高中_数学情境与提出问题_的教学实践_归纳_猜想_证明_教学案例.pdf

第 12 卷第 4 期 数 学 教 育 学 报 Vol 12 No 4 2003 年 11月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Nov 2003 收稿日期 2003 06 17 基金项目 贵州省优秀科技教育人才省长专项基金项目 黔科教办 2001 3 号 作者简介 刘友军 1958 男 贵州遵义人 中教高级 主要从事中学数学教育研究 高中 数学情境与提出问题 的教学实践 归纳 猜想 证明 教学案例 刘友军 贵州遵义第四中学 贵州 遵义 563000 摘要 数学情境与提出问题 教学模式强调创设激发学生思维火花的情境 师生和谐于一体 并围绕相关问题而探索 集思广益 共同提高 具体到讲授 归纳 猜想 证明 一课 可从讲述著名的哥德巴赫猜想的产生与发展历程引入 给学 生以探索求真的感染力 同时揭示从特殊到一般的探索真理的思想方法及意义 适时提出探索性问题 让学生学习和体会数 学归纳法在探索性问题求解中的运用 体会 归纳 猜想 证明 这一认识事物重要方法的意义 关键词 归纳 猜想 证明 中图分类号 G632 4 文献标识码 A 文章编号 1004 9894 2003 04 0083 04 1 教学设计 本节课的目标是以数学归纳法的应用为基础 并利用从特殊到一般的归纳思想 解决一类探索性 问题的求解 同时深化数学归纳法的应用 总结 归 纳 猜想 证明 思想方法 提高学生分析问题和 解决问题的能力 这是一节求解探索性问题的课 型 这本身就决定了本节课应该是调动学生积极 性 充分讨论 积极思考 集思广益 探索方法和 结论的过程 所以采用 情境 问题 教学法 笔者在课前做了如下准备 将全班同学分 为若干小组 每组 6 人左右 原则自愿组合 老师 适当调整 使每组尽可能具备讨论问题氛围基 础 将合适题目 精选出 6 个 制成思考题单 课前发到各小组 各组就自己感兴趣的问题分析思 考 以此奠定上课时各组之间研究问题的基础 做好相应的多媒体演示课件 根据教学情况之需适 时演示 在上课的第一步 通过介绍哥德巴赫猜想 的话题 借此具有感染力的事例调节课堂气氛 同 时埋下 归纳 猜想 证明 这一探索真理重要方 法的伏笔 关键之二 是使情境 问题形成锁链 相互孕育 有序展开 为此 本案例讨论的第一个 问题 选择了具有直观意义的几何问题 在讨论思 考运用 归纳 猜想 证明 的过程中 顺势扩展 到更广的领域 并在总结中进一步提升认识未知世 界的重要思想方法之一 归纳 猜想 证明 的深远意义 2 教学过程 2 1 展示数学情境 教师 同学们 1742 年 德国数学家哥德巴赫 Goldbach 给当时住在德国的大数学家欧拉 Leonhard Euler 的一封信中 提出了一个猜想 每个大于或等于 6 的偶数 都可以表示成 2 个奇素 数之和 这就是著名的 哥德巴赫猜想 它引起 了许多数学家的广泛兴趣 曾经有人对 6 1033 以下 的每一个不小于6的偶数一一进行验证 都表明是 正确的 然而 验证不能代替证明 18 19 世纪过 去了 证明没有取得实质性进展 直到 20 世纪 才在不同程度上陆续获得成果 特别是我国数学家 陈景润的研究成果 目前还保持世界领先地位 同 时 国内外还有很多的数学工作者 至今还在孜孜 不倦地为结果的最终证明而奋斗 教师 从科学家们对哥德巴赫猜想的研究中 蕴含着一种探索真理的思维方法 请同学们说说 看 是否对此有所感悟 众学生 别人发现我证明 先发现 后证明 经过证明的结论才能可信 学生 1 从局部的特殊的发现 到一般的严格 的证明 教师 说得都不错 今天我们的共同任务 就 是学习体验从特殊入手 探索一般结论的方法 解 决一类探索性问题 通过课件在屏幕上依次画直线 满足两两相 84 数 学 教 育 学 报 第 12 卷 交 任何 3 线不共点 学生准确迅速数出直线的交 点数 平面区域数 并做记录 当画出第六条直线 时 数数开始出现错乱 2 2 提出数学问题 教师 同学们 体会刚才的数数活动 相信大 家有疑要问 有言要发 现在请畅所欲言 学生 2 如果直线很少 相信人人会数 但如 果直线越来越多 数起来就费力了 教师 越来越多 100 条多吗 能数吗 学生 2 100 条 估计没有人能数清楚 学生 3 这问题一定要数吗 是否应该研究一 下有没有规律呀 学生 4 我赞成 教师 各小组发言踊跃 提出了各自的疑问及 