注意等号成立的条件.doc

注意等号成立的条件江苏江阴长泾中学 马银萍最值问题往往涉及的知识点多、覆盖面广、综合性强。它是高考考查的一项重要内容，利用不等式中的等号成立求最值是解决最值问题的主要方法。运用这种方法，往往需要对相关对象进行适当的放大、缩小，或不等式之间进行传递、相加、相乘等变形。在此过程中，学生常常因忽视等号成立而导致错误，而且错误不易察觉。下面仅以几例来说明此问题。一、 忽视均值不等式中的等号成立致错例1、 求函数的最小值错解：由可得 y 的最小值是评注：在中当且仅当即时等号成立，由sinx的有界性可知，这是不可能的，即均值不等式中的等号不可能成立，故不是 y 的最小值.正解：记 易知对于递减，故，即当时 y 取最小值3。例2 设，求的最大值。即 x0 于是，故。评注： 初看起来，在中，当且仅当 x = 1时等号成立，符合 x 0的条件，其实这里推出的 x 0，忽视了的有界性，扩大了 x 的取值范围，因此解法是错误的。 本题给我们一个启示：利用均值不等式求最值不仅要注意不等式本身等号成立的条件，还要注意题目中某些隐念的条件，做到周密思考。二、 忽视不等式传递之后等号成立致错例3、若正实数 x、y 满足,求 x + y 的最小值。评注：这里中，当且仅当即 y = 4x时等号成立；而中，当且仅当x = y 时等号成立，因此传递之后所得到的不等式中的等号不可能成立，故32不是 x + y的最小值。 当且仅当即 y = 2x (此时 x = 12,y = 24)时等号成立，故 x + y 的最小值是36三、 忽视不等式相加、相乘后等号成立致错例4、已知函数 f(x) = ax2 - c满足-4f(1)-1,-1f(2)5，求f(3)的最大值与最小值错解：由题意得 利用不等式的相加性、相乘性可得 09a27,-7-c-1即 -79a-c26，而f(3)=9a-c,-7f(3)26故f(3)的最大值是26，最小值是-7评注：在-7f(3)26中，当且仅当a = 3,c = 1时右等号成立;当且仅当a = 0,c = 7时左等号成立,这两组值均不满足式,因此-7f(3)26中的左右等号均不能成立,故26,-7不是f(3)的最大值与最小值,其实由不等式组变到不等式组扩大了a、c的取值范围。正解：由 f(1)=ac,f(2)=4ac,f(3)=9ac,可设 f(3) = mf(1) +nf(2),展开整理后得在应用题中尤其要注意等号成立的条件，因为变量在实际问题中隐含着取值范围，一个不注意就容易出错。例如：例5、甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。（1） 把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析： 本题是1997年全国高考理（22）题，关键在于建立目标函数，通过均值不等式求最值。解：（1）依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为所求函数及其定义域为，（2）依题意知，s，a，b，v均为正数， 分析： 在（2）中，结论成立的条件是，但速度 能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。应分以下两种情况讨论：若 ,则当 时，全程运输成本最小。若,当0vc时,易证y是v的增函数，因此，当v=c时，全程运输成本最小。事实上， cv0且，（当且仅当v=c时，等号成立）。综上可知：为使全程运输成本最低，当时， 当时v=c点评： 在本题解答过程中，许多考生只考虑到一种情况， 原因在于对均值不等式中等号成立的条件疏忽了，对于形如形式的函数的性质要熟悉，有利我们在求最值时的应用。从以上几例看出，我们了解了一定的解题工具，而且也会熟练运用，