奇数与偶数3.doc

奇 数 与 偶 数江苏省盐城中学 张顺和一、情景导入情景I 在桌上放置7枚硬币，每枚硬币正面都朝上.（1）若将其中3枚硬币同时翻转，称为“操作”一次，能否经过有限次“操作”后，使7枚硬币的正面都朝下吗？试一试，并与同伴交流.（2）若将其中4枚硬币同时翻转，称为“操作”一次，能否经过有限次“操作”后，使7枚硬币的正面都朝下吗？试一试，你发现了什么？你能解释其中的原因吗？情景 取一根绳子，把绳子的两端染成红色，再在绳子上任取5点，把这5点任意染上红色和蓝色中的一种，然后沿这5点把绳子剪成6段，数一数两个端点颜色不相同的绳子的条数，与你的同伴共同做几次实验，你有何发现？能说明这种现象吗？二、奇数、偶数的基本知识我们知道，整数可以分成两大类：奇数和偶数，如1、3、5，都是奇数，而O、2、4、6都是偶数.一般地，一个整数如果能被2整除就叫做偶数，如果不能被2整除（即被2除余1）就叫做奇数，偶数可以记作2n，奇数可以记作2n-1或2n+1(n是整数).奇数和偶数有如下一些简单性质：奇偶奇奇偶偶偶偶（1）加、乘法则+-奇偶奇偶奇偶奇偶（2）奇数偶数，奇数+偶数0。（3）两个整数的和与差的奇偶性相同。（4）整数a与|a|有相同的奇偶性。（5）如果若干个整数的乘积是奇数，那么每一个因数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因数是偶数，反过来，也正确。奇偶性的性质虽然很简单，但只要我们恰当而巧妙地使用，就能有效地解决许多数字问题，包括看上去“无从下手”的问题.三、例题分析例1 在1，2，3，2006每一个数前任意添加一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数？分析 由于加上正、负号是任意的，因此不可能将所有结果一一列出判断.注意到两个数的和与差有相同的奇偶性，故可考虑1，2，3，2006的和的奇偶性，从而推断所有代数和的奇偶性.解答 因为1+2+3+2006=（1+2006）2006=10032007是奇数，而两个整数的和与差有相同的奇偶数，所以1，2，3，2006前面任意加上正号或负号后的代数和必为奇数。另解 因为在每个整数前加上正号或负号，并不改变其奇偶性，而1，2，3，2006中共有1003个奇数，1003个偶数，所以在这些数前添上正号或负号后，仍然有1003个奇数，1003个偶数，根据奇数个奇数之和为奇数，任意个偶数之和为偶数可知，在1，2，3，2006前任意加上正号或负号后的代数和为奇数.反思 这里的2006只是迎合年代，增加其趣味性，实际上只要这些数的奇偶性及个数确定了，就能判断其代数和的奇偶性.拓展 你能在1，2，32006前添加正号或负号，使其代数和等于1吗？等于0吗？还能等于其它值吗？试一试？例2 设a、b、c中有两个奇数，一个偶数，试说明（a+1）(b+2)(c+3)一定为偶数.分析 要说明几个整数的积为偶数，只需得到这些因数中有一个是偶数就可以了.解答 因为a、b、c中有两个奇数，一个偶数，所以a+b+c为偶数.所以（a+1）+(b+2)+(+3)=(a+b+c)+6为偶数，因此，三个数（a+1）、(b+2)、(c+3)中至少有一个是偶数，所以（a+1）(b+2)(c+3)必为偶数. 反思 本题的解题过程中将三数积为偶数转化为有一个因数是偶数，进而去考虑三数和的奇偶性问题，这样“积”的问题转化为“和”的问题，使解答大大简化，当然，本题也可以根据a、b、c中有两个奇数，一个偶数的情况，分三种类型进行说明，但显然不如上面的方法简捷.探源 在本题条件不变的情况下，1、2、3三个数据可以用其他三个数据代替，只要这三个数据的和是偶数就可以了，也可以变换条件（如2个偶数和1个奇数），同学们可以自编一些类题，不妨试一试。