游戏中的数学——论博饼中的概率.pdf

游戏中的数学游戏中的数学 论博饼中的概率论博饼中的概率 厦门外国语学校厦门外国语学校 高一 高一 13 班 班 17 号号 林宇辉林宇辉 一 一 引言 引言 对于闽南的人们来说 每逢中秋佳节 家人团聚之时 便会举行 一种名为 博饼 的十分有趣的游戏 这小小的博饼游戏 却包含着 关系到随机变量的神奇规律和排列组合规律的奥秘 在下面 我们就 将对这个问题进行深入的探讨 二 二 博饼规则 博饼规则 博饼开始时由参加游戏的人围成一桌 3 12 人 以十人最佳 准备 桌上摆一个瓷碗 六个骰子并放上相应的礼品 从指定的一个人开始 按照逆时针的方向 每个人每次把 6 个骰 子一起投进大碗里 并查看骰子投出的结果 对照规则表 根据所指 定的规则获得相应的礼品 月饼 日常生活用品等 之后众人依次 轮流投骰子 一次六个 直到所有礼品被博完并结束当前的一轮 则视为游戏结束 传统传统对应对应规则 规则 投骰子结果与礼品的对应为投骰子结果与礼品的对应为 1 有 1 个 四点 的得一秀饼 秀才 拿完为止 共 32 个 2 有 2 个 四点 的得二举饼 举人 拿完为止 共 16 个 3 有 4 个相同点数的 红四除外 得四进饼 进士 拿完为止 共 8 个 4 有 3 个 四点 的得三红饼 共 4 个 5 若骰子点数分别为 1 至 6 组合的得对堂饼 榜眼 探花 共 2 个 6 若是有 4 个 四点 或是有 5 个相同点数 5 个 四点 若是 6 个 四点 4 个 四 点 加上 2 个 一点 都是状元 且等级依次升高 得状元饼 共 1 个 对应规则对应规则和和名称名称如图示 如图示 注意事项 注意事项 1 当出现大于等于两个 状元 的时候 等级大的获得状元 2 同是四红比较所带的点数纸盒的大小 大者等级大 3 同是五子 先比较相同数字的大小 再比较所带数字的大小 4 同是五红 比较所带数字的大小 5 出现完全相同的状元时 先博得者等级大 6 如博到状元插金花可兼得两个对堂 7 在同一场比赛中 同一选手两次或两次以上博到状元 取其最后一次的成绩为最终 成绩 8 若出现六个相同的数字 皆有特殊情况出现 在此不给予讨论 9 如果骰子跳出瓷碗 则该选手本轮成绩无效且要轮空一次 10 若对堂 2 个 或三红 4 个 已经被人拿完 再有人博到 则此人按游戏进行的 反方向 向离自己最近的一个对堂 三红 持有者拿回奖品 即游戏结束前博到的 三 红 对堂 都有可能被 抢 走 以上将博饼基本游戏规则描述完毕 三 三 论证准备 论证准备 在正常情况下 我们无法控制自己投出骰子的轨道 因此 我们 无法控制自己投出骰子的结果 即每次投骰子博得的结果是随机的 又因为每个骰子的六个面朝上的几率都是相同的 所以我们要研 究的是一个古典概率模型的问题 面对这一类问题 我们可以使用随 机变量进行分析 设投骰的结果为 X 讨论 X 符合耕种情况的概率 假设和定义 假设和定义 1 按照骰子面朝上图案中的点数 分别将每个骰子得到的结果 对应为随机变量 1 2 3 4 5 6 2 为了表达方便明了 分别将六个骰子设为 第一个骰子 第二个骰子 第三个骰子 第四个骰子 第五个骰子 第六个骰子 并分别用变量 a b c d e f 依次表示每个骰子投得的 结果 即 a 表示第一个骰子投得的点数 以此类推 3 将每次六个骰子投得的结果 分别对应为一个六维向量 a b c d e f 因此 每次投得的结果都有一个六维向量 与之一一对应 即 X a b c d e f 4 每个骰子投得一个确定的点数 共有 6 种可能 所以总共的 结果有 46656 种可能 为了描述清晰 设每个 基本事件 出现的概率为 P 基本事件 即 5 在论证中会出现分步计算 即可能出现 第一步 讨论在不考虑顺序的情况下特征数出现的概率 第二步 讨论有几种顺序可能 其中 特征数 指 决定投骰结果的关键数字 不考虑顺序 指 在指定骰子号数的情况下 计算出现 特 征数 满足得奖条件的概率 指定骰子号数 指 规定出现 特征数 的骰子的编号 顺序可能 指 总共存在几种 指定骰子号数 组合的可 能 全文中若不做特殊说明 取全文中若不做特殊说明 取 骰子投出的数 a b c d e f u w x y z 1 2 3 4 5 6 以上 论证准备完毕 下面开始进入论证 四 四 计算证明计算证明博饼中每项奖品在每把中出现的概率博饼中每项奖品在每把中出现的概率 1 对堂 