作者 收集生活中经常阅读的 各种报道作为教学的内容 取得可喜效果 本 文将对此进行讨论与介绍 阅读报纸几乎是生活中不可缺少的活动 之一 只要你稍加留意报纸上的数据和有关 信息 就会发现一则报道其实就是一组数学 问题 1 数学教学片段 为了深化有关线性函数与二次函数的学 习 某初三年级的数学教师从报纸上收集了 两则报道 一则摘自1997年6月26日的 布 朗施瓦格报 标题为 官方的数学 群体饲养要考虑到幼兽的前背部隆起部分 高度x 要根据下列公式为它们提供最基本的活 动空间 基本空间 cm平方 等于0 40 x平方加 70 x加2720 摘自保护幼兽条例草案 黑森洲 基督党议会成员威里西用这个计算公式向农场 主解释保护条例 帮助他们理解这个草案 威里 西指出 应该思考一下 如果根据 这类官方计 算 农民是否还有余地清扫那些厩 另一则摘自1997年7月19日的 比乐 菲尔德通讯 题为 精彩的官方语言 在慕尼黑议会上由内务部长汤德勒宣读保 护幼兽条例草案 并宣布这个条例生效 在条例 中清楚地写到 群体饲养要考虑到幼兽的前背部 隆起部分高度 要根据下列公式为它们提供最基 本的活动空间 基本空间 平方厘米 等于0 4乘 平方加70乘加2 720 在第一堂课上教师将这两则报道复制后 发给学生 请他们阅读 然后比较这两段文 字 并讨论函数公式 f x 0 4x 2 70 x 2720 学生好奇地发现 报纸的编辑们在使 用数学公式时显然有很大困难 如他们把 x 看成 乘号 把 平方厘米 写成 cm平 方 另外学生也赞同幼兽保护条例 但他们 不理解 前背部隆起部分 这个概念 这个问 题后来请饲养专家作了解释 作为家庭作业 教师请学生在一个有意 义的前背部隆起高度区间内计算函数值 并 画出相应的曲线 师生首先讨论 选择哪个区 间比较合理 大家一致认为让x介于50与 图1 130厘米之间 第二堂课讨论 所作的曲线图 气 氛非常活跃 见图 1 考 察 曲 线 图 后 一 些 熟 悉 普 通 抛物线的学生显得有些失望 如学生奥拉 夫认为 这根线不够弯曲 学生玛格特也补 充说 从抛物线角度看 这曲线太直了 不是 吗 另外它根本没有顶点 当然从数学上可 以证明它是一条抛物线 并且有顶点 但 这里重要的是学生的观察和评论 即在选择 的区间内这条函数曲线几乎不弯 通过分析 这个特定的函数公式的用途 学生认为针对 这个问题 同样可以 使用直线 师生继续测量和计算 发现线性函数 g x 140 x的值与原始函数的值在选定区 间内的偏差小于3 有了这个结果学生兴 奋地以咨询者的身份给条例制定者提出建 3 2001年第10期 中学数学月刊 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 议 认为可以使用替换函数 他们还热烈地讨 论 为什么在条例中要使用一个带有这样系 数的二次函数 表明对保护幼兽的立场等等 这两则真实的报道激起了学生解决问题 的兴趣 在这过程中学生巩固了线性函数与 二次函数的概念 并真正体验这些概念的应 用性功能 下面我们系统介绍利用报纸报道进行数 学教学的特点与功能 然后精选几则真实的 报道 分析如何将这些报道与普通数学教学 整合起来 使我们的教学更生动活泼 2 基于报纸报道的数学教学方法 2 1 方法的特点 这一教学方法由一系列步骤组成 我们 以上述教学片段为例 概括这一教学过程的 特点 首先教师从所选的文章中提取有关的数 据 借此组织相应的数学活动 如首先选取函 数公式 这种活动不能脱离真实背景 也就 是说问题情境要保持生动 真实 如讨论为何 条例制定时要用二次函数 改变函数公式对 农民或对幼兽分别有何后果 其次对于缺少足够信息的概念要加以补 充说明 如另请饲养员解释什么是前背部隆 起部分 一般可能有多高 另外鼓励学生联系实际情境提出有意识 的问题 如学生几乎是自发地对所给函数公 式提出疑问 建议使用简单的替换函数 在这个过程中特别注意起初情境与数学 运算过程的整合 在适当时候从事数学 常规 活动 如计算函数值 画曲线图 确定代替直 线的函数公式 这对问题解决非常有利 甚 至是必要的 如果没有画出曲线图很难想到 解决的思路 最后通过这种过程得到的答案不是唯一 的 学生可以某个根据特定标准 站在农民立 场上或保护幼兽立场上 选择可能的答案 这种教学方法的作用在于能够减轻甚至 消除学生被动的心态 激励他们对问题进行 共同的讨论 同时提出批评性建议 也可以对 非数学领域问题进行讨论 能够唤醒学生的 好奇心 兴趣感 激励他们对问题情境或数据 进行排列 归类 能够提高学生学习勇气 克 服 来自传统竞争的压力 使他们有机会设 想各种可能的方法 简化问题 从而解决问 题 能够激励学生勇敢地去验证各自的解答 保护它不受 来自外界 的评论或干扰 也能 够帮助学生认识到 真实 问题总是多方面 的 数学只能描述其很小的部分 数学固然有 用 但不是必然有用 也可能会用错甚至被滥 用 并且多数情况下不存在最终的结果 这种 