如江苏省2002年初一竞赛试题第6题是这样的：已知a、b、c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果S=（a+2n+1）(b+2n+2)(c+2n+3)，那么（ ）（A）S是偶数 （B）S是奇数（C）S的奇偶性与n的奇偶性相同（D）S的奇偶性不能确定你能解决本题吗？例3 在黑板上写上1，2，,2006，只要黑板上还有两个或两上以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上|a-b|，问最后黑板上剩下的数是奇数还是偶数？分析 由于擦去的两数是随机的，无法一一进行验证，我们可以从1，2，2006这2006个数的整体来思考，它有1003个奇数和1003个偶数，所以它们的和的奇偶性可确定，另一方面，每次操作后，数的个数少了1个，和减少了a+b-a-b，这是一个偶数，于是每次操作后的和的奇偶性不变.解答 考察所有数的和S=1+2+3+2006,它是1003个奇数和1003个偶数之和，所以S是一个奇数，每操作一次总减少a+b-a-b，由性质知这是一个偶数，这说明总和S的奇偶性不变，由于开始时S是奇数，因此终止时S仍是一个奇数，故最后剩下的数是奇数。反思 运用奇偶性对每次操作后的数据进行分析是解决问题的关键，沿用这一思想方法，我们可以对本文开始时的情景I解答如下：7枚正面朝上的硬币如果每次同时翻转3枚，只需操作3次就可以使7枚硬币的正面都朝下（同学们可自行实践一下），但如果每次同时翻转4枚硬币，由于每操作一次，改变了偶数枚硬币的方向，所以不论操作多少次，也只能改变偶数硬币的方向，不可能改变奇数枚硬币的方向，所以若每次同时翻转4枚硬币，是不可能把7枚硬币的正面都朝下的。上面我们列举了一些用奇偶性来解答的较“正规”的问题，在数学竞赛中，还常遇到所谓的“非常规”问题，这类问题的解法千变万化，但其中很多问题与奇偶性有关。例4 某校七年级5个班的足球队参加比赛，能否安排出使每个队恰好参加奇数次比赛的比赛场次？分析 由于班级数较少，对于这一问题，可以尝试作出安排，当发现无法达到要求时，则可以确定这种安排是不可能的，考虑到每场比赛都是在两个队之间进行的，于是可联想到运用奇偶性分析。解答 不能作出这样的安排。否则，若可作这样的安排，设总的比赛场次为k场，因每一场比赛由两个队进行，故出场比赛只有2k个队次，为偶数，另一方面，若要求每个队都参加奇数次比赛，5个队比赛场次之和还是奇数，即总场次为奇数，矛盾。反思 本题中的5个队可以替换为奇数个队，结论仍然成立，即某校七年级有2n+1个班的足球队参加比赛，无法安排出使每个队恰好参加奇数次比赛的比赛场次.探源 解决此类问题的本质实际上仅用了奇偶性的一条简单性质，奇数偶数.运用同样的方法可以很容易地解决本文开始提出的情景问题：我们发现：尽管两个端点颜色不相同的绳子的条数有变化，但是条数一定是偶数条，理由如下：把一根绳子沿5点剪开后共得6条绳子，有12个端点，除了原来2个端点（都是红色）外，其余的10个端点都是成对出现的，即12个端点的红色端点及蓝色端点均为偶数，设6段中两个端点颜色不相同的绳子有k条，则两个端点相同的绳子有（6-k）条，（6-k）条绳子的红色和蓝色端点的个数必为偶数，所以，k条绳子的红色端点个数为偶数，所以k为偶数。这样的问题可以把5个点推广为多少个点？如果原绳子的二端点染不同的颜色，你还可以编拟什么样的问题，请你试试看.类似的情况很多，只要改变问题的情景即可.欣赏 1、有一批大学生互相写信，并且每个人只要接到对方来信就一定回信，请说明写了奇数封信的大学生有偶数个.