随机微分方程在经济学中的应用.doc

5.3 经济学中的SDE模型经济学是SDE的主要应用领域之一.考虑到经济运行中充满了不确定性,而这种不确定性乃是大量随机因素干扰的结果,在对经济过程的数学描述中运用SDE应当是不可避免的.早在20世纪70年代,著名经济学家Merton等人就将SDE应用于经济与金融中,且获得了令人瞩目的结果.近年来,SDE在经济学中的运用更为普遍与深入.用SDE构建的经济模型已如此之多,此处根本不可能作什么概括.下面仅介绍三个典型的经济模型,它们在现代动态宏观经济理论中起着基本的作用.用这些模型作为解释SDE方法的例子,应该说是很具启发性的.考虑到不可避免地要用到一些经济学的术语与记号,下面作一最低限度的介绍.设想我们考虑的是某个独立运行的经济系统,与其相关的经济变量都是随机过程.分别以K,H,A,L,Y记该经济中物质资本、人力资本、技术、劳动力与产出的总量;以k=K/L记物质资本的人均量,h=H/L仿此.假定K,H,A,L,的增长服从如下微分方程: 其中与本别为与的增长路率,与分别为与的期望增长率,假定是常数.与的增长分别受到Brown运动与的扰动,其扰动强度分别为,假定相互独立.对于与不考虑其自身的扰动.以上所做的种种假设不免有些理想化,但这能使下面建立的模型较为简单.5.3.1 Solow模型Solow模型是现代经济增长理论中具有奠基意义的模型,在SDE形式下,它可表成 其中表示储蓄率; 是生产函数,假定满足如下条件: 依式.方程的推导并不难:假定是一次齐次的生产函数,记则 （用（1.3.31） （用（1.3.1c）下面分析方程.方程显然有零解.其次,因在内是局部Lipschitz的,对每个,方程必存在局部解（依定理3.1.4）.我们关心的是,是否为整体解且保持为正？这由以下定理解决.定理5.3.1 设,则对任何,方程的解是定义于上,且a.s.地有.证 采用定理5.2.2的证法.定义停时N.只要证故可取使得.定义则设是结合方程的微分算子,则利用条件易算出其次,用得利用以上事实立得因此必是某个正常数.于是另一方面,当时有,于是这推出,如所要证.条件意味着与劳动力的增长比较,劳动力的随机波动是偏小的.定理5.3.1表明,在此条件下,经济一旦启动,就将一直运行下去,绝不会在有限时间内因崩溃或过度膨胀而终止.下面保持这一条件而分析方程的解的渐近状态.我们特别关心的是:能否求出经济增长率的一个下限？试用2.3中的方法,取Liapunov函数,今估计（依（2.3.31）:注意到, （用（5.3.3）即单调下降,有这就得到（参见定理2.3.9）:有 （5.3.4）近似地可以说,式（5.3.4）表明的增长率至少为.因已设,式（5.3.4）并不能保证有正增长,但可保证绝不能有过大的负增长.若撤去条件,则可能出现三种结局:（）在有限时间内经济因而中止;（）在有限时间内经济因无界增长而爆炸;（）至少以为增长率持久地增长.5.3.2 人力资本模型在同时考虑物质资本与人力资本的情况下,假定经济依据如下生产函数运行: (5.3.5)其中与solow模型中的相对照,现在设,其中,分别为产出用于物质资本与人力资本投资的份额,于是 （用（1.3.31） （用（1.3.1）,（5.3.5）其中依式（5.3.1c）.对可求出类似的式子,于是得到关于的如下SDE: （5.3.6）或写成矩阵形式: 对于方程（5.3.6）有类似于定理5.3.1的以下结果.定理5.3.2 设以下条件满足: （5.3.7）则对任何初值,方程（5.3.6）的解定义于区间上,且a.s.地保持为正.证 仍用定理4.6.1的证法.定义停时,只要证.约定.定义,则 （5.3.8）由条件（5.3.7）推出由推出.这就由（5.3.8）得到是某个正常数.于是另一方面,当时以下四种情况之一必发生:于是显然,故得,如所要证.类似于solow模型,若令,则因此,若是方程（5.3.6）的整体解且a.s.保证为正,则 （5.3.9）于是得出经济可能的三种结局是:()因在有限时间内或趋于零而中止;()在有限时间内或无界增长;()经济持久地运行且增长率不低于.若条件（5.3.7）满足,则仅有情况()出现,以上事实与solow模型非常类似.5.3.3RD模型前面两个模型都不涉及技术因素,因而不能解释技术进步对于经济增长的作用.今考虑将技术水平纳入模型之内.设依式(5.3.1b)增长, (5.3.10)其中均为正参数.的表达式表明,技术增长率与物质资本及劳动力的投入正相关,而与现有技术水平负相关;后者意味着,技术水平愈高,其增长就愈不容易.为记号简单起见,约定,且设.于是 (用(1.3.28)其中. (5.3.11a)类似地求出,因而得到关于的如下SDE: (5.3.12)其中 (5.3.11b)(5.3.12)可写成如下矩阵形式:,这正是在5.2中讨论过的Lotka-Volterra系统.由(5.3.12)表示的模型就是随机形式下的RD模型,它是现代经济增长理论中的主要模型之一.鉴于RD模型是一个LV系统,此处正是应用上节结果的地方.虽然方程(5.3.12)的扰动部分与（5.2.41）略有不同,但仍可应用定理5.2.13得到定理5.3.3 设以下条件满足:, (5.3.13)则对任何初值,方程(5.3.12)存在唯一以为初值的正整体解,且对任何成立 (5.3.14)其中是与初值无关(但可能与有关)的正常数.特别,与都是最终一致均方有界的.直观上,定理5.3.3意味着在条件(5.3.13)之下,经济一旦启动,则无论资本与技术均将持久地保持正增长.至于条件(5.3.13)的直观意义,粗略地说就是:高的技术水平对于技术继续增长的负面影响明显地强于资本对技术进步的正面影响,而生产规模收益递降.这些因素都对经济的爆发性扩张起抑制作用.一般认为,条件(5.3.13)是现实合理的.命题5.2.8亦可用于方程(5.3.12),得出如下渐近轨道估计结果.定理5.3.4 设存在常数,使得矩阵负定,即. (5.3.15)则对任何,方程