川大物理yb-2011-7刚体+角动量小结.pdf

1 一 角动量定理 作用力的时间累积 一 角动量定理 作用力的时间累积 冲量 动量定理 力矩的时间累积 冲量 动量定理 力矩的时间累积 冲量矩 动量矩 角动量 定理 1 对质量m的质点 质点角动量定理 定义动量矩 角动量 定义冲量矩 即质点的冲量矩等于角动量的增量 2 对定轴转动刚体 冲量矩 动量矩 角动量 定理 1 对质量m的质点 质点角动量定理 定义动量矩 角动量 定义冲量矩 即质点的冲量矩等于角动量的增量 2 对定轴转动刚体 刚体角动量定理 动量矩定理 刚体角动量定理 动量矩定理 角动量定理 角动量守恒定律角动量定理 角动量守恒定律 1222 1 2 2 1 d JJJdtM t t 12 2 1 zz t t z JJdtM dtM t t z 2 1 vmrprL rmvL z 二 角动量守恒定律二 角动量守恒定律 常量则如果 常量则如果 JLM zz 0 常量则如果 常量则如果 2122 0 JJM 动量定理动量定理 小节 小节 动能定理 动能定理 QQPPKPKP AAEEEE 外非保守外非保守 KPKQ EEAA 内外内外 功能原理 功能原理 2 1 2221 d t t M tJJ 角动量定理角动量定理 0 0 t t F d tPP 2 角动量守恒定律角动量守恒定律 合外力矩为零合外力矩为零 小节 小节 机械能守恒定律机械能守恒定律 只有保守内力作功的系统 动量守恒定律 只有保守内力作功的系统 动量守恒定律 合外力为零或其分量为零 合外力为零或其分量为零 常矢量 常矢量 L 0 外外 M 0 内非外内非外 若若AA常常量量 Pk EE 时当0 i zi M常量 常量 i i zi J 常矢量 常矢量 N i i pP 1 0 合外力 F 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 角动量 定理 角动量 定理 结构框图结构框图 角动量角动量 角动量 变化率 角动量 变化率 转动 惯量 转动 惯量 角动量守 恒定律 角动量守 恒定律 力矩 作功 力矩 作功 转动 动能 转动 动能 动能 定理 动能 定理 刚体转动刚体转动 力矩力矩牛顿定律牛顿定律 角量角量 角速度 角加速度 角速度 角加速度 角量与线 量关系 角量与线 量关系 刚体运动学刚体运动学 刚体动力学刚体动力学 3 直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照 质点的直线运动刚体的定轴转动质点的直线运动刚体的定轴转动 t x v d d 2 2 d d d d t x t v a td d 2 2 d d d d tt mvP 2 2 1 mvEK JL 2 2 1 JEK FmMJ xFAdd tF d ddMA tM d maF JM 0 dPPtF 0 dLLtM 2 0 2 2 1 2 1 dmvmvxF 2 0 2 2 1 2 1 d JJM 刚体运动学中角量和线量的关系刚体运动学中角量和线量的关系 2 nt 2 2 d d d d d d rararv ttt zz JM外 外 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动 t 0 2 0 2 0 2 2 00 2 1 tt 刚体的转动定律刚体的转动定律 4 例例1 半径为半径为R的均匀细圆环 可绕通过环上的均匀细圆环 可绕通过环上O 点且垂直于环面的水平光滑轴在竖直平面内转 动 若环最初静止时直径 点且垂直于环面的水平光滑轴在竖直平面内转 动 若环最初静止时直径OA沿水平方向 如 图所示 环由此位置下摆 求 沿水平方向 如 图所示 环由此位置下摆 求A到达最低位置 时的速度 到达最低位置 时的速度 解 以环 地球为系统 解 以环 地球为系统 系统机 械能守恒 系统机 械能守恒设O点为势能零点设O点为势能零点 