对堂 解法一 对堂是形如 1 2 3 4 5 6 的结果 顺序任意交换 若不考虑顺序 每投出一个确定的点数的概率为 P X 1 2 3 4 5 6 考虑各种顺序的可能 即为给 1 2 3 4 5 6 这六个数字排序有多少种可能 P X 对堂 P X 1 2 3 4 5 6 720 解法二 将每个骰子分开讨论 在符合条件的情况下 6 个数字中 a 1 2 3 4 5 6 b 1 2 3 4 5 6 c 1 2 3 4 5 6 d 1 2 3 4 5 6 e 1 2 3 4 5 6 f 1 2 3 4 5 6 n a 6 n b 5 n c 4 n d 3 n e 2 n f 1 P X 对 堂 P a P b P c P d P e P f 720 综上得 P 对堂 720 1 543 2 三红 三红 三红是形如 4 4 4 x y z x 4 y 4 z 4 的结果 顺序任意交 换 若不考虑顺序 P X 4 4 4 x y z 125 考虑各种顺序的可能 即 4 4 4 这三个数字在六个位置 骰子 中组合有多少种可能 P X 三红 P X 4 4 4 x y z 2500 综上得 P 三红 2500 5 358 3 四进 四进 四进是形如 x x x x y z x 4 y x z x 的结果 顺序任意 交换 若不考虑顺序 第一个骰子可选择除 4 外的任意数 1 2 3 5 6 P a 4 又 第二 三 四个骰子要跟第一个骰子点数相同 P b a P c a P d a 又 第五 六个骰子跟第一个骰子点数不相同相同 P e a P f a P X x x x x y z 125 考虑各种顺序的可能 即 x x x x 这四个相同数字在六个位置 骰子 中组合有多 少种可能 P X 四进 P X x x x x y z 1875 综上得 P 四进 1875 4 019 4 二举 二举 二举是形如 4 4 w x y z x y z w 4 的结果 顺序任意交换 若不考虑顺序 第一 第二个骰子为 4 P a 4 P b 4 又 剩余骰子为除 4 外的任意数 概率皆为 P w 4 P X 4 4 w x y z 625 考虑各种顺序的可能 P X 二举 P X 4 4 w x y z 9375 综上得 P 二举 9375 20 094 5 一秀 一秀 一秀是 1 形如 4 u w x y z u x y z w 4 顺序任意交换 2 非对堂 的结果 若不考虑顺序 同二举解法 P X 4 u w x y z 3125 考虑各种顺序的可能 P X 一秀 P X 4 u w x y z P X 对堂 120 18630 综上得 P 一秀 18630 39 931 6 状元 状元 状元插金花状元插金花 状元插金花是形如 4 4 4 4 1 1 的结果 顺序任意交换 解法一 若不考虑顺序 P X 4 4 4 4 1 1 考虑各种顺序的可能 每个骰子的结果只有 4 和 1 即为考虑 4 4 4 4 这四个数字在六个位置 骰子 中的组合 有多少种可能 P X 状元插金花 P X 4 4 4 x y z 15 解法二 其实只需考虑 4 4 4 4 1 1 这 6 个数字在六个位置中排序的结果 又 4 个 4 是完全相同的的 2 个 1 也是完全相同的 P X 状元插金花 15 综上得 P 状元插金花 15 0 032 五红 五红 五红是形如 4 4 4 4 4 x x 4 的结果 若不考虑顺序 P X 4 4 4 4 4 x 5 考虑各种顺序的可能 P X 五红 P X 4 4 4 4 4 x 30 综上得 P 五红 30 0 064 五子 五子 五子是形如 x x x x x z x 4 z x 的结果 顺序任意交换 若不考虑顺序 P X x x x x x z 25 考虑各种顺序的可能 P X 五子 P X x x x x x z 150 综上得 P 五子 150 0 321 四红 四红 四红是 1 形如 4 4 4 4 x y x y 4 顺序任意交换 2 非状元插金花 的结果 若不考虑顺序 P X 4 4 4 4 x y 25 考虑各种顺序的可能 P X 四红 P X 4 4 4 4 x y P X 状元插 金花 15 360 综上得 P 四红 360 0 771 特殊情况 特殊情况 黑六勃黑六勃 x x x x x x x P X 黑六勃 4 遍地锦遍地锦 1 1 1 1 1 1 P X 遍地锦 