概率论与数理统计第一章习题参考解答.pdf

概率论与数理统计第一章习题参考解答概率论与数理统计第一章习题参考解答 1 写出下列随机试验的样本空间 1 枚硬币连掷三次 记录正面出现的次数 2 记录某班一次考试的平均分数 百分制记分 3 对某工厂出厂的产品进行检验 合格的记上 正品 不合格的记上 次品 如 连续查出 2 个次品就停止检查 或检查 4 个产品就停止检查 记录检查的结果 4 在单位圆内任取一点 记录它的坐标 解 1 3 2 1 0 S 2 S k n k 0 1 2 100n 其中 n 为班级人数 3 1111 1110 1101 0111 1011 1010 1100 0110 0101 0100 100 00 S 其中 0 表示次品 1 表示正品 4 1 22 yxyxS 2 设 A B C 为三事件 用 A B C 的运算关系表示下列各事件 1 A B C 中至少有一个发生 2 A B C 中恰好有一个发生 3 A B C 都不发生 4 A B C 中不多于一个发生 5 A B C 中不多于两个发生 解 1 CBA 2 CBACBACBA 3 CBA 错解CBAABCUU 4 即至少有两个不发生CBCABA 5 即至少有一个不发生CBAABCUU 2 指出下列命题中哪些成立 哪些不成立 1 成立 2 不成立 3 不成立 4 成立 5 成立 6 成立 7 成立 8 成立 4 把CBA 表示为互不相容事件的和 解 ABCCACBCBABA 答案不唯一 5 设 A B 是两事件 且 P A 0 6 P B 0 7 问 1 在什么条件下 P AB 取到最大 值 最大值是多少 2 在什么条件下 P AB 取到最小值 最小值是多少 1 BA 时 6 0 ABP为最大值 因为 A B 一定相容 相交 所以 A 和 B 重合越大时 P AB 越大 2 SBA 时 P AB 0 3为最小值 6 若事件 A 的概率为 0 7 是否能说在 10 次实验中 A 将发生 7 次 为什么 答 不能 因为事件 A 发生的频率具有波动性 在一次试验中得出的频率并不一定正好等 于事件 A 发生的概率 7 从一批由 1100 件正品 400 件次品组成的产品中任取 200 件 1 求恰有 90 件次品的概率 2 求至少有两件次品的概率 1 200 1500 110 1100 90 400 C CC 2 200 1500 199 1100 1 400 200 1100 1 C CCC 8 在房间里有 10 个人 分别佩带从 1 号到 10 号的纪念章 任选 3 人记录其纪念章的号码 1 求最小号码为 5 的概率 2 求号码全为偶数的概率 1 最小号码为 5 即从 6 7 8 9 10 里选两个 所求概率为 3 10 2 5 C C 12 1 2 号码全为偶数 即从 2 4 6 8 10 里选三个 所求概率为 3 10 3 5 C C 12 1 9 在 0 1 2 3 9 共 10 个数字中 任取 4 个不同数字排成一列 求这 4 个数字能 组成一个偶数四位数的概率 解 设设事事件件 组组成成一 一个个偶偶数数四四位位数 数 为为 A A 任任取取 4 4 个个不不同同数数字字排排成成一一列列共共有有 4 10 A 种种 解解法法一一 组组成成一一个个偶偶数数四四位位数数有有 2 8 1 4 1 4 2 8 1 5 1 5 AAA AAA 首位偶 首位奇 90 41 78910 7841 4 10 2 8 1 4 1 4 2 8 1 5 1 5 A AAAAAA AP 解解法法二二 分分末末位位 0 0 和和末末位位不不为为 0 0 两两种种 组组成成一一个个偶偶数数四四位位数数有有 3 9 2 8 1 8 1 4 AACC 种 90 41 4 10 3 9 2 8 1 2 1 4 A AACC AP 错误 认为样本空间也为四位数 实际只要求是一列 10 求10 人中至少有两人出生于同一月份的概率 解 10 人中至少有两人出生于同一月份的概率为 10 10 12 12 10 1 C 0 996 11 从 5 双不同的鞋中任取 4 只 求这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率 解 从 5 双鞋中取 4 只 至少配成一双的概率为 