机械优化设计.doc

目录机械优化设计方法总结与应用11优化设计对象11.1 优化空间的选取11.2 通用函数的建立11.3 迭代常用的终止条件12优化设计方法22.1 区间搜索法22.2 一维优化方法22.2.1 格点法22.2.2 黄金分割法22.2.3 二次插值法32.3 多维无约束法32.3.1 梯度法32.3.2 牛顿法42.3.3 变尺度法42.4 多维有约束法52.4.1 可行方向法52.4.2 罚函数法53离合器碟形弹簧最优化设计73.1 引言73.2 碟形弹簧优化设计的数学模型73.2.1 设计变量与目标函数选择73.2.2 约束条件确定93.2.3 优化设计数学模型103.2.4 常量选择113.3 优化设计方法113.3.1 内点法步骤与流程113.3.2 内点罚函数法Matlab程序123.4 运算结果分析154课程总结16参考文献17机械优化设计方法总结与应用通过这学期的学习，我们学习了一维优化法（进退法、格点法、黄金分割法、二次插值法），无约束法（坐标轮换法、梯度法、牛顿法、变尺度法），多维有约束法（复合型法、惩罚函数法）。1 优化设计对象1.1 优化空间的选取每种优化方法在理论上都是能够解决问题的，但在实际应用上它们却有着一定的局限。首先是优化空间的选择，从优化方法的推导过程就能看到过于理想，推导中只存在单一的极值，解决实际问题就产生了困扰，如果采用以上优化算法，就有可能收敛于某一个极值，得到的并非最优解。因此使用课堂上讲解的优化方法解决实际问题就必须使得例子充分的简单，在优化空间内波动不大或对实例具有充分的了解，能够选择正确的优化空间，或进行多次优化求解。1.2 通用函数的建立每一种算法很难建立通用的输入接口。我们能够采用正则表达式对输入元素进行提取，也能够利用堆栈技术或二叉树技术对算式进行存储辨识。但是每个优化算法均涉及了对优化函数的求导，求导过程，及函数变换过程，必须启动算法编译。使用计算机进行通用的严格的变换处理还具有一定的难度。1.3 迭代常用的终止条件a) 点距准则。相邻的两个迭代点之间的距离已经达到充分小，即x(k+1)-x(k)1b) 函数下降量准则。相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小；分为以下两种情况。绝对下降量判断：F(xk+1)-F(xk)2 相对下降量判断：F(xk+1)-F(xk)F(xk+1)3c) 梯度准则。F(xk+1)4 一般取4=10-42 优化设计方法2.1 区间搜索法区间搜索的常用方法是进退法。其特点是利用单峰函数性质，在极小点左边函数值应严格下降，而在极小点右边函数值应严格上升，进行求解。因此，可从某一个给定的初始点x(0)出发，以初始步长h0沿着目标函数值的下降方向，逐步前进（或后退），直至找到相继的3个试点的函数值按“大一小一大变化为止。搜索到相应区间xnk,xn+2k。减小步长进行下一次的搜索，反复迭代至步长足够小时停止。在一维函数中均能使用，但是注意选取空间的单峰性质。2.2 一维优化方法一维有约束方法分为进退法、格点法、黄金分割法、二次插值法。一维约束方法的基本迭代公式为：X(k+1)=X(k)+(k)S(k)当已知迭代初始点X(k)，且搜索方向S(k)确定后，迭代所得的新点X(k+1)取决于步长(k)，不同的(k)会得到不同的X(k+1)和不同的日标函数值f(X(k+1)因此，在多维优化问题中，一维优化的目的是在既定的X(k)和S(k)下寻求最优步长(k)，使迭代产生的新点X(k+1)的函数值为最小。2.2.1 格点法格点法的特点是，将一维函数为f(x)，搜索区间为a,b，分解为n+1个等分。同时根据，可获得每一点的横坐标，进而求出纵坐标，只要找到 y值最小者ym=minyk , k=1,2,n，则在区间xm-1 , x m+1内必包含极小点。将xm-1 , x m+1作为新的区间进行下一次搜索，反复迭代，至收敛达到一定精度。