0 2 1 2 MgRJ R OA 2 MRJJ c R g gR2R2 A 222 2MRMRMR 例例2 一质量m 6 00 长 一质量m 6 00 长l 1 00 m的匀质 棒 放在水平桌面上 可绕通过中心的竖起固 定轴转动 对轴的转动惯量 1 00 m的匀质 棒 放在水平桌面上 可绕通过中心的竖起固 定轴转动 对轴的转动惯量 t 0时 棒的角速度 时 棒的角速度 0 10 0rad s 由于受到恒定的阻 力 矩 的 作 用 由于受到恒定的阻 力 矩 的 作 用 t 20s时 棒 停 止 运 动 求 时 棒 停 止 运 动 求 1 棒的角加速度的大小 棒的角加速度的大小 2 棒所受阻力矩的大小 棒所受阻力矩的大小 3 从 从t 0到到t 20s时间内棒转过的角度 时间内棒转过的角度 2 12Jml 0 0t 2 0 5 rad s 0 25 MrJN m 2 0 1 75 2 ttrad 解 解 1 2 3 3 5 解 系统角动量守恒 设顺时针转为正 圆盘半径为R 解 系统角动量守恒 设顺时针转为正 圆盘半径为R 2 0 JmRmRvJ 2 0 mRJ mRvJ 例3例3 一个质量为m的小虫 在有光滑竖直固定中心轴 的水平圆盘边缘上 沿逆时针方向转动 相对于地 面的角速度为v 此时圆盘正沿顺时针方向转动 相 对于地面的角速度为 一个质量为m的小虫 在有光滑竖直固定中心轴 的水平圆盘边缘上 沿逆时针方向转动 相对于地 面的角速度为v 此时圆盘正沿顺时针方向转动 相 对于地面的角速度为 0 0 设圆盘对中心轴的转动惯 量为J 若小虫停止爬行 则圆盘的角速度为 设圆盘对中心轴的转动惯 量为J 若小虫停止爬行 则圆盘的角速度为 例例4 如图所示 一半径为 如图所示 一半径为R 质量为 质量为m的水 平圆台 正以角速度 的水 平圆台 正以角速度 0绕通过其中心的竖直 固定光滑轴转动 转动惯量 绕通过其中心的竖直 固定光滑轴转动 转动惯量J mR2 2 台上原 站有 台上原 站有2人 质量各等于转台质量的一半 一人 站于台边 人 质量各等于转台质量的一半 一人 站于台边A处 另一人站于距台中心处 另一人站于距台中心R 2的的B 处 今处 今A处的人相对圆台以速率处的人相对圆台以速率v顺着圆台转 向沿圆周走动 同时 顺着圆台转 向沿圆周走动 同时B处的人相对圆台以速率处的人相对圆台以速率 2v逆圆台转向沿圆周走动 求圆台这时的角 速度 逆圆台转向沿圆周走动 求圆台这时的角 速度 R R 2 O R o 2 R 2 A B 0 6 解 以转台和二人为研究对象 所受外力只有重力 及轴的支撑力 诸力对转轴的合力矩为零 所以系 统角动量守恒 各转动惯量分别为 解 以转台和二人为研究对象 所受外力只有重力 及轴的支撑力 诸力对转轴的合力矩为零 所以系 统角动量守恒 各转动惯量分别为 2 2 1 mRJ 2 2 1 mRJA 2 2 2 1R mJB Rv RvRv 4 2 1 2 以地面为参照系 A处的人走动的角速度为 B处的人走动的角速度为 以地面为参照系 A处的人走动的角速度为 B处的人走动的角速度为 由角动量守恒定律由角动量守恒定律 0 222 2 2 1 2 1 2 1 RmmRmR 4 2 2 1 2 1 2 1 222 R vR m R v mRmR 解出解出 0 M 4 R M M 2 P23例例5 一轻绳绕过一半径 一轻绳绕过一半径R 质量为 质量为M 4的滑轮 质量为的滑轮 质量为M的 人抓住绳子的一端 而绳子另一端系一质量为 的 人抓住绳子的一端 而绳子另一端系一质量为M 2的重物 如图 求当人相对于绳匀速上爬时 重物上升的加速度是多少 的重物 如图 求当人相对于绳匀速上爬时 重物上升的加速度是多少 解1 选人 滑轮 与重物为系 统 系统所受对滑轮的外力矩为 解1 选人 滑轮 与重物为系 统 系统所受对滑轮的外力矩为 MgR 2 1 设u为人相对绳的匀速度 