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求解含高次幂积分的策略 郭大鹏 绍兴越秀外国语职业学院 浙江 绍兴 6 0 例中积分因子 的次幂是二次 我们要两次 进行分部积分 次就得 次分部积分 较为麻烦 下面从观察特殊性入手探索规律 寻求简便解法 当积分 因子 中 的 次 幂 为 时 易 求 得 0 6 R 9 0 R 6 9 6 0 6 R 9 6 6 0 当积分因子中 的次幂为 时 由上例有 0 6 R 9 6 6 6 0 当积分因子中的 的次幂为 时 易求得 0 6 R 9 6 6 6 6 0 根据以上特征不难猜想如下 0 6 R 9 0 R 6 91 9 0 其中的 9 表示 的 阶导数 下面用数学归纳法证明 由以上过程可得当 9 时公式显 然成立 假设当 9 时公式成立 即 0 6 R 9 1 9 0 其中 为 的 阶 导 数 0 6 R 90 R 6 9 6 0 6 R 9 6 0 6 R 9 6 1 9 09 6 1 9 6 09 6 1 9 6 09 6 1 9 6 091 9 6 0 即 9 90 9 0 F O C 9 O C Y Y O A O M K e 57 5 表示75的 的阶导 数 0 0 H 3 5 R 表 示H 3 5 的 重 积 分 0 0 M H R 表示M H 的 重积分 例 求 0 M H R 解 原式可化为 0 R H 3 5 由公式有 H 3 5 M H M H 0 对公式的反思 对4 9 0 R 9 1 9 4 G M K 4 5 0 如果用此公式解题 公式很难记 就是公式记 住了 操作起来也十分麻烦 但仔细研究公式的推 导过程 不难发现它们存在递推关系 利用递推关 系求解则易于操作 4 9 0 R 9 4 4 4 9 0 R M H 9 H 3 5 M H 4 4 9 0 K 4 5 R 9K 4 5 1 5 4 9 0 R 9 4 其中 解 据递推关系 4 9 0 R 9 4 9 4 9 4 G M K 4 5 0 综上所述 对于这种含 次幂的分部积分问 题 一般按照 R 解 0 R 9 0 R 9 0 R 9 4 0 例 求 0 H 3 5 M H M H R 解 0 H 3 5 M H M H R 9 0 H 3 5 M H M H H 3 5 R 9 H 3 5 M H 0 以上两例尽管也是高次幂的积分 但却是用 换元积分法 参考文献 王 文 专科高等数学竞赛十五讲 徐州 中国矿 业大学出版社 同时这也是高校高等数学教改的一个探索 以引起同行共鸣 本文链接 授权使用 中共汕尾市委党校 zgsw
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