格点法在每一次迭代过程中都需要将空间n等分，迭代的次数越多，精度越高，一旦区间大小，等分数目及精度确定，就能确定其迭代次数。2.2.2 黄金分割法黄金分割法适用于a,b区间上的任何单峰函数求极小值问题。对函数除要求单峰外不作其它要求，甚至可以不连续。这种方法的适应面相当广。在搜索区间a,b内适当插入两点x1，x2 ，并计算其函数值。 x1，x2将区间分为三段，通过比较函数值的大小，删除其中的一段，使搜索区间缩短。然后再在保留下来的区间上作同样处理，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的近似值。2.2.3 二次插值法二次插值法是多项式逼近法的一种，用多项式最优解作为目标函数的近似最优解。假定我们给定的问题是在某一确定区间内寻求函数的极小点的位置，但是没有函数表达式，只有若干试验点处的函数值。我们可以根据这些函数值，构成一个与原目标函数相接近的低次插值多项式，用该多项式的最优解作为原函数最优解的近似解。我们常常利用原目标函数上的三个插值点，构成一个二次插值多项式，用该多项式的最优解作为原函数最优解的近似解，逐步逼近原目标函数的极小点。Xp*=12(x1+x3-C1C2)C1=f3-f1x3-x1C2=f2-f1x3-x1-C1x2-x3其终止条件为：1、 当相继两次插值函数极值点Xp*（k+1）与Xp*（k）的距离小于一定值时，即精度。2、 利用函数下降量判断，在代码中加入一个判据，C2=0时候终止。3、 Xp*-x1x3-Xp*100时，该方法较为好用。2.4 多维有约束法 根据对约束条件处理方法的不同，可以将它分为两类：一类是直接法，即直接从可行域中寻找出它的约束最优解；另一类是间接法，即将复杂的原优化问题转为一系列简单的客易解决的子问题，用这一系列子问题的解去逼近原问题的解。2.4.1 可行方向法可行方向法是求解非线性规划问题的常用方法。其典型策略是，从可行点出发，沿着下降的可行方向进行搜索，求出是目标函数值下降的新的可行点。算法的主要步骤是选择搜索方向和确定沿此方向的步长，搜索方向的选择形式不同就形成了不同的可行方向法。2.4.2 罚函数法罚函数法的基本思想是，根据约束特性构造惩罚函数，井将其加到目标函数中去，将约束非线性规划问题转化为一系列无约束极值子问题，然后按无约束优化方法千求解。这种“惩罚策略，给予无约束极值问题求解过程中企图违反约束的那些迭代点以很大的目标函数值，而子问题的目的是极小化目标函数，这样迫使无约束子问题的极小点趋向于满足约束条件。重复地产生和求解一系列这样的子问题，它们的解在极限情况下趋向原问题的约束极小值。根据惩罚函数形式的不同，惩罚函数又可分为外罚函数法、内罚函数法和混合罚函数法。罚函数法又分为，外罚函数法和内罚函数法。 内罚函数法只可用于求解不等式约束优化问题，而不能求解等式约束优化问题，否则将会因为设计点满足约束条件而使所构造的罚函数值变为无穷大。此外，由于内罚函数初始点必须在可行域内，故在计算方面比外罚函数法要复杂。点。内罚函数法的特点是，收敛过程的各个迭代点，对应于一系列逐步得到改善的可行设计方案，设计者可以对这一系列方案作进一步的分析比较，以得到满意的设计方案。许多工程优化设计者经常使用它。 外罚函数法的初始点X0Rn，可以在可行域内，也可以在可行域外任意选取，这对实际计算是很方便的。 初始惩罚因子和递增系数C的选取是否恰当，对方法的有效性和收敛速度都有影响。若与C取值过小，则迭代次数增多，计算时间增加；若与C取值过大，惩罚函数 P(X，)的性态变坏，导致求解无约束优化问题的困难。总体上说，罚函数存在以下缺点：1、当算法需要求解无约束问题时，计算量大、收敛慢。2、罚函数选取不当，迭代增加会造成罚函数性态越来越差。3、罚函数法往往会产生不可行迭代点，无法解决严格要求迭代点可行的工程问题。173 离合器碟形弹簧最优化设计摘要：本文介绍了碟形弹簧设计优化方法，并建立了离合器碟形弹簧的优化设计数学模型。从设计变量选取，目标函数和约束条件的确定等方面详细介绍了构建离合器碟形弹簧设计方法。