深入数学本质感悟数学精神--对数学归纳法的再探究.pdf

对学生函数概念的理解 函数图像判断 同一函 数的判断 求定义域等的调查结果均无明显差异 只 有在 对应关系 的理解上存在差异 主要在对应关 系的理解上 实验班明显优于对照班 课后深化练习 同步练习 函数的概念 中如下练习 和练习 的解答中 实验班的正确率分别为 和 而对照班的正确率分别为 和 这可能 与学生课前自学 课堂讨论 课后再深化 多次理解 对应关系有关 练习 若函数 为一个正常 数 且 那么 的值是 练习 函数 的图像与直 线 的交点的数目是 或 或 反思与审视 翻转课堂作为一种舶来品 它在美国的实施得 到了肯定 现在国内也掀起了 翻转课堂 热 各地 都开始推广实施 但是我们作为教师 尤其是高中老 师要理性地看待它 一方面 翻转课堂确实能激发学 生的学习积极性 能提高课堂效率 但是我们在实施 过程却也遇到了许多问题 第一 翻转课堂从美国的小班教学到中国的大 班教学 如何组织课堂形式 如何有效地进行当堂解 惑成为一个亟待解决的问题 第二 虽然绝大多数同 学学习兴趣被激发 但是也有少部分同学并没有认 真自学微视频 从而导致他们在课堂上完全无法参 与讨论 课堂内化和课后深化对这些同学都是举步 维艰 如何调动监督这些学生 成为翻转课堂实施中 必须思考的问题 第三 课前学习任务单的问题的设 置 不宜采用开放性问题 应采用基础的试题 能起 到真正巩固和理解的目的 当然学习任务单的题数 也要适量 不能让翻转课堂加重了学生学习的负担 最后 选择什么样的内容作为实施翻转课堂也应引 起我们的关注 实验中我们发现数学学科的许多内 容都可以尝试进行翻转课堂的教学 尤其是核心概 念 重点知识和关键题型的教学 但绝对不能节节翻 转 天天翻转 它仅仅是一种课堂教学模式而已 翻转课堂本土化的过程中 还有很多亟需解决 的问题 最核心的是教师观念的转变 能力跟进 躬 行践履 这是我们在高中数学课堂的一次实验 发现 实施的很多环节存在问题 这些问题希望给实施翻 转课堂模式的老师提供参考 深入数学本质 感悟数学精神 对数学归纳法的再探究 江苏省丰县中学 曹 军 文献 中 许晓天老师对数学归纳法进行了 系统研究 并在听课 评课的基础之上对数学归纳法 进行了理性思考 笔者欣赏之余亦发现文献 中存 在着三个 忽视 而这三个 忽视 的内容恰是揭示 数学归纳法本质的重要支撑点 是学生发现 认识 理解数学归纳法必须要经历的阶段 笔者借此机会 把这三个 忽视 给予补充 供同行参阅 第一个忽视 如何确定第一步中 的起始值 文献 把数学归纳法分成 课时 例题的个数 达到 个 包含了与正整数有关的恒等式 数的整除 性 数列的通项及前 项的和等问题 但没有涉及不 等式的证明问题 对于数学归纳法的教学 在文献 中明确指出 要把重点放在第二步上 其关键在 于让学生弄清 归纳假设 是什么 即当 时 命 题是什么 要证明的又是什么 即当 时 命 题是什么 在此教学建议下 第二步成为了课堂上 讨论 研究的核心 笔者认为 这样的教学处理 虽对 学生的做题有帮助 但却不利于学生理解数学归纳 法本质 文献 虽然对第一步做了理性的思考 并 概括为 一个足够 多了没用 但是仍然没有揭示 数学归纳法第一步的本质问题 下面笔者结合文献 中的一道纠错题给出说明 题目 设 求证 证明 时 不等式显然成立 假 设当 时不等式成立 即 那么 当 时 有 这就是说 当 时不等式也成 立 根据 和 可知对任何 不等式都成立 中学数学杂志 年第 期 请分析上述问题用数学归纳法证明过程中的错 误 错误剖析 第二步证明有错 一般地 对自然数 当 时 才成立 即当 时 第 二步才能无限地运行下去 那么 如何来确定第一步 中 的起始值呢 我们现在来规定多米诺骨牌一个 新的游戏规则 从第三块骨牌开始 前一块倒下后一 定能击倒下一块 在这样的规则要求下 如果要使所 有的骨牌都倒下 只要做三件事 第一 推倒第一块 骨牌 第二块骨牌未倒下 第二 推倒第二块骨牌 第三块骨牌未倒下 第三 推倒第三块骨牌 从第 三块开始 前一块倒下后一定能击倒下一块 即第 二步能无限传递下去的基础是第三块骨牌倒下 也 就是说第一步中起始值不一定是 因此 起始值的 选择要根据题目所给条件和第二步综合确定 需要 特别指出的是 多米诺骨牌毕竟不是数学问题 重要 的是通过直观化处理为学生提供了一种 数学 化 所谓数学化 是指通过一种组织与构建的活 动 