想法 综合起来大致归为如下几点 1 逐一数数是不是解决这问题的好方法 2 有没有规律可循 怎样寻找规律 3 那些点数 区域数有没有联系 它们和直 线的条数之间是什么关系 4 是否可以像哥德巴赫那样去猜想规律 5 n 条直线所划分的平面区域数 nf的表达 式是什么 n 条直线所形成交点数 ng的表达式是 什么 2 3 解决数学问题 教师 现在我们来探讨大家提出的问题 看屏幕 上面是刚才画的直线 下面增加一张 表格 请各小组迅速看图 填写 并陈述来自表格 的信息 如表 1 表 1 直线划分平面区域数 直线数 n 交点数 g n 区域数 f n 直线数 n 交点数 g n 区域数 f n 1 4 2 3 n 注 规定 1 条直线的交点数为 0 各小组积极讨论探索 大约五分钟后 学生 5 我们小组填表完毕 前 3 列可直接数 得 横向看每次增加的数构成等差数列 由此得出 最后一列的结果 2 1 nn ng 2 1 1 nn nf 教师 很好 归纳不错 其他小组结果怎样 有的小组表示不很清楚 教师 现在 请填完表的那个小组指定一名同 学陈述一下思考过程 利用投影仪 让大家对比 一下 学生 6 我们小组已完成了区域数问题 当直 线为 1 条时 平面区域为 2 个 增画第二条直线 平面区域增加了 2 个 当增画第三条直线时 平面 区域增加了 3 个 由此 我们猜想 当画出第 n 条直线时 平面区域个数比 n 1 条直线时增加了 n 个 由此可以得出 n 条直线所划分平面区域的个 数 nf 即 1 f 2 2 f 1 f2 22 3 f 2 f2 22 3 由此猜想 nf 22 3 n 1 n 1 2 1 nn 即 nf 1 2 1 nn 还有交点数问题 方法相同 教师 其他同学都表示赞同 看来很有道 理 我们现在是否已经完全解决了大家提出的问题 学生 7 我们小组赞同刚才的结论 但这只是 根据几个特殊数据的规律做出的猜想 还需要严格 证明 教师 说得好 从特殊获得的猜想 是一种不 完全的归纳 只有加上严格的证明 才是安全可靠 的结论 哪个小组展示一下严格证明 学生 8 我们小组是用数学归纳法证明的 先 说对 nf的证明 第一步 1 n时 显然成立 第二步 设 kf 1 2 1 kk 而第1 k条直 线与前 k 条直线相交被分为1 k段 每段将所在区 域一分为二 所以增加1 k个区域 即 1 kf kf 1 k 1 2 1 kk 1 k 1 2 1 1 1 kk 略 教师 同学们 我们用短短十几分钟的时间 真实体验了 从特殊事例的观察归纳 科学的假设 猜想 一般性严格证明 的探索方法的全过程 我 提议 为我们探索的成功 也为我们的问题的彻底 解决喝彩 教室响起了兴奋的喝彩声 掌声 2 4 总结数学应用 教师 我们可以把刚才的探索问题的方法总结 为屏幕上的 3 个步骤 归纳 猜想 证明 归纳 是来自对特殊 事例的观察 猜想 来自归纳的发现 证明 确保猜想的正确性 推广应用的安全性 由于我们 第 4 期 刘友军 高中 数学情境与提出问题 的教学实践 85 今天涉及的是与自然数相关的问题 所以证明的主 要方法 就是数学归纳法 请看大屏幕 下边是求解数列通项公式的题 目 我们研究一下怎么解决 问题 1 在正项数列 n a中 前n项的和为 n S 而且 n nn a aS 1 2 1 nN 求数列的通项公式 分析 通项公式 即函数关系 n a nf 它 与题设条件的关系较为隐蔽 让人感觉不好下 手 怎么办 学生 9 猜想 教师 怎么猜 能否说得具体点 学生 10 先看 n 1 2 3等特殊情况 是否可 以从中发现什么规律 从而做出合理的猜想 然后 再证明 这时大多数同学表示赞同 教师 各组马上实践 看看刚才的思路是否可 行 大约五分钟后 学生 11 激动地 老师 有了 我们小组的 结果是1 nnan 教师 很好 其他小组有意见吗 请各组把求 解结果放到投影仪上来 相互借鉴 先后有 3 个小组将解答交上来 当它们从投影 仪上显示时 很多同学对其中只有猜想而没有证明 过程的解答提出了异议 而没有递交答案的小组 借鉴其他小组的思路完善了自己的结果 教师 刚才的问题 初步看来 条件与结论之 间的关系并不明显 但同学们从特殊入手 发现了 问题的奥秘 从而提出了科学的猜想 并用数学归 纳法严格地证明了猜想的正确性 问题获得了彻底 解决 这是同学们用 归纳 猜想 证明 的思想 方法在代数问题中的成功应用 但规范表达上可进 一步提炼 请看屏幕上的完整解答步骤 供参考 教师 