线性代数2016-2017第一学期试卷A答案及评分标准.pdf

1 浙浙 江江 工工 业业 大大 学学 线线 性性 代代 数数 期期 末末 试试 卷卷 A 答答 案案 及及 评评 分分 标标 准准 2016 2017 第第 一一 学学 期期 任课教师任课教师 学院学院班级班级 班班中中编号编号 学号学号 姓名姓名 得分得分 题号题号 一一 二二 三三 四四 得分得分 一一 填空题填空题 每每空空 3 分分 共共 30 分分 1 多项式 2 24 0012 1013 0131 xx f x 的常数项 0 2 行列式 121 202 341 中元素 ij a的代数余子式为 ij A 则 313233 23AAA 16 3 矩阵 01 10 A 则 10 A 1 1 4 矩阵 100 110 111 B 100 110 001 P 矩阵A满足 APB 则 A 100 010 011 5 矩阵A的逆矩阵 1 1 2 3 A 则A的伴随矩阵 A 1 6 1 3 1 2 6 设矩阵 apaqar bpbqbr cpcqcr A 其中 a b c p q r均不为零 则齐次线性方程组 本题得分 2 Ax0的基础解系中所含解向量的个数为 2 7 已知向量 T 32k 能被向量 T 1 10 和 T 121 线性表示 则 k 1 与 和 都正交的所有向量为 T 11 1k 8 矩阵A相似于 1 2 3 矩阵 2 2 BAAE 则 R B 2 B 0 二二 单项选择题单项选择题 每小题每小题 2 分分 共共 10 分分 1 已知行列式 11 22 1 ab ab 11 22 2 ac ac 则行列式 111 222 2 2 abc abc B A 1 B 3 C 1 D 3 2 设 n 阶方阵 A B C满足 ABCE 则 D A 111 AB C B 111 AC B C 1 BAC D 1 BCA 3 设向量组 12 s 可由向量组 12 k 线性表示 则 A A 若sk 则 12 s 线性相关 B 若 12 k 线性无关 则sk C 若sk 则 12 k 线性相关 D 若 12 s 线性无关 则sk 4 A为m n 矩阵 则关于 Axb b0的解的命题正确的是 A A 若 Rm A 则 Axb一定有解 B 若 Rm A b 则 Axb一定有解 C 若 Rn A 则 Axb一定有解 D 若 Rn A b 则 Axb一定有解 5 已知 A B是同阶正交阵 则以下不一定是正交阵的是 C A T A B 1 B C AB D AB 本题得分 3 三三 计算题计算题 每题每题 10 分分 共共 50 分分 1 求行列式 222 222 222 222 abcdaaa bbacdbb D cccabdc ddddabc 1234222 222 222 abcdabcdabcdabcd bbacdbb cccabdc ddddabc rrrr D 3 分 1111 222 222 222 bbacdbb abcd cccabdc ddddabc 5 分 21 31 41 1111 000 000 2 00 2 0 2 ba rb r rc r r cd abcd cab d r d dabc 8 分 4 abcd 10 分 2 已知矩阵 101 020 103 A是A的伴随矩阵 X满足44 XAX 求X 4 4 AA EAAE 2 分 上式两边同时左乘A得 2 444 XAAX 移项得 2 4 4 AE XA 即 12 XAEA 4 分 12 201204 010 040 1004010 AEA 8 分 002 040 204 X 10 分 1 2 3 4 5 本题总得分本题总得分 4 3 已知向量组 1234 1124 2115 462 3633 a 的秩为 3 求a的值 以及 向量组的一个极大无关组 并用该极大无关组表示其余向量 1124112411241124 2115033301110111 462010101600060011 363303990012120006 aaa a 向量组秩为 3 故6a 4 分 112411021002 011101000100 001100110011 000000000000 8 分 极大无关组为 123 413 2 10 分 4 求线性方程组 123 123 2 123 2 22 232 xxx xxx xxx 在 取何值时无解 有唯一解 有无穷多解 并在有无穷多解时求其通解 222 12321232 12320223322 2320223322 1232 02 1 3 1 2 1 003 1 2 2 1 1 4 分 当2 时 2 3RR AA 无解 当2 且1 时 3RR AA 有唯一解 6 分 当1 时 5 1232 0000 0000 A 通解为 1 212 3 232 100 010 x xkk x 10 分 5 设矩阵 204 121 10a A与对角阵 100 020 00b 相似 1 证明 3 2ab 2 求出相似变换矩阵P使 1 P AP 1 由相似的性质知 矩阵A的特征值为1 2 b 再由 123 123 2212 2 24 2 tr ab ab A A 即得3 2ab 3 分 2 对于 1 1 104104104 131033011 104000000 AE 特征向量 1 4 1 1 p 5 分 对于 23 2 404101 101000 10 2 1000 AE 特征向量 23 01 1 0 01 pp 9 分 故相似变换矩阵 123 401 110 101 Pp pp 10 分 6 四四 证明题证明题 共共 10 分分 1 5 分 已知向量组 123 线性无关 向量组 124 线性相关 证明 向量组 1234 线性无关 证明 用反证法 假设向量组 1234 线性相关 由向量组 123 线性无关 知 12 线性无关 又 124 线性相关 1234 线性相关 故 4 可由 12 线性表示 34 也可由 12 线性表示 即 41122 341122 kk ll 3 分 推出 3111222 lklk 这与 123 线性无关矛