运用已有的知识与技能去发现未知的规律 关系 和结构 简言之 数学地组织现实世界的过程就是数 学化 思想 有利于帮助学生对第一步本质的认识 在此题目中 我们要找出 时 不等式 成 立的最小正整数 当 时 当 时 当 时 从而 本题中第一步起始值 应为 当 时 第二步才具有实质上的无限传 递性 即证得 时 至此 数学归纳法第 一步的本质不攻自破 因此 在教学过程中 教师必须让学生经历起始 值的讨论 因为这是数学归纳法第二步论证的基础 就像玩多米诺骨牌一样 在 前一块倒下后一定能击 倒下一块 的游戏规则下 如果我们不推倒第一块 骨牌 那么所有的骨牌能倒下吗 下面再利用文献 中的一道题说明确定起始 值的重要性 例题 用数学归纳法证明 其中 证明 时 不等式显然成立 时 不 等式的左边 右边 不等式也成立 假设当 时不等式成立 即 成立 则 当 时 有 这就是说 当 时不 等式也成立 根据 和 可知对任何 不等 式都成立 说明 本题结合不等关系 来证明 但注意要将第一步的起点后 移 即第一步中的起始值为 因此 在第一步证明 中 不仅要证明当 时 不等式成立 还要说明当 时不等式成立 第二个忽视 为什么在第二步的证明中要用 假设 两字 对于这个问题 想必有很多教师现在还无法进 行清晰的解释 笔者认为 这一知识点是这节课最重 要的难点之一 在数学归纳法起始课的教学中 教师 应该让学生对此有一个清楚的认识 否则 学生只是 掌握了数学归纳法的 形 而没有真正掌握数学归 纳法的 神 譬如 要使多米诺骨牌全部倒下需要两个条件 第一个条件 第一块骨牌倒下 第二个条件 若第 块骨牌倒下 则第 块骨牌也倒下 从实际教学 看 第一个条件容易理解 第二个条件理解起来比较 困难 如何解释呢 为了方便起见 记命题 是 与自然数 有关的命题 可以理解为是编了号 的命题 第 号命题是 第 号命题是 第 号命题是 第 号命题是 第一步只是验证命题 中的第 号命 题 成立 第二步实质上也是一个命题 即如果 成立 则有 成立 到底成立还是 不成立 不是第二步的任务 第二步的任务是 假设 成立 证明 也成立 这就好像命题 如 果 那么 是真命题 因为尽管 但 如果有 则由不等式的性质有 即 至此 学生就会明白第二步中的命题 和 实质上断定的是一种关系 而不是对 中学数学杂志 年第 期 的断定 如果更形象一点说 第二步所断言的 是有了一台功能特殊的 递推机 该递推机的功能 是 只要把原料 递进去 那么该机便能输出 这个产品 当然 有了递推机并不能保证一 定有原料 现在就可结合第一步来看数学归纳法 第 一步断言了 为真 而第二步就是一台递推机 这样将 作为初次原料送进递推机 它立即输出 有了 就可以把它作为原料再次送入递 推机 于是就有了 如此重复地运用递推机 就 可相应地得到 这样就看清楚了 数学归纳法的 递推机 在有初始原料 的情况 下的 工作 原理 这里实质上也就是数学归纳法为 什么能作为一个严密的证题方法的逻辑原理 因此 应该让学生清楚 数学归纳法是一种演绎推理 是典 型的三段论 而这种演绎推理又是为了归纳 数学归 纳法与一般归纳法的根本区别在于 数学归纳法具 有明确的论证意识 通过应用归纳步骤和传递步骤 来确保论证的严密性和正确性 第三个忽视 第二步中的归纳假设如何使用 在实际的教学过程中 教师必须要强调 由假设 成立证 时 要推导详实 并且一定要 运用 文献 中虽提到 第二步中 假设 也 是条件 不用不行 但遗憾的是却没有指出如何使用 这个假设条件 下面借助于第二个 忽视 中的例 题来说明如何使用假设条件 另证 当 时 不等式显然成立 假设当 时不等式成立 即 成立 即 成立 则当 时 分析 数学归纳法规定 在 成立的前提 下 证明 成立 但是如何使用 就要适 时考虑 在第二个 忽视 中 证明 放缩法 思路体 现在 要证 成立 必须在 的结构 中凑出 的结构 另证在 成立的前提下 对 进行深加工 为 的成立创造更优越的 条件 如果教师过度强调 证明 时要凑出 的结构 就有掩盖数学归纳法第二步本质的 嫌疑 因此 教师要让学生清楚地了解每一个知识点 的来龙去脉 了解每一个知识点的应用范围 了解每 一个知识点的所以然 才能更好地讲授数学归纳法 一个担心 直观与形式化不能代替数学本质 关于强调本质的问题 高中数学课程标准明确 指出 形式化是数学的基本特征之一 在数学教学 中 学习形式化的表达是一项基本要求 但是不能只 限于形式化的表达 