建筑物人员疏散逃生速度的数学模型之我见.pdf

文章编号 1006 155X 2002 02 066 05 建筑物人员疏散逃生速度的数学模型 陆君安1 方 正2 卢兆明3 赵春梅1 1 1 武汉大学数学与统计学院 湖北 武汉 430072 21 武汉大学土木工程学院 湖北 武汉 430072 31 香港城市大学建筑系 摘要 从人员在建筑物紧急疏散时同前后及左右人员拥挤对人员启动加速度的影响机理出发 建立了人员疏散 动力学方程 并推导出人员在拥挤环境下的移动速度公式 得到人员移动速度与人员拥挤密度呈对数的关系 与 前人观测数据基本吻合 通过拟合分析表明前后人员的影响远大于侧向 关键词 建筑疏散 机理 数学模型 拟合 中图分类号 TU 12 TB 11 文献标识码 A 随着高层建筑的不断增多以及现有建筑的逐 步老化 各种事故隐患也在不断增多 特别是建筑 物火灾时有发生 火灾中由于人员不能及时疏散被 烟气窒息情况十分突出 所造成的生命财产损失十 分巨大 如洛阳发生的11 25特大火灾由于疏散通 道的阻塞而导致人员烟气中毒或窒息死亡 人们在 对建筑物的火灾安全设计及评估过程中 不得不慎 重考虑建筑物的紧急避难问题 过去人们对于建筑 物人员疏散主要是进行一些描述及访问性研究 随 着现代建筑复杂及智能化程度的提高 对于火灾安 全的分析仅停留在定性分析已远不能满足要求 特 别是近年来以计算机技术为基础的各种研究手段 如 数字摄像 计算机仿真 虚拟现实技术引入 对 于疏散过程的许多特征量的具体量化及各特征量 之间关系的分析越来越引起火灾科学家和有关部 门的重视 1 1 人员疏散的基本特征量及其观测 成果 一般而言 人员在建筑物中的疏散主要涉及到 建筑物结构布置 灾害环境 个人身体状况 教育经 验四种因素共同作用 2 灾害环境指如火灾烟气浓 度 人群拥挤程度等 个人特征主要包括如性别 年 龄 体力 反应等 其次个人经历 所受教育 文化传 统及生活经验等对逃生也具有一定的影响 考虑到 人群的一般特性 同时在人群中个人因素受周围人 员的制约 控制人群中人员移动主要反映在人群拥 挤程度对移动速度的影响 其中拥挤程度用人员密 度来量化 即单位面积上占据的人数 移动速度用 单位时间前进距离来量化 此外 对于建筑物通道 出口等还考虑单位宽度所通过的人数 即人流流 量 它们之间存在如下关系 人流流量 人流速度 人流密度 通道宽度 通常情况下 人流密度越大 人与人之间的距 离越小 人员移动越缓慢 反之密度越小 人员移动 越快 过去对于这些参数的研究主要是通过现场观 测和录像记录两种手段进行 到目前为止 已积累 了大量的观测数据 其中 比较典型的有前苏联的 Predtechenskii Milinskii 3 美国的Fruin Maclennan 当人口密度超过3 8人 m2时 则移 动较困难 在0 54到3 8之间他认为密度和人员 移动速度是符合直线关系的 4 对于人员密度较大 时显然不十分合理 同时也有人将密度与移动速度 关系拟合成指数关系或三角函数关系 但尚未见到 从动力学分析寻找它们之间的关系 2 人员逃生速度的动力学分析 在疏散逃生群体中 对于某一人的逃生速度受 到前后拥挤和左右拥挤两方面的影响 1 前后拥挤的影响 考虑第j个人t时刻位置 为xj t 坐标起点取在出口处 xj 1 t xj t 它 的速度和加速度分别为d xj dt 和d 2 xj dt2 第j个人与紧挨 前面的第j 1个人的相对距离和相对速度分别为 xj t xj 1 t 和 dxj dt dxj 1 dt 当相对速度 dxj dt dxj 1 dt 越大时 为了避免与前面挤压 第j 个人企图停止的力量也越大 当相对距离 xj t xj 1 t 越小时 为了避免与前面挤压 第j个人 企图停止的力量也越大 因此有 避免前后拥挤的 停止力正比于 7 d xj dt dxj 1 dt xj t xj 1 t 2 左右拥挤的影响一般来说在逃生人群较密 时 左右方向密度要大于前后方向密度 由于左右 方向的挤压造成了对逃生的阻尼作用 记第j个人 受到阻尼力大小为fj 0 设第j个人的质量为Mj 人对拥挤情况变化能 即时作出反应 根据Newton第二定律 得到 Mj d2xj dt2 A dxj dt dxj 1 dt xj t xj 1 t fj 1 其中 A为正常数 如果逃生者共有N个 j 2 3 N 式 1 为N 1个二阶常微分方程组 未知函 数为xj j 2 3 N 我们称式 1 为平面上的逃 生疏散动力学方程组 3 稳定疏散逃生的速度模型 由于疏散速度与人员密度 拥挤状况 有着直 接关系 当逃生人员拥挤时 逃生速度下降 因而逃 生速度是逃生人员密度的单调下降函数 当逃生人员较少时 逃生者可以自由奔跑 这 时逃生速度上界记为um 