4 10 2 5 22 4 1 5 2 C CCC 或 4 10 44 52 1 C C 或 4 10 2 5 2 8 1 5 C CCC 12 将 3 个球随机的放入 4 个杯子中 求杯子中球的最大个数分别为 1 2 3 的概率 解 杯中最多有一个球时 概率为 16 6 43 3 4 A 杯中最多有两个球时 概率为 16 9 43 1 3 1 4 2 3 CCC 杯中最多有三个球时 概率为 16 1 43 1 4 3 3 CC 13 某货运码头近能容一船卸货 而甲乙两船在码头卸货时间分别为 1 小时和小时 设甲乙 两船在 24 小时内随时间可能到达 求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率 解 设YX 分别为甲乙两船到达的时刻 而甲到乙未到应满足1 XY 而乙到甲未到应满足2 YX 所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为 2424 2323 2 1 2222 2 1 2424 P 0 8793 14 从区间 0 1 内任取两数 求这两个数的积小于 1 4 的概率 解 设从区间 0 1 所取两数为YX 要使 4 1 XY 56 0 1 4 3 24 3 2 1 1 P 或者2ln 2 1 4 1 4 1 4 1 1 1 4 1 dx x P 15 随机地想半圆axaxy 20 2 为正常数 内掷一点 点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成正比 求从原点到该点的连线与x轴正向的夹角小于 4 的概率 解 如图半圆区域为样本空间 S 对平方移项 x a 2 y2 a2 事件 与原点连线与 0 x 轴的夹角小于 4 为 A A 为如图阴影部分 蓝色 其中 2 2 1 asm 2 2 2 1 4 a a Am sm Am AP 1 2 1 16 已知 4 0 3 0 BPAP 5 0 BAP 求 BABP 解 BAPAPABP Q 0 7 0 5 0 2 BAPBPAP ABP BAP ABP BABP 5 06 07 0 2 0 0 25 18 三个人独立地去破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为 4 1 3 1 5 1 求密码被破译 的概率 解 设 个人能破译第iAI 则所求为 321 AAAP 1 321321 APAPAPAAAP 6 0 4 3 3 2 5 4 1 19 设有 4 张卡片分别标以数字 1 2 3 4 今从中任取一张 设 A 表示事件 取到标有 1 或 2 的卡片 B 表示事件 取到标有 1 或 3 的卡片 C 表示事件 取到标有 1 或 4 的卡 片 验证 CPBPBCPCPAPACPBPAPABP ABCPCPBPAP 解 显然 2 1 CPBPAP 4 1 ABP 4 1 BCP 4 1 ABCP 4 1 4 1 4 1 CPBPBCPCPAPACPBPAPABP 而 8 1 ABCPCPBPAP 20 某人忘记了电话号码的最后一个数字 因而他随意地拨号 求他拨号不超过三次而接通 所需电话的概率 解 设 A 在三次内能拨通电话 i A第 i 次能拨通电话 i 1 2 3 则 321211 AAAAAAA 321211 AAAPAAPAPAP 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 21 一批零件共 100 个 其中次品 10 个 每次从其中任取一个零件 取出的零件不再放回 1 求第三次才取到正品的概率 2 求第三次取到正品的概率 解 设 Ai 第 i 次取到正品 i 1 2 3 A 第三次才取到正品 B 第三次取到正品 1 所求为 321 AAAPAP 解法一 321 AAAP0083 0 9899 81 3 100 1 90 2 10 A AA 解法二 321 AAAP 1 98 1 99 1 100 1 90 1 9 1 10 CCC CCC 解法三 用乘法公式 321 AAAP 21213 AAPAAAP 112213 APAAPAAAP 00834 0 100 10 99 9 98 90 