30道小升初几何问题(答案).pdf

1 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 30 道典型几何题解析 1 1 加加减减法法求求面积面积 如图是一个直径为如图是一个直径为3cm的半圆 让这个半圆以的半圆 让这个半圆以A点为轴沿逆时针方点为轴沿逆时针方 向旋转向旋转60 此时 此时B点移动到点移动到 B点 求阴影部分的面积 点 求阴影部分的面积 图中长度单位为图中长度单位为cm 圆周率按 圆周率按 3计算计算 B BA 60 解析 面积 圆心角为60 的扇形面积 半圆 空白部分面积 也是半圆 圆心角为 60 的扇形面积 22 603 3 4 5 cm 3602 2 2 割割补补法法求求面积面积 求下列各图中阴影部分的面积求下列各图中阴影部分的面积 图中长度单位为图中长度单位为cm 圆周率按 圆周率按 3 计计 算算 3 4 11 1 2 解析 4 5 4 1 2 3 3 差差不不变变 三角形三角形ABC是直角三角形 阴影是直角三角形 阴影I的面积比阴影的面积比阴影II的面积小的面积小 2 25cm 8cmAB 求 求BC的长度 的长度 I I A BC I 2 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 解析 由于阴影I的面积比阴影II的面积小 2 25cm 根据差不变原理 直角三角形 ABC面积减去半圆面积为 2 25cm 则直角三角形ABC面积为 2 18 258 25 22 2 cm BC的长度为 8 25282 6 2512 53 cm 4 4 等量等量代代换换 下图下图 单位 厘米单位 厘米 是两个相同的直角梯形重叠在一起 求阴影部分的面是两个相同的直角梯形重叠在一起 求阴影部分的面 积积 20 8 5 20 5 8 20 解析 所求面积等于图中阴影部分的面积 为2052082140 平方厘米 5 5 等等面面积积变变形形 如下图 长方形如下图 长方形AFEB和长方形和长方形FDCE拼成了长方形拼成了长方形ABCD 长方形 长方形 ABCD的长是的长是 20 宽 宽是是 12 则它内部阴影部分的面积是多少 则它内部阴影部分的面积是多少 FE DC B A 解析 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半 为 1 20 12120 2 6 6 面积面积与与旋转旋转 如图所示 直角三角形如图所示 直角三角形ABC的斜边的斜边AB长为长为 10 厘米 厘米 60ABC 此时此时BC长长 5 厘米 以点厘米 以点B为中心 将为中心 将ABC 顺时针旋转顺时针旋转120 点 点A C分别到达点分别到达点E D的位置 求的位置 求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积 边扫过的图形即图中阴影部分的面积 取取 3 AB C D E 2 1 E D C B A 解析 注意分割 平移 补齐 如图所示 将图形 移补到图形 的位置 3 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 因为60EBD 那么120ABE 则阴影部分为一圆环的 1 3 7 7 图图形形与与平移平移 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面 两条对角线上铺黑色的 其它用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面 两条对角线上铺黑色的 其它 地方铺白色的 如图所示 如果铺满这块地面共用地方铺白色的 如图所示 如果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖 那么白色瓷砖用了多块黑色瓷砖 那么白色瓷砖用了多 少块 少块 图 图 2 解析 我们可以让静止的瓷砖动起来 把对角线上的黑瓷砖 通过平移这种动态的 处理 移到两条边上 如图 2 在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化 但数量没 有变 此时白色瓷砖组成一个正方形 大正方形的边长上能放 101 1 251 块 白 色瓷砖组成的正方形的边长上能放 51 150 块 所以白色瓷砖共用了 50502500 块 8 8 化化整整为为零零 正方形正方形 ABCDABCD 与等腰直角三角形与等腰直角三角形 BEFBEF 放在一起 如图 放在一起 如图 M M N N 点为正方点为正方 形的边的中点 阴影部分的面积是形的边的中点 阴影部分的面积是 14cm14cm 2 2 三角形 三角形 BEFBEF 的面积是的面积是多少平方厘米 多少平方厘米 解析 因为 M N 是中点 故我们可以将该图形进行分割 所得图形如下 N M F E D C B A A B C D E F M N 图形中的三角形面积都相等 阴影部分由 7 个三角形组成 且其面积为 14平方厘米 故一个三角形的面积为 2平方厘米 那么三角形 BEF的面积是 18 平方厘米 9 9 割割补补法法 如图所示的四边形的面积等于多少 如图所示的四边形的面积等于多少 O D C B A 13 13 12 12 13 13 12 12 解析 