第十一章 稳恒磁场.doc

第十一章 稳恒磁场11-1 如图11-1 所示，两根长直导线互相平行地放置，导线中的电流大小相等，均为方向相同，求图中M、N两点的磁感应强度B的大小和方向（图中）。解：两导线在M、N点产生的磁感应强度如图11-1（a）所示。在M点，和大小相等方向相反，由场强叠加原理可知在N点，两导线产生的磁感应强度大小为：且，由场强叠加原理可得，方向水平向左。NRBI图11-2 图11-1NII（a）r0Mr0r0NII（b）r0Mr0r0B1B1B1B2BN11-2 已知地球北极磁场强度为B的大小为。如果想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流大小为多少？流向如何？解：设所求电流为I，方向如图所示，因为圆形电流在距轴体上的磁感应强度为：对于北极点，于是有：赤道上的电流强度为：11-3 如图11-3所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b两点，并与很远处的电源相接。求环心O的磁感应强度。解：设圆环以acb弧长，其电流为，而adb弧长为，电流为。因这两段弧可形成并联电路所以两端电压相等，于是有：考虑环的截面积和电阻率是一样的，电阻与弧长成正比，所以上式改写为：弧：一电流在O点产生的磁感应强度为：，方向垂直纸面向里。整个弧在O点产生的磁感应强度为：，方向垂直纸面向里。同理的弧在O点产生的磁感应强度为：，方向垂直纸面向外。由比奥萨伐尔定理可知de、af段在O点产生的磁感应强度为0，ef离O很远，故ef导体在O点产生的磁感应强度也为0，所以O点的总的磁感应强度为：OdRabcefI2I1图11-311-4 如图11-4所示，几种载流导体在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感应强度各为多少？解：（a）O点的磁场可由两根“半长直电流”和1/4圆弧电流激发而成，但O点在两直导线的延长线上，由毕奥萨伐尔定律可知直线电流对O点的磁感应强度没有贡献。故O点的磁感应强度为：，方向垂直纸面向外。（b）因为直导线在O点的磁感应强度为方向垂直纸面向外；而圆弧在O点产生的磁感应强度为方向垂直纸面向里。（c）O点的磁感应强度可视为1/2圆电流及两半无限长直电流各自在O产生的磁感应强度的叠加。OR（a）IOR（b）IRO（c）图11-4 对于半圆弧在O点的磁感应强度为方向垂直纸面向外，两段半无限长直流导线产生的磁感应强度为垂直纸面向外。所以整个导线在O点合场强为：方向垂直纸面向外。11-5 由导线完成的n边正多边形，其外接圆半径为R，假设导线电流强度为I。（1）证明中心O处的磁感应强度为：（2）证明当时，B等于载流圆环中心的磁感应强度解：（1）由有限长直导线的磁感应强度得第i条边在O点产生的磁感应强度为：其中，根据上面的式子可解得O点的磁感应强度为：，方向垂直纸面向里。（2）当时11-6 如图11-6所示，一个半径为R的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流强度I在柱面上均匀分布。求半圆柱面轴线上的磁感应强度。OIRO 图11-6 （a）OdBdlyx（b）解：将无限长半圆柱面视为许多平行的无限长带电直导体所组成，考虑处于角处的长直载流导线，如图11-6（b）所示。其电流为：由安培环路定理求得在O点激发的磁场为，方向如图11-6（b）所示。由对称性可知dB在y轴上的分量相互抵消，仅有x分量，但沿着x的负方向。故有所以在轴线上某点O处的磁感应强度为B的方向指向x轴的负方向。11-7 如图11-7所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I。求球心O处的磁感应强度。解：2ROOxyd(b)(a)图11-7作截面O-xy与线圈正交，如图11-7（b）所示，沿圆周单位长度的线圈匝数为，任意一薄片中的电流为设圆电流在球心O处激发的磁场为所以球心O处的磁感应强度为：由以上各式可得：B的方向根据右手定则给出。OIbPr（a）Pdxdrx（b）图11-811-8 如图11-8所示，一宽度为b的薄金属板，其电流为I。试求在薄板的平面上，距板的一边为r的点P的磁感应强度。解：以P点为原点O，建立Ox如图11-8（b）所示，取宽度为dx的直线电流。，其在P点产生的磁感应强度为：P点总的磁感应强度为：B的方向垂直纸面向里。O P图11-9dIIRR11-9 实验室中常用的所谓赫姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁场，其装置简图如图11-9所示，一个完全相同彼此平行的线圈，它们的半径均为R，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相同。试证当两线圈中心之间的距离d等于线圈半径R时，在线圈中心点附近区域，磁场可看成是均匀的。证：以两线圈连线中心O点为原点建立Ox坐标轴，设P点为中心点附近区域的一点，坐标为（0，x），而线圈在P点产生的磁场方向相同。其大小为：P点的总磁感应强度为：方向沿x轴的正方向。当x等于0时，说明在O点B有极值。当x=0时，当a=R时，说明B在O点附近变化极为缓慢，所设区域磁场可近似看作均匀磁场。11-10 如图11-10 所示，载流长直导线的电流为I，试求通过矩形面积的磁通量。图11-11enBRSS图11-10ILd1d2（a)O xdxI（b)解：建立如图11-10（b）所示的坐标系，对于面元，其面积为由可得穿过微面元的磁通量为。矩形平面的总的磁通量为11-11 在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，B与半球面的夹角为，求通过该半球面的磁通量。解: 由高斯定理得：，所以，穿过半球面的磁通量为11-12 已知裸线允许通过50A电流而不会使导线过热。电流在导线横截面上均匀分布。求（1）导线内、外磁感应强度的分布；（2）导线表面的磁感应强度。解：取半径为r，与铜体同轴的圆环（1）由安培环路定理得方向与电流成右手螺