解法一 直接计算法 样本空间的取法 1 98 1 99 1 100 CCC 321321321321 AAAAAAAAAAAABUUU 321321321321 AAAAAAAAAAAAPBPUUU 然后利用加法公式和乘法公式 1 98 1 99 1 100 1 88 1 89 1 90 CCC CCC BP 1 98 1 99 1 100 1 89 1 10 1 90 CCC CCC 1 98 1 99 1 100 1 89 1 90 1 10 CCC CCC 1 98 1 99 1 100 1 90 1 9 1 10 CCC CCC 0 892 解法二 用全概率公式 一 二两次取球情况有 21212121 AAAAAAAA 构成了样本空间的一个划分 令 214213212211 AABAABAABAAB 44332211 BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPBP 1 98 1 99 1 100 1 88 1 89 1 90 CCC CCC 1 98 1 99 1 100 1 89 1 90 1 10 CCC CCC 1 98 1 99 1 100 1 89 1 10 1 90 CCC CCC 1 98 1 99 1 100 1 90 1 9 1 10 CCC CCC 0 892 22 设有甲 乙两袋 甲袋中装有n只白球 m只红球 乙袋中装有N只白球 M只红球 今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中 再从乙袋中任意取一只球 求从乙袋中取到白球的概 率 解 设 A 从甲袋中取出白球一只 B 从乙袋中取到白球 用全概率公式 BAPABPBP ABPAPABPAP 1 1 1 1 1 1 MN N mn n C C C C 1 1 1 1 1 MN N mn m C C C C 1 1 MNnm mNNn 23 如图 1 2 3 4 5 表示继电器接点 假设每一继电器接点闭合的概率为 p 且设各继电器接点 闭合与否相互独立 求 L 至 R 是通路的概率 解法一 设事件 L 至 R 是通路 为 A Bi为事件 i 接点闭合 i 1 2 5 3333 BPBAPBPBAPAP 其中 52413 BBBBPBAP 5241 BBPBBP 2222 5241 2 1 1 1 1 pppBPBPBPBP 1 542154213 BBPBBPBBBBPBAP 4222 2 1 1ppp 23454243 2252 1 2 2 pppppppppAP 同解法一解法二 i BA 35142324515241 BBBBBBBBBBBBBBA 35142324515241 BBBBBPBBBBBPBBBBPAP 32 5241 1 2 ppBBPBBP 23453222 2252 1 2 1 1 ppppppp 24 甲 乙 丙同时向飞机射击 三人中命中率分别为 0 4 0 5 0 7 飞机被一人击中而被击 落的概率为 0 2 被两人击中而击落的概率为 0 6 若被三人击中 飞机必定被击落 求飞机被击 落的概率 解 设 Ai 飞机被 i 人击中 i 1 2 3 B 飞机被击落 用全概率公式 321321 BAPBAPBAPBABABAPBP 332211 ABPAPABPAPABPAP 1 设 D甲 飞机被甲击中 D乙 飞机被乙击中 D丙 飞机被丙击中 则 1 AP 丙乙甲 DDDP 丙乙甲 DDD 丙乙甲 DDD 丙乙甲 DDDP 丙乙甲 DDDP 丙乙甲 DDDP 由于甲乙丙的射击是相互独立的 1 AP 丙乙甲 DPDPDP 丙乙甲 DPDPDP 丙乙甲 DPDPDP 36 07 05 06 03 05 06 03 05 04 0 同理求得41 0 2 AP 14 0 3 AP 代入 1 式458 0114 06 041 02 036 0 BP 25 已知男人中有 5 是色盲患者 女人中有 0 25 是色盲患者 今从男女人数相等的人群中 随机地挑选一人 恰好是色盲患者 求此人是男性的概率 解 设 A 抽出的是男性 B 抽出的是色盲 所求为 BAP 用贝叶斯公式 BAABP ABPAP BP ABP BAP 100 5 2 1 BAPABP 95