现在解答下列 2 个题目 问题 2 在数列 n a中 1 a 1 n a 1 1 1 n n a a n 2 1 写出 2 a 3 a 4 a 的值 2 求数列的通项公式 问题 3 求数列 1 1 nn 的前n项的和 n S nN 要求 推理严密 表达规范 几分钟后 各小组提供了基本完整的解答结 果 现摘录如下 问题 2 解 1 2 1 2 a 3 1 3 a 4 1 4 a 2 由 1 猜想 n an 1 nN 用数学 归纳法证明 略 对问题 3 数列求和 多数小组采用归纳思想 解法一 但郭朔同学采用了 拆项抵消 求和 解 法二 避开了今天的归纳思想 现摘录如下 问题 3 之解法一 依题意 2 1 21 1 1 S 3 2 32 1 21 1 2 S 4 3 43 1 32 1 21 1 3 S 猜想 1 n n Sn 用数学归纳法证明 略 问题 3 之解法二 由 1 11 3 1 2 1 2 1 1 nn Sn 得 1 n n Sn 点评时不少同学认为 拆项抵消 具有明显 的数列特色 而 归纳 猜想 证明 更具有循序 渐进认识一般事物的方法论特点 2 者是从不同角 度认识问题的不同方法 对此观点 老师表示赞同 在点评时 王甜甜同学还对问题 2 提出了如下 换元法求解 因 1 1 1 n n n a a a 所以1 11 1 nn aa 所以数列 n a 1 是以1为首项 以1为公差的等差数列 所以 n a 1 n 即 n an 1 这说明本课学生思想活跃 能不拘一格地改用 不同的数学方法分析问题和解决问题 巩固训练 用 归纳 猜想 证明 完成下列 题目 比较 23 1 1 4 1 1 11 n 与 3 13 n的大 小 写出完整的比较过程 是否存在常数a b c 使等式 2222 1 433221 nn 12 1 2 cbnan nn 86 数 学 教 育 学 报 第 12 卷 成立 其中 nN 请说明结论及相应的理由 3 教学反思 结合评课及学生学习效果反馈情况 进行认真 思考 形成以下认识 1 课堂气氛活跃 整堂课学生们自始至终保 持了较高的讨论思考问题的兴趣和热情 显示了学 生学习的积极性和自信心 奠定了实现课堂教学目 标的良好基础 恰当创设情境是顺利展开问题教学探究的关 键 引入哥德巴赫猜想对本案例教学目标有较好的 指导性 对于本堂课的良好气氛的形成 功不可没 2 本课的基本目标是用 归纳 猜想 证明 的思维模式 解决一类探索性问题 由于课堂民主 和谐气氛贯穿始终 同学们讨论思考非常积极 思 维明显活跃 不仅对老师预期的问题展开了充分讨 论 实现了预期目标 而且有的同学还提出了其它 解法 这在传统教学中 会因 不符本堂课主题 被忽视 客观上打击了学生的思维热情 造成学生 不敢游离老师的既定思维半步 而只能枯燥地接受 老师的填鸭 久而久之 学生便失去了数学学习的 兴趣和能力 而在今天的课堂上 这种积极活跃的 思维品质 得到充分肯定 同学们可以围绕要解决 的课题 积极思维 提出自己的见解 在广泛的讨 论交流比较中 提高分析问题和解决问题的能力 3 在高三阶段 怎样处理培养数学思想与解 题训练的关系是一个值得探讨的问题 多年的应试教育 形成了高三数学课的 概念 例题 训练 机械化填鸭模式 认为由于时间紧 老师争分夺秒不厌其烦地讲个不停 而学生囫囵吞 枣 死记硬背 生搬硬套老师灌输的知识 技巧 题型等内容 看起来 每节课的容量大 但这些知 识 技巧 题型的存在背景 来龙去脉 彼此间的 相互关系 很多学生没有精力和时间去消化 其结 果 熟悉的内容得高分 不熟的内容得 0 分 在本 案例中 师生围绕几个典型问题展开了充分的讨 论 学生在质疑 讨论 评价 总结的过程中 形 成了自己的数学思想方法 更触发了学生积极思 考 勤奋探索的动力 开发了学生的智慧源泉 实 现了举一反三 触类旁通的效果 4 最后 2 个练习题 老师没有做任何提示 原则上由各自独立完成 结果与预期相吻合 在几 分钟的时间里 同学们几乎都能够利用从特殊到一 般的归纳思想 顺利地得出定性结论 但在应用数 学归纳法证明结论的过程中 部分同学遇到一定困 难 尤其是不等式的放缩变形成为难点 同学们普 遍认为 数学的抽象性是客观存在的 对本节课讨 论涉及的思想方法有较好的理解 5 对 情境 问题 教学模式的体会 情境 问题 教学法 顺应国家教育改革 思想 是实用方便 行之有效的创新教育模式 1 情境 问题 教学法和当今提倡的 研究 性学习 思想相得益彰 有利于解决 研究性学习 在