教学过程能使学生真正体验数学化过程 而 不局限在从一个文字题中解决某个数字问 题 或者只是灵活地将上节课的内容用于新 的解决方案中 2 2 应注意的几个方面 利用报纸的报道进行数学教学 教师应 该注意以下几方面 2 2 1 收集带有错误信息的报道 在这种教学中特别值得讨论的是报纸上 文章的观点是否真实 有勇气去发现错误观 点 讨论怎么会出现这个错误 为什么没有人 意识到 等等 许多学生已经习惯于 盲目 地 接受所有刊登在报纸上的消息或观点 因 此在教学中要引导学生对自己的信任感进行 挑战 训练他们质疑性的思维 让我们来阅读德国著名杂志 明镜 上的 几段文字 几年前每十个司机中有一个开车开得 过快 目前是每五个人中有一个人开车过快 开快车者多了百分之五 因此要不断检查 处 罚那些开快车者 1991年第41期 目前还有20 的市民是自愿服务者 然而根据德国业余协会的预测 将来五个人 中只有一个愿意进行义务服务 1997年第 36期 直到70年代 20 的有心脏病的孩子 死于出生后的第一年 今天80 这种孩子 被救活 堡儿医生自豪地说 1998年第1 期 4 中学数学月刊 2001年第10期 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 显然在上述三段文字中隐藏着不同的错 误 通过基于报纸报道的数学教学希望学生 学会表述自己的质疑性看法 同时提出自己 的观点并加以数学论证 因此在教学中经常 设计这样的任务 你的观点如何 请写封读者 来信 这类带有数学错误的文章还能够激起学 生对那些与自己没有直接关系的问题的兴 趣 有些学生曾经解释说 我很愿意计算报 纸上和书本上的实际问题 检验那些聪明的 大人是否计算错了 我觉得很自豪 能够找出 错误 并且纠正错误 由此可见 对学生来 说 如果他们能证明接受过高等教育的新闻 记者或知识丰富的成年人的错误 那么学习 动机将不断提高 对教师来说 在选择带错误的文章后 关 键是以适当的形式组织学生使用这些文章 给学生设计的课堂或家庭作业不在于快速计 算某个问题 而是请学生 写一封读者来信 一起讨论和评价各自的问题解决思路 2 2 2 展示完全精确与大约的矛盾 通过阅读和分析报纸报道给人这样一种 印象 学生在 一般 数学教学中学到的是完 全精确的概念或计算 所有数字是完全精确 的 数学是精确性和可靠性的代表 但是当数 学与 世界的其余部分 发生交往时 就会失 去这种精确性和可靠性 所产生的数据只能 达到有限的精确 由这些数据所传授的信息 就含有不精确的成分 为使学生能够真实体验到数学在科学技 术 经济生活以及其他与生活息息相关的领 域中的效用 在我们的教学中有必要传授有 关数学近似的知识 尽管它比传授 精确数 学 要艰难 2 2 3 充分利用作业数据传送的报纸内容 有时报纸上的内容 只是 用于传递数 据 或者 只是 用于描述某种事实 我们可以 充分利用这些内容来丰富教学 因为报纸上 的内容建立起数学与外部世界的联系 反映 一种真实数学问题 它提供真实的 学生在生 活中体验到的数据 这些数据往往在报纸上 以生动的形式出现 给学生一种视觉上的轻 松感 我们在设计数学问题时可以借用那些 材料 如报纸上的两则广告 LBS 购房贷款 最多80000马克 利息4 5 实际支付96 5 数学 堡尔从某银行贷款 80000马克 1 为此他要支付多少利 息 2 实际上他拿到多少马 克 因为有手续费 3 来自报纸的数学问题范例 附答案 例1 关于指数增长 这是一则摘自1987年5月19日 布朗 施瓦格报 的报道 每分钟多150人 日内瓦 根据联合国人口问题基金会的统 计 7月份将有50亿人口生活在世界上 另根据 星期一公布的报告 世界人口数每分钟多增长 150人 每天多增长220 000人 针对这个报道我们可以设计四个问题 问题1 如果世界人口 1 一年内每天 多220 000人 2 一年内每分钟多150人 那么世界人口的年增长率是多少 用百分数 表示 问题2 如果世界人口的年增长率 利 用问题1的结果 在几年内保持不变 那么文 章标题中的数字是否也不变 问题3 1 假设问题1计算出的增长 率保持不变 到哪一年世界人口将达到60 亿 2 针对这一年文章的标题应该怎么写 问题4 如果以文章的标题为条件 几 5 2001年第10期 中学数学月刊 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 年后世界人口会达到60亿呢 参考答案 问题1 如果世界人口每天多220 000名 那么这一年 的人口多增长365 220 000 80 3百万 1987年的 年增长率为 5 109 365 220 000 5 109 1 016 1 也就是说1987年世界人口多增长了1 61 如果每分钟多增加150人 世界人口的年增长 仅仅是365 24 60 150 78 874百万 那么1987 年的年增长率为 5 109 365 24 60 