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文档简介

1 3实对称矩阵的特征值和特征向量 一 对称矩阵的性质二 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 P2 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定理3 9对称矩阵的特征值为实数 证明 一 对称矩阵的性质 本节所提到的对称矩阵 除非特别说明 均指实对称矩阵 P3 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 于是有 两式相减 得 P4 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 注 P5 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 证明 于是 定理3 10设l1 l2是对称矩阵的两个特征值 p1 p2是对应的特征向量 若l1 l2 则p1 p2正交 P6 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定理3 11设A为n阶对称矩阵 则存在n阶正交矩阵Q 使得Q 1AQ为对角矩阵 对角元是A的n个特征值 P7 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 二 用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤 1 作 求诸li i 1 2 m 2 解 得基础解系 3 正交化得 4 单位化得 5 作正交矩阵及则 P8 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 解 例3 5正交矩阵Q 使得Q 1AQ为对角矩阵 l1 3 二重 l1 6 P9 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 将l1 3代入 lE A x 0 得基础解系a1 2 1 0 T a2 2 0 1 T 将其正交化 b1 a1 单位化 P10 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 将l2 6代入 lE A x 0 得基础解系a3 1 2 2 T 单位化 则Q 1AQ L P11 12 3实对称矩阵的特征值和特征向量 例3 6设三阶对称阵A的特征值l1 0 l2 1 二重 属于l1的特征向量为a1 0 1 1 T 求A 解对应于l2 1的线性无关的特征向量有两个 设为a2 a3 则a2 a3均a1与正交 即满足a1Ta x2 x3 0 a x1 x2 x3 T 解之得基础解系a2 1 0 0 T a3 0 1 1 T
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