第五章 第六节 解斜三角形应用举例.doc

第五章 第六节 解斜三角形应用举例题组一距 离 问 题1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 ()A.海里/时 B34海里/时C.海里/时 D34海里/时解析：如图由题意知MPN=75+45=120，PNM=45.在PMN中，由正弦定理，得，MN=68=34.又由M到N所用时间为14-10=4小时，船的航行速度v= (海里/时)答案：A2一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析：如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 km.答案：303如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离， 在这一岸定一基线CD，现已测 出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB 的长解：在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa. 在BCD中，由正弦定理可得BCa. 在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为ABa.题组二高 度 问 题4在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线行走了30 m，测得塔顶的仰角为2，再向塔底前进10 m，又测得塔顶的仰角为4，则塔的高度为_ 解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=.在三角形BPC中，由余弦定理可得cos2=，所以2=30，4=60，在三角形PCD中，可得PD=PCsin4=10=15(m)答案：15 m5某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57，俯角为30，同时测得B在南偏东78，俯角是45，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)解：画出示意图(如图所示)设山高PQ=h，则APQ、BPQ均为直角三角形，在图(1)中，PAQ=30，PBQ=45.AQ=，BQ=h.在图(2)中，AQB=57+78=135，AB=2 500，所以由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ2-2AQBQcosAQB，即2 5002=(h)2+h2-2hhcos135=(4+)h2，h=984.4(m)答：山高约984.4 m.题组三角 度 问 题6.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于 ()A120 B105 C90 D75解析：ca，sinCsinAsin(18030C)sin(30C)(sinCcosC)，即sinCcosC.tanC.又C(0,180)，C120.答案：A7如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2b2，abc新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形答案：A题组四正、余弦定理的综合应用8.有一山坡，坡角为30，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为 ()A300 m B400 m C200 m D200 m解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面则BC=100，BDC=30，BAD=30，BD=200，AB=2BD=400 米答案：B9线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小解析：如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos60=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)50t=12900t2-42000t+40000.当t=时DE最小答案：10(2010长沙模拟)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示经规划调研 确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界ABAD4万米，BC6万米，CD2万米 (1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值； (2)因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提 高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的 新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值 解：(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以ABCADC180，连接AC，由余弦 定理： AC24262246cosABC4222224cosADC. 所以cosABC， ABC(0，)，故ABC60. S四边形ABCD46sin6024sin120 8(万平方米) 在ABC中，由余弦定理： AC2AB2BC22ABBCcosABC 1636246. AC2. 由正弦定理2R， 2R R(万米) (2)S四边形APCDSADCSAPC 又SADCADCDsin1202， 设APx，CPy. 则SAPCxy