图12、如图1在每一个圆圈里，任意涂上红色或蓝色，问有无可能使得每一条线上的红色圆圈的个数都是奇数？请说明理由.上述2题，相信同学们可以很容易解决.例5 黑板上写着3个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其它两数的和减去1，这样继续下去，最后得到2005、2006、2007，问原来的3个数能否是2，2，2。分析 考虑到操作的复杂性，要去试验是难以解决问题的，可以从（2，2，2）开始进行最初的操作，以发现规律，从而解决问题.解答 不妨第一次擦去（2，2，2）中的第一个2，则变为（3，2，2），第二次擦去（3，2，2）中第二个2后，变为（3，4，2），第三次若擦去2，则变为（3，4，6），若擦去3，则变为（5，4，2），若擦去4，仍为（3，4，2），尽管每次操作的数据可能发生变化，但除（2，2，2）外，每次操作的3个数据均为2个偶数和1个奇数，因为若擦去的是1个奇数，则替换的数据应为另两个偶数之和减去1，仍为奇数；若擦去的是1个偶数，则替换的数据应为1个偶数与1个奇数之和减去1，仍为偶数，但2005、2006、2007为二奇一偶，所以原来的3个数不可能是2，2，2.反思 我们不难看出，解答的关键在于考察数字变化后的奇偶性，2005，2006，2007这三个数并无特别意义，我们只用到它们的奇偶性（2奇1偶），你还可以用其它的数据代替吗？如果最后得到结果的数据是3个奇数，原来的3个能否是2，2，2吗？拓展 从3个偶数或2偶1奇的情况是无法按上述规则得3个奇数或2奇1偶的结果的，但另两种情况则有可能，如可从（3，3，3）得到（7，11，17）同学们不妨一试。例6 如果41名运动员所穿的运动服的号码分别是1，2，3，40，41试问：（1）如果这41位运动员任意站成一排，是否存在任意相邻的两位运动员的号码数之和都是质数？（2）能否让这41位运动员站成一个圆圈，使得任意相邻的两位运动员的号码数之和也都是质数？分析 如果可以找到满足条件的排列，由于相邻两数的和一定不小于3（1+2=3），所以相邻两数和必为奇数,因此1，2，40，41排列时必须奇数与偶数间隔进行，然而在41个数中有21个奇数，20个偶数，所以站成一排时，首尾必须都是奇数，于是可以先固定偶数的位置（尝试按从小到大的顺序）然后把奇数“插入”两偶数之间的方法进行，由第（1）小题的解题经验，思考第（2）小题结论的可行性。解答 （1）如果让号码是偶数的运动员先按号码从低到高的顺序从左到右站成一排，也就是将这些运动员按2，4，6，38，40这样先站成一排；然后再让运动服的号码数是奇数的运动员按号码从高到低的顺序依次插入号码是2，4，6，38，40的运动员的左边，最后一位运动员（也就是号码数是1）的运动员站在号码数是40的运动员的右边，即按41，2，39，4，37，6，35，38，3，40，1这样的顺序站成一排，就能使得任意相邻的两名运动员的运动服的号码之和或者是奇数43，或者是奇数41，而41与43都是质数，从而说明存在任意相邻的两位运动员的运动服的号码之和都是质数的站法.（2）如果这41名运动员站成一个圆圈后，能使得任意相邻的两位运动员的运动服的号码之和都是质数，那么这些质数一定都是奇数（因为任意两个相邻号码相加之和最小只可能是3，而不可能等于2），因此相邻的两位运动员的运动服的号码必定是一奇一偶，也就是说，号码必须是奇偶相间的，这样，就必须使得运动员的总人数是偶数，但实际上有41名运动员，而不是偶数个运动员，因此，欲使这41名运动员站成一个圆圈，任意相邻的两位运动员的运动服的号码之和都是质数是办不到的.