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形 难以运用公式直接求面积 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换 4 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转 使长为13的两条边重合 此时三角形 OAB将旋转到三角形OCD 的位置 这样 通过旋转后所得到的新图形是一个 边长为12的正方形 且这个正方形的面积就是原来四边形的面积 因此 原来四边形的面积为12 12144 也可以用勾股定理 1 10 0 巧求周长 下下图中的阴影部分图中的阴影部分BCGF是正方形 线段是正方形 线段FH长长18厘米 线段厘米 线段AC长长 24厘米 则长方形厘米 则长方形ADHE的周长是的周长是 厘米 厘米 H GF E D CB A 解析 本题需要注意 长方形ADHE的宽应等于正方形BCGF的边长 由于图中阴影部分BCGF是个正方形 其四条边的边长都相等 且等于长方形ADHE的 宽 FHAC 的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长 所以等于长方形 ADHE的长与宽之和 所以长方形ADHE的周长为 1824 284 厘米 1 11 1 周周长长与与面积面积 有有9个小长方形 它们的长和宽分别相个小长方形 它们的长和宽分别相等 用这等 用这9个小长方形拼成的个小长方形拼成的 大长方形的面大长方形的面积是积是45平方厘米 求这个大长方形的周长平方厘米 求这个大长方形的周长 解析 从图上可以知道 小长方形的长的4倍等于宽的5倍 所以长是宽的541 25 倍 每个小长方形的面积为4595 平方厘米 所以1 25 宽 宽5 所以宽为2厘米 长为2 5厘米 大长方形的周长为 2 5 422 5 229 厘米 1212 梯形梯形蝴蝶蝴蝶 如图 如图 ABCD与与AEFG均为正方形 三角形均为正方形 三角形ABH的面积为的面积为 6 平方厘平方厘 米 图中阴影部分的面积为米 图中阴影部分的面积为 AB CD E F G H AB CD E F G H 解析 如图 连接AF 比较ABF 与ADF 由于ABAD FGFE 即ABF 与 ADF 的底与高分别相等 所以ABF 与ADF 的面积相等 那么阴影部分面积与 ABH 的面积相等 为 6 平方厘米 1 13 3 曲线曲线开型开型面积面积 如右图 有如右图 有 8 8 个半径为个半径为 1 1 厘米的小圆 用它们的圆周的一部分连成厘米的小圆 用它们的圆周的一部分连成 5 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 一个花瓣图形 图中的黑点是这些圆的圆心 则花瓣图形的面积是多少平方厘米 一个花瓣图形 图中的黑点是这些圆的圆心 则花瓣图形的面积是多少平方厘米 取取 3 3 解析 本题直接计算不方便 可以利用分割移动凑成规则图形来求解 如右上图 连接顶角上的 4 个圆心 可得到一个边长为 4 的正方形 可以看 出 与原图相比 正方形的每一条边上都多了一个半圆 所以可以把原花瓣 图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方 这样得到一个正方形 还 剩下 4 个 1 4 圆 合起来恰好是一个圆 所以花瓣图形的面积为 22 4 119 平方厘米 1 14 4 曲线曲线型型面积面积 如图 如图 ABCD 是边长为是边长为 a 的正方形 以的正方形 以 AB BC CD DA 分别为直分别为直 径画半圆 求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积 径画半圆 求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积 取取 3 D C B A a D C B A a 解析 这道题目是很常见的面积计算问题 阴影部分是一个花瓣状的不规则图形 不能直接通过面积公式求解 观察发现阴影部分是一个对称图形 我们只需要在阴影 部分的对称轴上作两条辅助线就明了了 如图 这样阴影部分就划分成了 4个半圆减去三角形 我们可以求得 4SSS 阴影半圆三角形 2 11 4 2222 aa a 2 1 2 a 1 15 5 表表面积面积计算计算 中是一个边长为中是一个边长为 4 厘米的正方体 分别在前后 左右 上下各面的中厘米的正方体 分别在前后 左右 上下各面的中 心位置挖去一个边长心位置挖去一个边长 1 厘米的正方体 做成一厘米的正方体 做成一种玩具 它的表面积是多少平方厘米 种玩具 它的表面积是多少平方厘米 6 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 解析 根据题意可知 挖去的 6 个边长 1 厘米的正方体相互之间是独立的 所以挖 去之后 原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积 所以现在它的表面 积为 4 4 6 1 1 4 6120 平方厘米 1 16 6 共共高高模型模型 如图 把四边形如图 把四边形 ABCD 的各边都延长的各边都延长 2 倍 得到一个新四边形倍 得到一个新四边形 EFGH 如果如果 ABCD 