v为重物上升的速度 设u为人相对绳的匀速度 v为重物上升的速度 则该系统对滑轮轴的角动量为则该系统对滑轮轴的角动量为 MRuMRR M RuMR M L 8 13 42 1 2 2 根据角动量定理根据角动量定理 t L d d 8 13 2 1 MRuMR dt d MgR g dt d a dt du 13 4 0 即 解 即 解2 根据转动定律 根据转动定律 JRM M Rg M Mg 2 2 2 gRa 13 4 2 42 1 R M J 7 C C N C C N d d 4 2 6题 图 P26 2例6 如图 一均匀细棒 可绕通过其端 点并与棒垂直的水平轴转动 已知棒长为 4 2 6题 图 P26 2例6 如图 一均匀细棒 可绕通过其端 点并与棒垂直的水平轴转动 已知棒长为l l 质量为 质量为m m 开始时棒处于水平位置 令棒由水 平位置自由摆下 求 开始时棒处于水平位置 令棒由水 平位置自由摆下 求 1 棒在任意位置时的角加速度 2 棒摆至铅垂位置时重力矩所 做的功 3 1 棒在任意位置时的角加速度 2 棒摆至铅垂位置时重力矩所 做的功 3 角为角为30 90 时的角速度 4 铅垂位置时轴端所受外力 30 90 时的角速度 4 铅垂位置时轴端所受外力 2 解 2 解 cos 2 l mgMt JM 2 3 1 mlJ 3 cos 2 Mg Jl d l mgMddAcos 2 2 cos 2 2 0 l mgd l mgA 这功是细棒重力势能的减少而获得 2 因 因为 1 棒在任意位置时的重力矩 这功是细棒重力势能的减少而获得 2 因 因为 1 棒在任意位置时的重力矩 8 3 任意时的角速度 3 任意时的角速度 JM d d ml dt d d d ml dt d mlml l mg 2222 3 1 3 1 3 1 3 1 cos 2 dd g 3 1 cos 2 00 3 cos 2 d l d g 2 6 1 sin 2 l g lg sin3 30 l g 2 3 90 l g3 棒下摆过程重力势能转变为动能 可根据机械能守恒得到 分离变量 根据转动定律 棒下摆过程重力势能转变为动能 可根据机械能守恒得到 分离变量 根据转动定律 4 假设处于铅垂位置时轴的作用力为 4 假设处于铅垂位置时轴的作用力为N N 重力 mg 在不考虑转轴摩檫阻力矩的情况下 以上两个 力的力矩为零 重力 mg 在不考虑转轴摩檫阻力矩的情况下 以上两个 力的力矩为零 0 0 2 l act 0 ctx maN g l gll acn 2 33 22 2 mgmamgN cny 2 3 mgN y 2 5 法向加速度由法向合外力产生 质心C法向加速度 质心C的切向加速度 根据转动定律 法向加速度由法向合外力产生 质心C法向加速度 质心C的切向加速度 根据转动定律 利用质心运动定理 将作用力利用质心运动定理 将作用力N N平移到质心 正交分解为水平分力 平移到质心 正交分解为水平分力N Nx x 竖直分力 竖直分力N Ny y 9 60 2 7 0 mMh mM 与圆盘粘在一起 已知处下落从高 静止 有一粘土块匀质圆盘如图例 与圆盘粘在一起 已知处下落从高 静止 有一粘土块匀质圆盘如图例 碰撞后瞬间圆盘的求 碰撞后瞬间圆盘的求 0 轴时圆盘的转到 轴时圆盘的转到 xP m下落解 下落解 2 2 1 mvmgh 12ghv M o P m h x y 碰撞碰撞 t极小 对极小 对m 盘系统 冲力远大于重 力 故重力对 盘系统 冲力远大于重 力 故重力对O力矩可忽略 角动量守恒 则 力矩可忽略 角动量守恒 则 2cos 0 JmvR 32 2 1 222 mRmRMRJ 4cos 2 2 321 0 R gh 得 由 得 由 5 2 1 2 1 sin 22 0 JJmgR M o P m h x y 对M m 地球系统 机械能守恒 对M m 地球系统 机械能守恒 令 p x重合时 令 