要强调对数学本质的认识 否则 会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋 里 事实上 没有对数学本质的理解 就不可能有应 用和创新 这就要求我们 教学中必须要弄清问题 产生的背景 抽象的过程以及结果的表述 体会其内 在的本质 但目前的现状是 模仿操作的多了 体会 内在本质的少了 教学中不能因学生学会了数学归 纳法的基本步骤 就忽视数学归纳法的基本思想 甚 至有的教师过度追求形式化 把数学归纳法程序化 见矩形框图 并要求学生做题时填空就可以了 对 此 笔者在此呼吁 数学归纳法的教学决不能得鱼而 忘筌 证明 时结论成立 假设 时成立 即 则当 时 即结论对于所有的 都成立 综合 可知结论成立 另外 多米诺骨牌是一个经典的教学实例 很多 专家与一线教师在反复探讨之后 仍然觉得其它实 例都无法代替多米诺骨牌这个经典实例 由于骨 牌之间特殊的排列方法 只要推倒第一块骨牌 第二 块就会自己倒下 接着第三块就会倒下 第四块也会 倒下 如此传递下去 所有的骨牌都会倒下 通 过师生的共同讨论得出结论 第一块要倒下 当前面一块倒下时 后面一块必须倒下 把这两 个条件迁移到具体的数学问题中 引出数学归纳法 证题的步骤 最后让学生套用这个模式解题 鉴于学 生的实际 我们认为这些做法十分必要 但遗憾的 是 这些做法对隐藏在实例背后的实质性问题揭露 不够 虽然多米诺骨牌这个例子学生确实比较容易 中学数学杂志 年第 期 理解 但无论你如何解释 这只是对数学归纳法思想 的一个直观认识 它决不能替代其丰富的理性内涵 学生也因此被稀里糊涂地带进了模仿操作的怪圈 里 学生对它的掌握仅仅停留在被称作 表象 的水 平上 还并没有真正掌握 因此 对于直观的东西应 用一定要适可而止 少了 会降低理解上的难度 多 了 会抑制数学思维 只有恰到好处 才能发挥它的 应用作用 最后 如果因为教师自身感到某个数学本质不 好解释 不自然 所以就放弃对它的诠释 那就放弃 了一次让学生真正体验 数学化 思想的历程 学生 也就失去了一次数学理性思维提升的过程 课堂上 教师应该展示数学归纳法的形成过程 让数学归纳 法的原理水到渠成 在教学过程中让学生学到的不 仅仅是形式和抽象的理论 而是让数学归纳法的思 想真正走入学生的内心世界 总之 课堂教学既是一 门学问 也是一门艺术 衷心愿我们的课堂教学真正 做到远离浮躁 回归本质 参考文献 许晓天 提炼问题 理性分析 整体设计 对 数学归 纳法 评课中问题的反思 中学数学教学参考 单墫 普通高中课程标准实验教科书 数学选修 苏教版 南京 江苏教育出版社 单墫 高中数学教学参考书 选修 苏教版 南京 江苏教育出版社 李善良 学习与评价 高中数学选修 南京 江苏教育出版社 陈云平 数学教学应是数学本质的教学 中学数学 教学参考 马茂年 俞昕 课堂教学回归 数学化 的讨论和分析 数学教育学报 作者简介 曹军 年出生 中教二级 主要从事高 中数学教育教学 研究方向为课堂教学研究 中学数学解题 研究 发表论文近 篇 从变换的角度赏析 两角差的余弦公式 之推导 浙江省湖州市第二中学 俞 昕 近期观看了科幻大片 星际穿越 影片中出现 了虫洞 黑洞 第五维空间等一些星际概念 让人感觉 宇宙中充满了奇妙的变换 宇宙的研究当然离不开数 学 数学是一切自然科学之王 而数学中也充满了各 种奇妙的 令人着迷的变换 三角变换就是其中之一 有些人认为三角学是古老的数学 应该弱化 但从现 行高中数学教材来看 仍是对三角学比较重视 确实 三角学属于经典数学中的知识 之所以经典有其原因 所在 三角学中的各种变换蕴含了丰富的数学思想 是开启学生数学智慧之门 引起学生数学探究欲望的 良好素材 数学变换方法有着深刻的哲学思想基础 这是因 为辩证法告诉我们 任何事物都不是孤立 静止和一 成不变的 而是在不断地发展变化 由于数学变换 方法充分体现了联系 运动 转化的观点 它对数学教 育研究必然是有启发性的 下面以 两角差的余弦公 式 推导为例 从变换的视角赏析其生成方式 公式推导前奏 两锐角差的余弦公式 从学生认知特点的角度出发 从特殊到一般是比 较符合学生认知规律的 所以一般可以考虑从两锐角 差的余弦着手 比如 有各种变换方 法可以求出此三角函数值 数学动手实验中的变换 明代学者与军事家王守仁说 知是行之始 行是 知之成 而陶行知老先生说 行是知之始 知是行之 成 墨辩 提出三种知识 亲知 闻知 说