反思 从上述解决问题的过程中可发现，通过“固定”一些数据，然后把余下的数据“插入”到这些“固定”数据中，构成符合要求的一组数据，这种方法尽管要求很高，但只要对问题的本质进行认真的分析和思考，还是可以做到的，同时，在其构造的这组数据中，还可看出，相邻两数的和只有二个质数，且它们是两个“孪生质数”（即两个连续的奇质数），依此要求，还可以把运动员的个数设为27个，试试看，你能否解决同样的问题，运动员还可以是多少个，请同学们自己找一找.四、练习巩固1、设a、b为整数，给出四个结论：若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；若a+5b是奇数，则a-3b是偶数；若a+5b是奇数，则a-3b是奇数。其中正确结论的个数是（ ）A、0B、2C、3D、42、已知n为整数，现有两个代数式：（1）2n+3，（2）4n-1，其中，能表示“任意奇数”的（ ）A、只有（1） B、只有（2） C、有（1）和（2）D、一个也没有3、如果a和b是奇数，c为任一整数，那么3a+(b-c)2c( )A、总是奇数B、总是偶数C、当c为偶数时是奇数；当c为奇数时是偶数D、当c为奇数时是奇数，当c为偶数时是偶数4、的前24位数值为3、14159265358979323846264，记a1，a2，a24为该24个数字的任一排列，试说明（a1-a2）(a3-a4)(a21-a22)(a23-a24)必为偶数。5、围棋盘上有1919个交叉点，在交叉点上已经放满了黑子和白子，并且黑子和白子相间放置，即黑子或白子上、下、左、右都放着白子或黑子，能否把该棋盘上所有的黑子与所有的白子交换位置？6、设a、b、c都是整数，且a与b奇偶性相同，c为奇数，是否能找到整数n，使an2+bn+c=0，为什么？7、17位学生面对体育老师排成一排，每一次体育老师都要求4位学生向后转，问能否经过若干次向后转，使17位学生全都背对体育老师？8、在数到2，0，0，3，5，8，6，2，1，7，6，0，9，1，中，自第5项起每个数字等于前面4个数的个位数字，那么，这个数列中会不会出现1，9，9，8这四个相邻的数字？为什么？9、求不定方程（X+Y+Z）（X-Y+Z）（X+Y-Z）（-X+Y+Z）=2006的整数解。10、一次测试后，老师准备让同学们互相来评判这次的试卷，于是有同学提议：让每个同学都评判他的邻座的试卷，如果这个班共有45人，而且他们坐成了9行，每行5人，那么这位同学的提议是否能够实现？五、练习参考答案1、B2、A3、提示 当c是奇数时，b-c是偶数，则（b-c）2c是偶数，从而3a+(b-c)2c是奇数；当c是偶数时，（b-c）2c是偶数，从而3a+(b-c)2c是奇数，故选A.4、观察的近似值可以看到，24个数码中有13个奇数，11个偶数，另外乘积式中的括号有12个，且a1,a2a24依次在这12个括号之中，显然13个奇数放进这12个括号做减法时，至少有一个括号内是两个奇数相减，这个括号的差必为偶数，于是这个偶数与另外11个整数相乘的积还是偶数，由此命题获证.5、围棋盘上有1919=361个交叉点，放满黑子和白子，说明黑子数与白子数的和为奇数，如果满足题目要求的操作可以实施，则黑子数和白子数应该相等，即黑子数与白子数的和为偶数，但361是奇数，故满足要求的操作不可能实施.6、不能找到整数n，使an2+bn+c=0，理由如下：（1）若n为奇数，因为a、b的奇偶性相同，所an2+bn为偶数，又因为c为奇数，所以an2+bn+c为奇数，所以an2+bn+c0;（2）若n为偶数，则an2+bn为偶数，由于c为奇数，所以an2+bn+c为奇数，所以an2+bn+c0。综合 （1）、（2）知，不存在整数n，使an2+bn+c=0.7、不