p x重合时 0 p E 10 得 由得 由543 sincos 2 2 2 R g R gh Rh g R 34 22 1 0 60 R g mR mgR J M 22 2 o R mg M 例8 一个质量为例8 一个质量为M M 半径为 半径为R R的水平均匀圆盘可绕通 过中心的光滑竖直轴自由转动 在盘缘上站着一个 质量为 的水平均匀圆盘可绕通 过中心的光滑竖直轴自由转动 在盘缘上站着一个 质量为m m的人 二者最初都相对于地面静止 当人 在盘上沿盘边走一周时 盘对地转过多大的角度 解 以 的人 二者最初都相对于地面静止 当人 在盘上沿盘边走一周时 盘对地转过多大的角度 解 以j j和和J J分别表示人和盘对轴的转动惯量 以 分别表示人和盘对轴的转动惯量 以 和和 分别表示分别表示t t 时刻人和盘的角速度 时刻人和盘的角速度 盘 和人组成的系统在竖直方向角动量守恒 盘 和人组成的系统在竖直方向角动量守恒 0 Jj 角动量守恒 角动量守恒 dt d MR dt d mR 22 2 1 以 和 分别表示人和盘相对于地面的角位 移 且 以 和 分别表示人和盘相对于地面的角位 移 且 j mR2 J MR2 2 因此有 因此有 11 0 2 0 2 2 1 dt d MR dt d mR 积分可得 积分可得 Mm 2 1 人在盘上走一周 人在盘上走一周 2 dt d MR dt d mR 22 2 1 由此得 代入上一式可得 由此得 代入上一式可得 2 2 2 Mm m 解 受力分析如图 解 受力分析如图 T1 mg ma1 mg T2 ma2 T2 2r T1r 9mr2 2 2r a2 r a1 r g 19 2 m r m m 2m 2r T 2 a2 T1 a1 x T 1 T2 mgmg 例例9 质量分别为质量分别为m和和2m 半径分别为 半径分别为 r和和2r的两个均匀圆盘 同轴地粘在一 起 可以绕通过盘心且垂直盘面的水 平光滑固定轴转动 对转轴的转动惯 量为 的两个均匀圆盘 同轴地粘在一 起 可以绕通过盘心且垂直盘面的水 平光滑固定轴转动 对转轴的转动惯 量为9mr2 2 大小圆盘边缘都绕有绳 子 绳子下端都挂一质量为 大小圆盘边缘都绕有绳 子 绳子下端都挂一质量为m的重 物 如图 求盘的角加速度的大小 的重 物 如图 求盘的角加速度的大小 解上述5个联立方程 得 解上述5个联立方程 得 12 例例10 质量为质量为M 长为长为 l 的均匀细棒 在一水平面 内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转 动 细棒上套有两个可沿棒滑动的小物体 每个质 量都为 的均匀细棒 在一水平面 内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转 动 细棒上套有两个可沿棒滑动的小物体 每个质 量都为m 开始时 两小物体分别被固定在棒中心 的两侧且距棒中心各为 开始时 两小物体分别被固定在棒中心 的两侧且距棒中心各为r 此系统以此系统以 n 的转速转 动 若将小物体松开 的转速转 动 若将小物体松开 设它们在滑动过程中受到的阻 力正比于它们相对棒的速度 设它们在滑动过程中受到的阻 力正比于它们相对棒的速度 已知棒对中心轴的转 动惯量为 已知棒对中心轴的转 动惯量为Ml 2 12 求 求 1 当两小物体到达棒端时 系统的角速度是多少 当两小物体到达棒端时 系统的角速度是多少 2 当两小物体飞离棒端 棒的角速度是多少 当两小物体飞离棒端 棒的角速度是多少 解 选棒 小物体为系统 系统开始时角速度解 选棒 小物体为系统 系统开始时角速度 为为 1 2 n1 2 2 2 1 2 2 2 1 12 2 12 ml Ml mr Ml 2 2 1 2 2 2 2 1 12 2 12 ml Ml mr Ml 2 小物体离开棒端的瞬间 棒的角速度仍为小物体离开棒端的瞬间 