条件概率与条件数学期望.pdf

第 9卷 Vo 1 9 第 3期 No 3 海 口 经 济 学 院 学 报 J o u r n a l o f Ha i k o u Co U e e o f E c o n o mi c s 2 0 1 0年 9月 S e D 2 0 1 O 条件概率与条件数学期望 吴彦平 邹德玉 海 口经济学院 基础课部 海南 海 口 5 7 0 2 0 3 摘 要 文章从条件概率的角度给出了条件数 学期望的定义 并证明了这一定义与通常 的定 义是 一致 的 关键词 随机 变量 条 件数 学期 望 一 代 数 中图分类号 0 2 1 1 5 文献标识码 A 文章编号 0 9 0 9 0 6 2 0 1 0 0 3 0 0 8 8 0 4 Co n d i t i o n a l Pr o b a b i l i t y a n d Co n d i t i o n a l M a t h e ma t i c a l Ex p e c t a t i o n WU Ya n p i n g ZHOU De y u D e p a r t me n t o f B a s i c C o u r s e s H a i k o u C o l l e g e o f E c o n o m i c s H a i k o u 5 7 0 2 0 3 H a i n a n Ab s t r a c t T h i s p a p e r d e fi n e s t h e c o n d i t i o n al ma t h e ma t i c a l e x p e c t a t i o n f r o m t h e a s p e c t o f c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y a n d c e r t i fi e s i t s c o n s i s t e n c y wi t h o t h e r a v e r a g e d e f i n i t i o n Ke y W o r d s Ra n d o m Va r i a b l e C o n d i t i o n a l Ma t h e ma t i c a l Ex p e c t a t i o n I Al g e b r a 一 数 学 期 望 定义 1 设 是概率空间 Q P 中的随机变量 若积分 脚存在 则称 Xd P j X 的数学期望 记为 若 熄 0 卜 E 证 明 记4 w Q I X i l 2 则 其中 w l o W G A i 称为 的示性函数 于 是有 收稿 日期 2 O 1 0 6 2 3 作者简介 吴彦平 1 9 4 6 一 男 黑龙 江哈 尔滨人 海 口经济学院教授 研 究方向 泛函分析 邹德 玉 1 9 5 6 男 内蒙古赤峰人 海口经济学 院教授 研 究方向 复 变函数 船 第 9卷第 3期 Vo 1 9 No 3 海 口 经 济 学 院 学 报 J o u rna l o f Ha i k o u C o H e g e o f E c o n o mi c s 2 0 1 0年 9月 S eo 2 0 1 0 誓 4 一 尸 4 誓 尸 Q Q i i I 二 条件概率 设尸 0 对任意的事件 我们记 尸 A 显然 是概率测度 可在一 些概率论教材中找到证明 定理 对于 Q 尸 上的可测函数 有 f d P I f l A d P 证 明 1 设 是 简 单 可 测 函 数 f f 4 i 1 贝 S f a P 萎 尸 莓 P c 三 另 一方 面 尸 JD d P P A n n l 2 把 2 代入 1 得 n 2 设 是非负 可 测函 数 则 存 在简 单函 数 列 使 得 个 注意 也是 简单 函 数 而 且 个 于足 有 于是有 J 尸 J 厂 尸 ln n Q 3 f为可测函数时 有 f n j d P P A f f 一 f l I d P l 一 p A f d P 4 f f d p A i 2 2 fl A d P l A 一 d P P A Ad P 2 一 P A 2 8 9 第 9卷第 3 期 V0 1 9 N o 3 海 口 经 济 学 院 学 报 J o u r n a l o f Ha i k o u C o e g e o f Ec o n o mi c s 2 0 1 0年 9月 S e p 2 0 1 0 三 条件数 学期望 在随机试验中 当某一事件发生时 通常会影响随机变量的取值 从而影响随机变量的期望值 例 2 袋中有 4球 其中 2个 白球 2个黑球 从中任取两球 记 X 取出的两球中自球的个数 则 的分布律为 X O l 2 1 6 4 6 l 6 从而E X 1 记 A 取出的两球中至少有 1 个黑球 则事件 发生的条件下 的条件分布律为 P X o I P X I I P X 2 I A o 于是在事件 发生的条件下 X 的期望值为 0 l 2 0 E 5 5 定 义 设 尸 o 对 于 随 机 变 量 若 积 分 I X d P A 则 称 为 随 机 变 量 在 事 件 发 生 条 件 下 的 条 件 数 学 期 望 i J E X I A o E X I A I X d P A Q 定理 2 A4 数学期望与数学期望有如下关系 证 明 由定理 1 有 箭d P I J 若 一媳 律 0 E X I x i P x I 证 明 记 4 w Q I w 则 4 且 尸 4 P 于 f 是有 9 0 第 9卷第 3期 Vo 1 9 No 3 海 口 经 济 学 院 学 报 J o in h a l o f Ha i k o u C o l l e g e o f E c o n o mi c s 2 01 0年 9月 S eD 2 0 l 0 E x I I x a P d R Q Q i i x i P A l A x i P X I 四 条件数 学期望 的推广 定义 3 殴 Al A Q 的一 个 划分 厂是 巾 Al A 生 成 的 一代 数 对 j 随机 变 量 X 记 l r E X I 4 则 称 s x I r 为 关 于 一 代 数 r 的 条 件 数 学 划 i 1 要特别沣意的是 E X l r 是 个随机变量 然有 X l r 喜 证 明 由 定 理 2 有 f 喜 c 善 例4 在前面的例 2中 我们记A 0 u 1 A 2 X 2 r 是山A I A 2 生 成的 一代数 我们米计算E X I I 1 解 E X l 0 P 0 l 4 l P 1 l I 2 P 2 l A o 1 一 4 2 o 一4 5 5 5 E X I A 2 0 尸 0 I l 尸 1 l 2 尸 2 l A 2 0 0 1 x 0 t 2 X l 2 所以 I f E X E X 2 山 于 尸 吾 P 所