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第十二章 随机过程及其统计描述 1 利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程 X t cos t 出现 H t 出现 T t 假设 P H P T 试确定 X t 的 一维分布函数 F x F x 二维分布函数 F x x 解 由 X t 的定义 X 出现 H 出现 T 这一离散型随机变量的分布律为 X pk 其分布函数为 F x x x x 同理X 出现 H 出现 T 其分布律为 X pk 分布函数为 F x x x x 当 t t 时 X X 是一个二维离散型随机变量 且当 硬币出现 H 时 它的取值为 当硬币出现 T 时 它的取值为 由于 硬币出现 H 出现 T 的概率均为 因此 X 与 X 的联合分布律为 X X 题 畅 图 X X 的分布函数为 F x x P X x X x 由题 畅 图知 当 x x 时 F x x 当 x x 时 F x x 当 x x 时 F x x PX X 当 x x 时 F x x PX X 当 x x 时 F x x PX X 502第十二章 随机过程及其统计描述 PX X 所以分布函数为 F x x x x x x x x x x x x 2 给定随机过程 X t t T x 是任一实数 定义另一个随机过程 Y t X t x X t x t T 试将 Y t 的均值函数和自相关函数用随机过程 X t 的一维和二维分布函数来 表示 解 设随机过程 X t t T 的一维分布函数为 F x t 二维分布函数为 F x x t t 固定 t时 Y t 是服从 分布的随机变量 其分布律为 Y t pkP X t x P X t x 于是 Y t 的均值为 Y t E Y t P X t x P X t x P X t x F x t 又随机变量 Y t 和 Y t 的联合分布律为 Y t Y t P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x 由教材第四章 公式 及二维分布函数的定义 有 RY t t E Y t Y t 602概率论与数理统计习题全解指南 P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x P X t x X t x F x x t t 3 设随机过程 X t e At t 其中 A 是在区间 a 上服从均匀分布的 随机变量 试求 X t 的均值函数和自相关函数 解 由关于随机变量函数的数学期望的定理知道 X t 的均值函数为 t E X t E e At a e ut a du at e at t 自相关函数为 RX t t E X t X t E e At e At E e t t A a e t t u a du a t t e a t t t t 4 设随机过程 X t X 随机变量 E X a D X 试求 X t 的均值函数和协方差函数 解 X t E X t E X a CX t t E X t X t X t X t E X a D X 5 已知随机过程 X t t T 的均值函数 X t 和协方差函数 CX t t t 是普通的函数 试求随机过程 Y t X t t 的均值函数和协方差 函数 解 Y t E Y t E X t t E X t E t X t t CY t t E Y t Y t Y t Y t E X t t X t t X t t X t t E X t X t X t X t CX t t 6 给定一随机过程 X t t T 和常数 a 试以 X t 的自相关函数表出随 机过程 Y t X t a X t t T 的自相关函数 解 设 X t 的自相关函数为 RX t t t t T 按定义 Y t 的自相关函 702第十二章 随机过程及其统计描述 数为 RY t t E Y t Y t E X t a X t X t a X t E X t a X t a E X t X t a E X t a X t E X t X t RX t a t a RX t t a RX t a t RX t t 7 设 Z t X Yt t 若已知二维随机变量 X Y 的协方差 矩阵为 试求 Z t 的协方差函数 解 根据第四章 协方差矩阵的定义及题设知 E X X E X X Y Y E Y Y 又 Z t E X Yt E X tE Y X t Y Z t Z t X tY X t Y X X t Y Y 所以 CZ t t E Z t Z t Z t Z t E X X t Y Y X X t Y Y t t t t 8 设 X t At B t 式中 A B 是相互独立 且都服从正态 分布 N 的随机变量 试证明 X t 是一正态过程 并求出它的相关函数 协 方差函数 解 由题设 A B 是相互独立的正态变量 所以 A B 是二维正态变量 对 于任意一组实数 t t tn T X ti Ati B i n 都是 A B 的线性组合 于是根据教材第四章 中 n 维正态变量的性质 知 X t X t X tn 是 n维正态变量 再由 n ti的任意性 得知 X t 是正 态过程 而 RX t t E X t X t E At B At B t t E A t t E AB E B t t T 因 A N B N 且 A B 相互独立 即有 E A E B E A E B E AB E A E B 故 RX t t t t 又因 X t E At B tE A E B 故 CX t t RX t t 802概率论与数理统计习题全解指南 9 设随机过程 X t 与 Y t t T 不相关 试用它们的均值函数与协方差 函数来表示随机过程 Z t a t X t b t Y t c t t T 的均值函数和自协方差函数 其中 a t b t c t 是普通的函数 解 Z t E Z t a t E X t b t E Y t c t a t X t b t Y t c t t T 从而 Z t Z t a t X t X t b t Y t Y t 注意到 X t 与 Y t 不相关 于是它们的互协方差函数为零 即 CXY t t Cov X t Y t E X t X t Y t Y t t t T 所以 Z t 的自协方差函数 CZ t t Cov Z t Z t E Z t Z t Z t Z t a t a t E X t X t X t X t b t b t E Y t Y t Y t Y t a t a t CX t t b t b t CY t t t t T 10 设 X t 和 Y t t 是两个相互独立的 分别具有强度 和 的泊松 过程 试证 S t X t Y t 是具有强度 的泊松过程 证 本题用另一种形式的定义来证明较为方便 需要证 i S t 是独立增量 过程 ii 对于任意的 t t S t S t t t iii S 下面按 iii i ii 的次序论证 已知条件是 a X t Y t t 分别是强度为 的泊松过程 b 过程 X t t 与 Y t t 相互独立 iii 因 X t Y t t 都是泊松过程 所以 X Y 今 S t X t Y t 从而得 S X Y i 在 t 上任取点 t t t tn 作 S t 的增量 S ti S ti X ti Y ti X ti Y ti 记成 Ui Vi 此处 Ui X ti X ti Vi Y ti Y ti i n 902第十二章 随机过程及其统计描述 对于任意实数 x x xn y y yn有 P U x U x Un x n V y V y Vn yn P U x U x Un xn P V y V y Vn yn 由 X t 与 Y t 相互独立 P U x P U x P Un xn P V y P V y P Vn yn 由 X t Y t 是独立增量过程 即知 U U Un V V Vn相互独立 从而 U V U V Un Vn 相互独立 因此 S t 是独立增量过程 ii 由条件 a 知 对于任意 t t X t X t t t Y t Y t t t 由 X t Y t 的独立性知 X t X t 与 Y t Y t 相互独立 从而由第三章 习题 知 S t S t X t Y t X t Y t X t X t Y t Y t t t 11 设 W t t 是以 为参数的维纳过程 求下列过程的协方差 函数 W t At A 为常数 W t Xt X 为与 W t t 相互独立的标准正态变量 aW t a a 为正常数 解 因 W t 是维纳过程 故有 W t E W t CW s t E W s W t min s t s t 记 Z t W t At 则有 Z t E W t E At At 故 CZ s t E Z s Z s Z t Z t E W s W t min s t s t 记 Z t W t Xt 由题设 W t 与 X 独立 X N 知 E X E X E W t