棒的角速度仍为 2 因为小物体离开棒的瞬间内并未对棒有冲力矩作 用 因为小物体离开棒的瞬间内并未对棒有冲力矩作 用 1 设小物体滑到棒两端时系统的角速度为 1 设小物体滑到棒两端时系统的角速度为w w2 2 由 于系统不受外力矩作用 所以角动量守恒 由 于系统不受外力矩作用 所以角动量守恒 13 例例11 设两个重物质量为 设两个重物质量为m1 m2 且 且m1 m2 定滑轮 的半径为 定滑轮 的半径为r 对转轴的转动惯量为 对转轴的转动惯量为J 轻绳与滑轮间无 滑动 滑轮轴上摩擦力不计 开始系统静止 试求 轻绳与滑轮间无 滑动 滑轮轴上摩擦力不计 开始系统静止 试求t时 刻滑轮的角速度 时 刻滑轮的角速度 m1m2 解解1 刚体的角动量定律 外力距对时间的积累效果 刚体的角动量定律 外力距对时间的积累效果 1221 LLgrtmm 0 2 2 2 121 rmrmJLL 2 21 21 rmmJ grtmm 0 JtM 解2 作示力图 两重物加速度大小解2 作示力图 两重物加速度大小a a相同 相同 111 222 m gTma Tm gm a 12 TT rJ 设滑轮的角加速度为 则 且有 设滑轮的角加速度为 则 且有a r a r 由以上四式消去由以上四式消去T T1 1 T T2 2得 得 12 2 12 mm gr mm rJ 开始时系统静止 故t时刻滑轮的角速度 开始时系统静止 故t时刻滑轮的角速度 2 21 21 rmmJ grtmm t m 1 m 2 1 2 3 4 14 r v1 F L 1122 rmvrmv 表明小球对圆心的角动量保持不变 如图 一质量为m的物体 由绳系着在光滑水平面 上 以角速度 1绕半径为r的圆周运动 现用手向 下拉绳 当物体作圆周运动的半径变为r 2时 其角速 度变为多少 表明小球对圆心的角动量保持不变 如图 一质量为m的物体 由绳系着在光滑水平面 上 以角速度 1绕半径为r的圆周运动 现用手向 下拉绳 当物体作圆周运动的半径变为r 2时 其角速 度变为多少 1 2 2 2 11 2 2 11 2 2 2 4 r r r rv r v 质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律 例例 质量为质量为m的质点以速度沿一直 线运动 则它对该直线上任一点的 角动量为 的质点以速度沿一直 线运动 则它对该直线上任一点的 角动量为 0 Lrm rmL 零零 1122 JJ JmglM cos 2 1 l 2 x O P 例1 例1 一根长为一根长为l l 质量为 质量为m m的均匀细直棒 一端有一固定 的光滑水平轴 可以在竖直平面内转动 最初棒静止在 水平位置 求 的均匀细直棒 一端有一固定 的光滑水平轴 可以在竖直平面内转动 最初棒静止在 水平位置 求它它由此下摆由此下摆 角时的角加速度和角速度 角时的角加速度和角速度 解 棒下摆为加速转动 外力矩为重力对解 棒下摆为加速转动 外力矩为重力对O O的力矩 取棒上任意质元 的力矩 取棒上任意质元dmdm为研究对象 为研究对象 x x为为dmdm对轴的水平坐 标 对轴的水平坐 标 合力矩 合力矩 xdmggxdmM c mgx 重力对整个棒的合力矩与全部 重力集中作用在质心所产生的力矩 一样 重力对整个棒的合力矩与全部 重力集中作用在质心所产生的力矩 一样 2 3 1 mlJ l g ml mgl J M 2 cos3 3 1 cos 2 1 2 角加速度为 角加速度为 因为棒绕轴因为棒绕轴O O的转动惯量为 的转动惯量为 15 d d d d d d d d tt dcos 2 3 d d l g 作如下变换作如下变换 00 dcos 2 3 d l g 将上式两边积分将上式两边积分 l g J mgl sin3sin 角速度为角速度为 由角加速度的定义由角加速度的定义 另解 取棒和地球为研究系统 在下摆过程中 轴对棒的支持 力不做