1 红六勃红六勃 4 4 4 4 4 4 P X 红六勃 1 综上得 P 黑六勃 4 0 009 P 遍地锦 P 红六勃 0 002 P X 状元 P 状元插金花 P 五红 P 五 子 P 四红 P 黑六勃 P 遍地锦 P 红 六勃 561 综上得 P 状元 561 1 202 7 特殊情况 特殊情况 四进带一秀四进带一秀 P X 四进带一秀 P X 四进 1875 600 四进带二举四进带二举 P X 四进带二举 P X 四进 1875 75 五子带一秀五子带一秀 P X 五子带一秀 P X 五子 150 30 综上得 P 四进带一秀 600 1 286 P 四进带二举 75 0 160 P 五子带一秀 30 0 064 8 无 无 P X 什么都没有 1 P 对堂 P 三红 P 四进 P 二举 P 一秀 P 状元 P 四进带一秀 P 四进带二举 P 五子带一秀 13700 综上得 P 无 13700 29 364 至此 博饼所有等级获得的概率已经分析完毕 注 1 论证中的 一秀 包括 四进带一秀 和 五子带一秀 中 的 一秀 2 论证中的 二举 包括 四进带二举 中的 二举 五 五 对求得结果的总结对求得结果的总结 根据计算 论证 得出了博饼中每一次投骰子获得各种等级的所 有概率 在此将结论整理如下 1 基本结论 基本结论 等级等级 投一次骰子出现的概率投一次骰子出现的概率 与投得状元概率的比例与投得状元概率的比例 一秀 18630 39 931 33 2 二举 9375 20 094 16 7 四进 1875 4 019 3 3 三红 2500 5 358 4 5 对堂 720 1 543 1 3 状元 561 1 202 1 0 皆无 13700 29 364 24 4 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 一秀 二举 四进 三红 对堂 状元 暂无 可能性大小可能性大小 一秀一秀 39 二举二举 20 四进四进 4 三红三红 5 对堂对堂 2 状元状元 1 暂无暂无 29 概率所占比例概率所占比例 一秀 二举 四进 三红 对堂 状元 暂无 2 其他结论 其他结论 3 数学期望数学期望 4 解释博饼中出现的现象 解释博饼中出现的现象 状元插金花 15 0 032 五红 30 0 064 五子 150 0 322 四红 360 0 772 四进带一秀 600 1 286 四进带二举 75 0 161 五子带一秀 30 0 064 每次出现概率 出现一次所需投 骰子数 均值 个数 预计博完所有礼品所需 要的次数 数学期望 一秀 39 931 2 5 32 80 二举 20 094 5 0 16 80 四进 4 019 24 9 8 199 三红 5 358 18 7 4 75 对堂 1 543 64 8 2 130 状元 1 202 83 2 1 83 皆无 29 364 3 4 博饼中常说 四进 最难博 其原因并不是因为博得 四进 的概率最低 而是因为将所 有的 四进 8 个 博完的预期次数是最多的 199 次 远大于第二的对堂 60 多次 有趣的是 博得 四进 的概率小于 三红 但是 四 进 的等级比 三红 低 一整轮博饼所需要的时间 按照概率 在 199 次投骰子后结束一轮博饼的可能是最大的 大多数博饼将进行 200 次左右结束 根据不同场景和气氛 从一个人投骰子到下一个人所需的时 间变化很大 这里取平均一分钟 3 4 次 则进行一轮完整博饼的时间大概 在 50 70 分钟 因为运气因素 所以实际情况可能会有较大误差 但若样 本数量很大 则平均花费时间和预期就不会有太大误差 博得 状元插金花 的机会 每把博得 状元插金花 的概率为 0 03215 博得一次 状元插金花 的预期次数为 3110 4 次 平均一人一整轮博饼能投骰子 20 次 十人参与游戏 一个人平均参加155次博饼才能博得一次 状元插金花 平均每轮博饼会有 2 3 个状元 一个人平均每四轮博得一次状元 参加十人博饼 参与人数 越少博得状元的频率越高 红六勃 传说中最难博到的 六个 4 按照数学期望平均每 46656 次投骰子出现一次 假设一个人参加的博饼游戏中平均参与人数为 10 人 一轮平均投骰子 20 次 且设在博饼活动地区的人平均每年参加 2 3 次博饼 并在 10 60 岁坚持每年参加博饼活动 则平均 370 人中有一人有机会在一