150 5 109 1 015 8 也即得到较低的增长率1 58 从文章的数据得到两种不同的增长率 原因可 能是每个给出的数据都被化整了 根据本文只能说 明年增长率大约1 6左右 问题2 如果增长率不变 只是说明年增长百分数不变 但绝对增长值不断上涨 因为基础值连续增大 那 么标题中的150随着时间的推移也在增大 问题3 1 如果从年增长率为1 6 出发 就可以用下 面等式确定n 年 6 109 5 109 1 016n 得出 n ln1 2 ln1 016 11 5 大约11 5年以后 即1999年初 从1987年7 月开始 世界人口将达到60亿 2 按照60亿人口以及1 6 的增长 得出1999 年的世界人口多增长6 109 0 016 96 106 每 分钟的增长数提高了 96 106 365 24 60 183 人 相应地标题应该改为 每分钟多180人 问题4 如果世界人口真的每分钟增长150人 那么从 50亿增长到60亿人口 即多增长1亿需要 109 365 24 60 150 12 7 年 即需要12 7年 不是练习3计算出的11 5年 例2 关于单位问题 这是一则摘自1997年3月8日的 高斯 拉报 的报道 经 济 版 家庭节省能源的方法 如果随时关闭家电通电预热的电源 家庭在 能源消耗方面的支出每年可以减少2 000马克 针对这个报道我们可以设计两个问题 问题1 问一下父母 你家中每年电费支 出多少 你对文章中提出的节省方法有什么 想法 问题2 给报社写封读者来信 提示 电 器处于预热状态时用电量5 15瓦 每千瓦 时 kW h 是40分尼 参考答案 问题1 如果电费支出每月为150马克 一般家 庭少于150马克 计算得出一年支出的费用低于文 章中提到的可节省费用 因此文章中的数字不正确 问题2 读者来信 尊敬的女士或先生 你们报道说 如果我们随时关闭电器通电的预 热电源 就可以节约2 000马克的电费 假设家庭中 有10种电器 一年都处于通电预热状态 最多15 瓦 每千瓦时30分尼 那么每年需支出的最高费用 只有400马克 显然上文提供的数字过分夸大 让我们 看一下另一段报道 其中的数据相对比较真 实 一天的数字 德国每个家庭平均至少有一种电器 根据环 境与自然保护协会的计算 如果仅仅让电器处于 通电预热状态 每年每个家庭就必须支付145马 克 昨天环境保护组织在波恩呼吁结束这种能源 流失现象 摘自1997年7月31日 时代报 教师可以利用这段报道 组织学生进行 新的活动 如统计不同家庭中有通电预热功 能的电器的数量 如电视机 音响 录像机 计 算机等 统计这些电器处于预热状态的用电 量以及所要支付的费用 例3 关于分数与比例 下面是三则摘自不同期 下转第26页 6 中学数学月刊 2001年第10期 1995 2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 数学家欧拉说 数学这门科学 需要观 察 也需要实验 当我们遇到难以下手的数 学问题 在山穷水尽之际 若能首先运用观察 与实验的思想方法 或许就能柳暗花明 例8 整数数列 an 满足an an 1 an 2 n 3 Sn是 an 的前n项和 若S1 298 1 989 1 求S2 000 2 若a1 1 340 求S 1 989 解 不妨运用题设作一点实验 a1 a2 a3 a2 a1 a4 a3 a2 a1 a5 a4 a3 a2 a6 a5 a4 a3 a7 a6 a5 a1 通过实验 发现两条规律 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0且a7 a1 进而发现此数列具有周期现象 周期是6 即 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 0且an 6 an 2 000 6与1 298 6都余2 且数列 的任意相邻六项之和为0 S2 000 S1 298 S2 1 989 又 1 989 6余3 S1 989 S3 又a1 1 340 a1 a2 1 989 a2 649 a3 a2 a1 691 S3 a1 a2 a3 1 298即S1 989 1 298 评注 当有助于解题的信息不易发现 时 不妨运用实验手段 发现规律并找到解题 的突破口 这是人们经常采用的解题策略 常言说 良好的开端是成功的一半 面对 一个数学问题 选好优先考虑的对象 就选好 了解题的切入点和突破口 并以此为契机 层 层推进 一个貌似复杂的问题就能迎刃而解 解题教学中 教师经常进行这方面的训练 既 能有效地培养学生的数学解题能力 又能形 成创新意识 提高学生的数学素质 上接第6页 刊的报道 土豆便宜 汉诺威 下萨克森州种植土豆的农民抗议 市场灾难 没有人买土豆 在这期间农场主廉价 出售土豆 每100公斤25马克 降到了原价的三 分之一 摘自1997年11日 画报 德国10 000家快餐店 烤肠店 比萨饼店