的面积是的面积是 5 平方厘米 则平方厘米 则 EFGH的面积是多少平方厘米的面积是多少平方厘米 解析 如下图 连接 BD ED BG 有EAD ADB 同高 所以面积比为底的比 有2 EADABDABD EA SSS AB 同理36 EAHEADEADABD AH SSSS AD 类似的 还可得6 FCGBCD SS 有 66 EAHFCGABDBCDABCD SSSSS 30 平方厘米 连接 AC AF HC 还可得6 EFBABC SS 6 DHGACD SS 有 66 EFBDHGABCACDABCD SSSSS 30 平方厘米 有四边形 EFGH 的面积为EAH FCG EFB DHG ABCD 的面积和 即为 30 30 5 65 平方厘米 1 17 7 等积等积变形变形 图中图中 ABCD 是个直角梯形是个直角梯形 DAB ABC 90 以 以 AD 为一边向外作为一边向外作 长方形长方形 ADEF 其面积为 其面积为 6 36 平方厘米 连接平方厘米 连接 BE交交 AD 于于 P 再连接 再连接 PC 则图中阴影部 则图中阴影部 分的面分的面积是积是 平方厘米 平方厘米 7 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 P A BC D EF P A BC D EF 解析 如图 连接AE BD 因为AD BC 则 PDCPDB SS 又AB ED 则 EADEBD SS 所以 11 6 363 18 22 EPDPDCEPDPDBEDAADEF SSSSSSS 阴影 平方厘米 1 18 8 一一半半模型模型 一个长方形分成一个长方形分成 4 个不同的三角形 绿色三角形面积占长方形面积的个不同的三角形 绿色三角形面积占长方形面积的 15 黄色三角形面 黄色三角形面积是积是 2 21cm 问 长方形的面积是多少平方厘米 问 长方形的面积是多少平方厘米 红 绿 黄 红 解析 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长 高相加为长方形的 宽 所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50 而绿色三角形面积 占长方形面积的15 所以黄色三角形面积占长方形面积的50 15 35 已知黄色三角形面积是 2 21cm 所以长方形面积等于21 35 60 2 cm 1919 表表面积面积计算计算 如图 棱长分别为如图 棱长分别为1厘米 厘米 2厘米 厘米 3厘米 厘米 5厘米的四个正方体紧贴厘米的四个正方体紧贴 在一起 则所得到的多面体的表面积是在一起 则所得到的多面体的表面积是多少平方多少平方厘米 厘米 解析 法 1 四个正方体的表面积之和为 2222 1235 639 6234 平方厘米 重叠部分的面积为 222222222 13 22 1 321 321 39 14 1440 平方厘米 所以 所得到的多面体的表面积为 23440194 平方厘米 8 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 法 2 三视图法 从前后面观察到的面积为 222 53238 平方厘米 从左右 两个面观察到的面积为 22 5334 平方厘米 从上下能观察到的面积为 2 525 平方厘米 表面积为 3834252194 平方厘米 2 20 0 表表面积面积计算计算 用棱长是用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形 问该图形的表厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形 问该图形的表 面积是多少平方厘米面积是多少平方厘米 解析 该图形的上 左 前三个方向的表面分别由 9 7 7块正方形组成 该图形的表面积等于 977 246 个小正方形的面积 所以该图形表面积 为 46平方厘米 2 21 1 取取特殊特殊点点 长方形长方形ABCD的面积为的面积为 3636 E F G为各边中点 为各边中点 H为为AD边上任边上任 意一点 问阴影部分面积是多少 意一点 问阴影部分面积是多少 H G F E D C B A H G F E D CB A 解析 特殊点法 由于H为AD边上任意一点 找H的特殊点 把H点与A点重合 如左上图 那么阴影部分的面积就是AEF 与ADG 的面积之和 而这两个三角形 的面积分别为长方形ABCD面积的 1 8 和 1 4 所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的 113 848 为 3 3613 5 8 2 22 2 共共高高模型模型 如图 长方形如图 长方形ABCD的面积是的面积是 2 平方厘米 平方厘米 2ECDE F是是DG的中的中 点 阴影部分的面积是多少平方厘米 点 阴影部分的面积是多少平方厘米 G F E D CB A x y y x G F E D CB A 解析 如下图 连接FC DBF BFG的面积相等 设为x平方厘米 FGC 9 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 DFC的面积相等 设为y平方厘米 那么DEF的面积为 1 3 y平方厘米 221 BCD Sxy BDE 