警惕分子相等的方程.doc

警惕分子相等的方程先看第16届江苏省初中数学竞赛题中的一道分式方程题：的解是_.分析：本题若按常规方法，不仅运算量大，而且由于出现高次方程而使本题无法求解因此可采取先分组通分的办法，即对原方程的左边和右边分别通分，然后求解同时应注意到，每个分式的分子与分母中的未知数的次数相同，因此可先将每个分式拆成一个整式与分式的和的形式，然后再解，可以使运算简化解：原方程可化为.即.两边各自通分，得.至此，我们得到了一个分子相等的方程那么应该怎样解这个方程呢？吴志兰同学是这样解的：由=，得18=24因此原方程无解吴志兰的解法是否正确呢？虽然两个分式的分母不相等，联想到0除以任何一个不等于0的数仍得0，于是我们可以大胆猜测：一定等于零从而经检验是原方程的解由此我们得到了分子（是含未知数的式子）相等的方程的解法：令分子等于0或分母相等再回过头来看看吴志兰同学错在哪里？事实上，吴志兰同学的解法是在方程的两边同时除以，而当时，=0根据等式的性质2：等式两边乘同一个数（或式子），或除以同一个不为0的数，结果仍相等而吴志兰同学实际是在方程的两边同除以一个为0的式子，违背了等式的性质，从而造成方程失解找回方程丢失的解的方法是令分子等于0，求出未知数的值，即可找回丢失的解由于上述解方程的方法容易出错，而且这个错误比较隐蔽，不易发现如果仍用上述方法来解，需要对分子相等的方程提高警惕！能不能对原方程的解法进行改进呢？我们想到了把方程中的某些分式从一边移到另一边，然后分组通分，结果会怎么样呢？先试一试原方程可化为.进一步化为.两边各自通分，得.至此，我们又得到了一个分子相等的方程此时由于分子是一个常数，因此必有分母相等，即=，.由此我们得到了分子相等的方程的解法：当分子是一个常数时，分母必相等；当分母是一个含有未知数的式子时，分子等于0或分母相等其中后一种情况要引起同学们的警惕，否则容易造成漏解最后请同学们思考：在解方程时，还有没有别的方法将它化为一个分子是常数的分子相等方程能不能通过移动某些分式直接将原方程化为分子是常数的分子相等方程一道分式方程的一题多解例 解方程 分析：解分式方程的常用方法一般是：去分母，化分式方程为整式方程、解这个整式方程和验根这三大步骤；有时也视方程的具体情况而选用特殊的方法本题我们可根据分母的特点，将题目中四个分式移项组合使方程的两边的两个分母的差为1，两边再分别通分；也可以根据分式分子的整式的次数不低于分母的整式的次数，将分式化成“整式+分式”的形式，再计算；还可两边通分后在利用换元法解解法1 常规解法按“解分式方程的一般步骤”去解运算量大、比较复杂过程略解法2 移项组合原方程经移项，重新组合，得：两边分别通分并化简，得：去分母，得：解这个整式方程，得x=- 经检验，x=- 是原方程的根解法3 化“整式+分式”法原方程变形为：，即，通分得：，去分母，解这个整式方程，得：x= - 经检验，x= - 是原方程的根解法4 换元法通分并整理得，得：令=y , =z,则原方程变形为：即 yz +4y =yz +8z ,y=2z即 =2（） ，解这个整式方程，x= - 经检验，x= - 是原方程的根评注：给出了三种技巧解法，当然常规解法是最基本的，要熟练掌握；而技巧解法是对那些“特殊结构”的方程而言的，要发现解题技巧，一方面要学会观察，并善于灵