设人员密度分为前后方 向线密度 1和左右方向线密度 2 于是逃生速度 u u 1 2 当 1 2小于某临界值 1c 2c时 u达到最大值um 即当 1 1c 2 2c时 u 1 2 um 称 1c 和 2c为可自由逃生的前后和左右 临界密度 另一方面 当 1 2达到某个较大值时 道路拥挤不堪而不能跑动 这时的密度记为 1m和 2m 故 u 1m 2m 0 现在对式 1 两边积分 得到 dxj dt jLn xj 1 t xj t 1 Mj Fj j 2 其中 j A Mj Fj是fj的积分项 表示第j个逃 生者受到的左右阻尼冲量 j为积分常数 设人在前后 左右占位相同 记为L 第j个人 第2期陆君安等 建筑物人员疏散逃生速度的数学模型67 与前后的间隔为d1 与左右的间隔为d2 于是 xj 1 t xj t L d1 而左右阻尼冲量与左右 间隔关系为Fj k d2 L k 0为常数 因而 uj jLn L d1 1 Mj k d2 L j 3 由于 1 1 d1 L 2 1 d2 L 将它们代入式 3 得到 uj 1 2 j Ln 1 1 k Mj 2 j 4 利用 u 1 2 0定出 j然后代入 4 得到 uj 1 2 jLn 1m 1 k M 2m 2 1c 1 1m 2c 2 2m 于是稳定平衡时疏散速度为 uj 1 2 um 1 1c 2 2c uj 1 2 jln 1m 1 k M 2m 2 1c 1 1m 2c 2 1m 2 2m 5 影响uj 1 2 的有两部分 即式 5 右边两 项 第一项是由于前后拥挤对速度的影响项 如果 只考虑前后拥挤 则 u1j 1 jLn 1m 1 由 1 1c时u1j um定出 j 最后得到了不考虑 左右阻尼的逃生速度为 u1j 1 um ln 1m 1 ln 1m 1c 6 5 式右边第二项是由于左右拥挤对速度的影响 u2j 2 k M 2m 2 再利用 2 2c时u2j um 得到左右拥挤对速度 的影响为 u2j 2 um 2m 2 2m 2c 7 由于我们在推导人员疏散速度时忽略了人员 特性 建筑环境等影响因素 考虑前后 左右及其他 因素的综合效应 分别给出三者对人员移动速度的 贡献权重为 最后得到 uj 1 2 um ln 1m 1 ln 1m 1c 2m 2 2m 2c 8 1c 1 1m 2c 2 2m 式 8 即为疏散逃生速度方程 4 人员疏散速度公式的讨论 在式 8 中我们要考虑疏散过程中人员前后及 两侧方向的密度 但在实际观测过程中人们很难分 别记录前后及两侧方向的人口线密度 故一般都是 记录考察单位面积内的人员数量即面密度 1 2 9 P A Thompson假设人群前后及左右方向的密度相 等得到其与面密度的关系 但从实际人群行走的观 测来看 两侧的密度一般大于前后的密度 故我们 在式 8 中做如下近似变换 1 2 3 2 10 2 1 3 1 11 其中 3 1 1c 1m 2 3 2 2c 2m 2 这 种近似所需条件 1 3 1 3 1 2 32 3 2 在实际中基本可以得到满足 于是将式 10 11 代入式 8 得 uj 1 2 um ln 1m 3 2 ln 1m 1c 3 1 2m 3 1 2m 2c 12 将上式写成如下形式 uj 1 2 uj um A B A ln 1m 3 2 ln 1m 1c 13 B 3 1 2m 3 1 2m 2c 根据M Y Roytman编译的前苏联建筑火灾安 全原理统计资料 8 通常情况下 成人在前后方向 的体厚约为0 32 m 两侧方向的体宽为0 5 m 考 虑人体间身体的接触为密度最大的时候 因此可以 认为在前后及左右方向的最大密度 1m和 2m分别 为3人 m和2人 m 当人们在前后及左右方向的 间距超过某一数值时则可以自由的奔跑 成人在正 常行走时的步距为0 7 m 加上脚掌的长度为0 95 m 考虑人们在行走时的惯性 根据Ando的资料前 后不受干扰的移动距离为1 12 m 两侧人体中线 间距约为0 75 m 据此 前后及左右的临界密度 1c 和 2c分别约为0 89人 m和1 33人 m 将上 68 武汉大学学报 工学版 2002 述的各项常数代入式 12 得到 A 1 32 0 82 Ln B 3 0 0 76 利用前人观测的数据如图1 我们可以对其按 式 13 形式进行拟合 如图2 得到 的值 如 表1 图2 原观测数据与拟合曲线比较 表1 参数对照表 参数 predrech enskii AndoHankinFruinHMSO 0 240 390 420 370 32 0 020 0140 0270 0880 021 0 260 240 150 0150 25 图2是不同研究者的结果与按式 13 拟合曲 线的比较 从图中可以看出 各种观测曲线基本呈 对数形状 