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教学案例：（长沙市天心一中 罗友国）172 实际问题与反比例函数（一） 三维目标： 一、知识与技能 1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题 2能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题 二、过程与方法 1经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题 2体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力 三、情感态度与价值观 1积极参与交流，并积极发表意见 2体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具 教学重点 掌握从实际问题中建构反比例函数模型 教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想 教具准备 1教师准备：课件（课本有关市煤气公司在地下修建煤气储存室等）2学生准备：（1）复习已学过的反比例函数的图象和性质；（2）预习本节课的内容，尝试收集有关本节课的情境资料 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境 （1）请你解释他们这样的做的道理 （2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？ （3）如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么？ 用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？ 当木板面积为0.2m2时，压强是多少？ 如果要求压强不超过6 000Pa，木板面积至少要多大？ 在直角坐标系中，作出相应的函数图象 请利用图象对（2）（3）作出直观解释，并与同伴交流 【设计意图】 展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣 【师生行为】 学生：分四个小组进行探讨、交流领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一 教师：可以引导、启发学生解决实际问题在此活动中，教师应重点关注学生： 能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题； 能积极地与小组成员合作交流； 是否有强烈的求知欲 生：在物理中，我们曾学过，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S的增大，人和木板对地面的压强p将减小 生：在（3）中，p=（S0）p是S的反比例函数；当S=0.2m2时，p=3 000Pa；如果要求压强不超过6 000Pa，根据反比例函数的性质，木板面积至少0.1m2；那么，为什么作图象在第一象限作呢？因为在物理学中，S0，p0 师：从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的现实从这节课开始我们就来学习“172实际问题与反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便 二、讲授新课 活动2 【例1】市煤气公司要在地下修建一个容积为10m的圆柱形煤气储存室 （1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深？ （3）当施工队按（2）中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（保留两位小数） 【设计意图】 让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题 【师生行为】学生：独立思考，然后小组内合作交流。教师：巡视课堂，最后与学生合作完成此活动在此活动中，教师重点关注： 能否从实际问题中抽象出函数模型； 能否利用函数模型解释实际问题中的现象； 能否积极主动的阐述自己的见解 生：我们知道圆柱的容积是底面积深度，而现在容积一定为104m3所以Sd=104 变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系，即S= 所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数 生：根据函数S=，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值 题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积S定为500m2，即S=500m2，”施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当S=500m时，d=？m根据S=得500=，解得d=20 即施工队施工时应该向下挖进20米 生：当施工队按（2）中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m，即d=15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；即当d=15m，S=？m2呢？ 根据S=，把d=15代入此式子，得S=666.67 当储存室的深为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要 师：对学生的表现进行评价当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解 三、巩固提高 活动3 练习：如右图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升（1升1立方分米）的圆锥形漏斗 （1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？ （2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？ 【设计意图】 让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望 【师生行为】 由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助，此活动中，教师应重点关注： 学生能否顺利建立实际问题的数学模型； 学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣； 学生能否注意到单位问题 生：解：（1）根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm2，漏斗的深为dcm，则容积为1升=1立方分米=1 000立方厘米 所以，Sd=1 000，S= （2）根据题意把S=100cm2代入S=中，得100=d=30（cm） 所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm 活动4 练习： （1）已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式； （2）当矩形的长为12cm时，求宽为多少？当矩形的宽为4cm，求其长为多少？ （3）如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少？ 【设计意图】 进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么？可以看成什么？ 【师生行为】 由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价 生：解：（1）根据矩形的面积公式，我们可以得到20=xy所以y=， 即长y与宽x之间的函数表达式为y= （2）当矩形的长为12cm时求宽为多少？即求当y=12cm时，x=？cm，则 把y=12cm代入y=中得12=，解得x=（cm） 当矩形的宽为4cm，求长为多少？即当x=4cm时，y=？cm，则 把x=4cm代入y=中，y=5（cm） 所以当矩形的长为12cm时，宽为cm；当矩形的宽为4cm时，其长为5cm （3）y=此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不小于8cm，即y8cm，所以8cm，因为x0，所以208x，x（cm） 即宽至多是cm 四、课时小结 本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以是什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想板书设计 活动与探究如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在一次函数y=x-7的图象上，顶点C、D在这个反比例函数为y=的图象上，两底AD、BC平行于y轴，点A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值 过程：组织学生分小组进行交流，而此问题最关键的是数形结合结果：点A、B的横坐标分别为a和a+2，可得A（a，a-7），B（a+2，a-4），C（a+2，），D（a，） AB=CD，22+32=22+（-）2 即-=3 由-=3得a2+2a+8=0，方程无解； 由-=-3，得a2+2a-8=0，a=-4，a=2 经检验a=-4，a=2均为所求的值 五、课外作业 参考练习1由物理学知识知道，在力F（N）的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s（m），力F所做的功W（J）满足：W=Fs当W为定值时，F与s之间的函数图象如右上图所