111 S x y l 333 所以有 0 5 31 xy xy 比较 式 式左边比 式左边多2x 式右边比 式右边大 0 5 有20 5x 即 0 25x 0 25y 而阴影部分面积为 255 0 25 3312 yy 平方厘米 2 23 3 周周长长与与面积面积 如图 大长方形的面积是小于如图 大长方形的面积是小于 200200 的整数 内部有三个边的整数 内部有三个边长为整数的长为整数的 正方形正方形 A A B B C C 正方形 正方形 B B 的边长是长方形长的的边长是长方形长的 7 167 16 正方形 正方形 C C 的边长是长方形宽的的边长是长方形宽的 1 41 4 那么剩余黑色区域的面积是多少 那么剩余黑色区域的面积是多少 解析 如图 长方形长的 16 9 宽的 3 4 可求出长与宽的比 再根据面积小于 200确定面 积大小 从长方形面积中减去 A B C 就是阴影部分面积 长 9 10 宽 3 4 长 宽 4 3 面积 200 的整数 所以长 16 宽 12 面积 192 A 9 S 81 16 2 16 B 7 S 16 2 16 49 C 1 S S 4 2 12 9 阴影 192 8119 9 53 2 24 4 梯形梯形蝴蝶蝴蝶 如图所示 如图所示 BD CF将长方形将长方形ABCD分成分成 4 块 块 DEF 的面积是的面积是 5 平平 方厘米 方厘米 CED 的面积是的面积是 10 平方厘米 问 四边形平方厘米 问 四边形ABEF的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 F A BC D E 10 5 F A BC D E 10 5 解析 连接BF 根据梯形模型 可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等 即其面积也是 10 平方厘米 再根据蝴蝶定理 三角形BCE的面积为10 10520 平 方厘米 所以长方形的面积为 20 10260 平方厘米 四边形ABEF的面积为 605 102025 平方厘米 10 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 2 25 5 面积面积与与重叠重叠 奥运会的会徽是五环图 一个五环图是由内圆直径为奥运会的会徽是五环图 一个五环图是由内圆直径为 6 厘米 外圆直厘米 外圆直 径为径为 8 厘米的五个环组成 其中两两相交的小曲边四边形厘米的五个环组成 其中两两相交的小曲边四边形 阴影部分阴影部分 的面积都相等 已知的面积都相等 已知 五个圆环盖住的面积是五个圆环盖住的面积是77 1平方厘米 求每个小曲边四边形的面积 平方厘米 求每个小曲边四边形的面积 3 14 解析 每个圆环的面积为 22 4 37 21 98 平方厘米 五个圆环的面积和为 21 98 5109 9 平方厘米 八个阴影的面积为 109 977 132 8 平方厘米 每个阴影的面积为 32 884 1 平方厘米 2 26 6 圆柱圆柱体体表面表面积积 如图是一个半径为如图是一个半径为 4 4 厘米 高为厘米 高为 4 4 厘米的圆柱体 在它的中间依次厘米的圆柱体 在它的中间依次 向下挖半径分别为向下挖半径分别为 3 3 厘米 厘米 2 2 厘米 厘米 1 1 厘米 高分别为厘米 高分别为 2 2 厘米 厘米 1 1 厘米 厘米 0 50 5 厘米厘米 的圆柱体 则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米 的圆柱体 则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米 解析 圆柱挖掉 3个小圆柱 表面积会增 3 个圆柱的侧面积 底面积总和不变 总表面积为 2 3 2 2 2 1 2 1 0 5 12 4 1 17 2 27 7 等积等积变形变形 输液输液 100100 毫升 每分钟输毫升 每分钟输2 5毫升 如图 请你观察第毫升 如图 请你观察第 1212 分钟时图中的分钟时图中的 数据 问 整个吊瓶的容积是多少毫升 数据 问 整个吊瓶的容积是多少毫升 11 学习改变命运 思考成就未来学习改变命运 思考成就未来 第第 2 2 讲讲 解析 100 毫升的吊瓶在正放时 液体在 100 毫升线下方 上方是空的 容积是多 少不好算 但倒过来后 变成圆柱体 根据标示的格子就可以算出来 由于每分钟输2 5毫升 12 分钟已输液2 5 1230 毫升 因此开始输液时 液面应与 50 毫升的格线平齐 上面空的部分是 50 毫升的容积 所以整个吊瓶的容积 是10050150 毫升 2 28 8 表表面积面积变化变化 如图 有一个边长为如图 有一个边长为 20 厘米的大正方体 分别在它的角上 棱上 厘米的大正方体 分别在它的角上 棱上 面上各挖掉一个大小相同的小立方体后 表面积变为面上各挖掉一个大小相同的小立方体后 表面积变为 2454 平方厘米 那么挖掉的小立方平方厘米 那么挖掉的小立方 体的边长是多少厘米 体的边长是多少厘米 解析 大立方体的表面积是 20 20 6 2400 平方厘米 在角上挖掉一个小正方体后 外面少了 3 个面 但里面又多出 3 个面 在棱上挖掉一个小正方体后 外面少了 2 个面 但里面多出 4 个面 在面上挖掉一个小正方体后 外面少了 1 个面 但里面多出