与拟合曲线的一致性较好 也说明了上 述推导出的对数规律是正确的 由于人员拥挤的移动速度十分复杂 观测的环 境 对象不同得到的结果也不一样 甚至相同条件 下的实验也很难重复 但从拟合结果来看 前后人 员间距因素对速度贡献权重 在0 25 0 42之 间 侧向影响因子的权重为0 014 0 088之间 各 观测结果拟合的差值并不十分大 另外 从表1中拟合的数据可以看出 对 的 量级在10倍以上 说明疏散过程中人员前后拥挤 对速度的影响要比左右的影响大得多 这与实际观 测的现象也十分吻合 因为一般情况下 侧向间只 要不是太拥挤 人们还是可以并行向前以较大速度 移动的 5 结 语 随着现代建筑复杂程度及智能化的增加 人们 在建筑火灾安全评估 消防设计中不得不慎重考虑 建筑物的紧急避难问题 同时要求对建筑物安全进 行更精细的智能控制 特别是近年来以计算机技术 为基础的各种研究手段如 数字摄像 计算机仿真 虚拟现实技术的引入 这些都要求我们对于疏散过 程中的许多特征量的具体量化及各特征量之间的 关系要有十分清楚的认识 本文从人们在建筑物中紧急疏散时 同前后及 左右人员拥挤时对人们启动加速度的影响机理出 发 推导出人们在拥挤环境下的移动速度公式 得 到人员移动速度与人员拥挤密度呈对数关系 通过 拟合表明与多数研究人员得到的观测数据是基本 吻合的 主要结论 1 建立了拥挤时的人员疏散的动力学方程 为疏散问题的量化分析研究奠定了基础 2 提出了人员拥挤时前后及左右两方向的线 密度的概念 并推出其与疏散速度的对数关系 3 通过分析认为影响人员疏散速度包括三部 分 第一部分为前后人员拥挤的影响 第二部分为 左右拥挤的影响 第三部分为其他因素的影响 经 过数据拟合表明其中人员前后距离的影响占支配 地位 是左右因素10倍以上 4 分析各研究人员的观测数据得到人员疏散 的移动速度公式为 uj um A B 14 A 1 32 0 82 Ln B 3 0 0 76 其中 取值范围为0 25 0 44 取0 014 0 088 取0 15 0 26 第2期陆君安等 建筑物人员疏散逃生速度的数学模型69 参考文献 1 LO S M FANG Z A spatial grid evacuation model for building J Journal of fire science 2000 18 376 394 2 GWY NNE S G ALEA E R OWEN M An investigation of the aspects of occupant behavior required for evacuation modeling J J Applied Fire Science 1988 8 1 19 59 3 PREDTECHENSKII V M MILINSKI A I Planningfor foot traffic flow in building M Stroiizdat Publishers Moscow 1969 4 PHILIT J D CRAIGJ D RICHARD L R et al SFPE Handbook of Fire Protection Engineering S Published by National fire protection association 1995 5 SMITH R A Density velocity and flow relationships for closely packed crowds J Safety Science 1995 18 321 327 6 THOMPSON P A MARCHANT E W Computer and fluid modelling of evacuation J Safety Science 1995 18 277 289 7 谭永基 俞文鲲 数学模型 M 上海 复旦大学出版 社 1997 8 ROYTMAN M Y Principles of fire safety standards for building construction M Amerind publishing Co New Delhi 1975 Mathematical model of evacuation speed for personnel in buildings LU Jun an1 FANG Zheng2 LO Siu ming3 ZHAO Chun mei1 1 School of Mathematics and Statistics Wuhan University Wuhan 430072 China 2 School of Civil and Architectural Engineering Wuhan