并结合实例，应用Matlab工具，利用内点罚函数法进行了寻优计算，给出了优化设计程序，得到了满足实际需要的最优化参数。通过对结果进行比较，证明所建立的优化设计模型能够反映设计问题，为其进行更深入的研究提供了重要的基础。关键词：碟形弹簧；优化设计；内点罚函数；Matlab3.1 引言弹簧的用途极广，结构类型繁多。作为一种具有弹力的机械元件，广泛用于各种机械装置及机构中。例如，汽车悬架是用螺旋弹簧，扭杆弹簧或叶片钢板弹簧来支承汽车的车架或车厢，作缓冲，减震之用；汽车离合器是用螺旋弹簧或膜片弹簧，内燃机气门是用螺旋弹簧来控制运动的；弹簧秤是用螺旋拉伸弹簧来测量载荷的125。离合器碟形弹簧形状如一锥形垫片。由于其结构紧凑、加压均匀以及具有独特的非线性弹性等优点，广泛用于机械制造业中，例如用于拖拉机的离合器中7。3.2 碟形弹簧优化设计的数学模型碟形弹簧具有理想的非线性特性。影响其特性的主要参数是碟形弹簧的内截锥高度 H与碟簧片厚度 h 之比。不同的 H/h 值，可得到不同的变形特性曲线，当 H/h在时，碟形弹簧可在一定的磨损范围内，使其压力几乎不变，这种特性特别适用于离合器中。当其摩擦片磨损后，碟形弹簧压力下降不大，使离合器性能稳定、工作可靠。当离合器分离时，其压力不像螺旋弹簧那样随变形而增大，反而在某一阶段随变形而降低。因此可利用这一特性降低操纵时的踏板力，以便省力，减轻司机的劳动强度。3.2.1 设计变量与目标函数选择在优化设计中，需要确定的碟形弹簧的独立参数主要是：内截锥高度 H ；弹簧板厚度 h 以及载荷变形特性。因此设计变量选为：X = (H,h,)H内截锥高度，mmh弹簧板厚度，mm变形量，mm图 Error! Main Document Only.碟形弹簧的几何关系，如图1所示在自由状态下：tan=HR-r 受载后：tan=R-r当1Rr4时，可得到载荷P与变形的关系为：P=4Eh1-2D2AH-H-2+h2 （式 2-1）为了保证离合器系数值的稳定，使得离合器具有较好的性能，可以选择离合器摩擦片磨损前后碟形弹簧的工作压力变化Pa-Pb最小为最优化设计目标。则优化目标函数：fX=4Ex2x3-1.51-2D2Ax1-x3+1.5x1-0.5x3+0.75+x22-Pb （式 2-2）离合器接合时碟片弹簧工作载荷：Pb=MemaxfRcZc弹性模量：E弹簧模量：Zc碟片弹簧外直径：D无因次系数：A=6lnm(m-1m)2碟片弹簧大小端直径比：m=Dd，研究表明m越大6，则弹簧重量利用效率越低。碟片瘫痪储存弹性能的能力在比值m=1.82.0时为最大，对于离合器碟形弹簧来说，并不需要储存大量的弹性能，而是根据结构布置及压紧力的需要，通常取m=1.5。泊松比：，钢材料取=0.33.2.2 约束条件确定1) 碟形弹簧的强度条件。形载荷和变形有一定等式约束条件：hX=4Ex2x3-1.51-2D2Ax1-x3x1-0.5x3+x22-Pb=0 （式 2-3）碟形弹簧内圆周上缘的最大应力应满足一定的要求。在通常所采用的碟形弹簧中2H，这事其内圆上缘应力值最高，而且为压缩应力，其碟形弹簧的强度条件为：tmax=4E(1-2)D2AC1H-2+C2hg1X=4E(x3+2)(1-2)D2AC1x1-x3+22+C2x2-0 （式 2-4）2) 碟形弹簧的几何关系约束条件g2X=R-rtan9-x10 （式 2-5）g3X=x1-R-rtan110（式 2-6）3) 碟形弹簧内截锥高度H与弹簧板厚h之比值条件碟形弹簧内截锥高度H与弹簧板厚h之比值条件对碟形弹簧的载荷-变形特性有显著影响。离合器碟形弹簧常用的比值为Hh=1.52.5。g4X=1.5x2-x10（式 2-7）g5X=x1-2.5x20（式 2-8）图 24) 离合器接合时弹簧工作点的变形条件。碟形弹簧载荷特性曲线上有几个特定的工作点为，A，B，C，D（图2）。合理地确定这几点的位置是很重要的。B点位新离合器（摩擦片为磨损）处于结合时（压紧状态）的工作点，该点应保证碟形弹簧有足够大的压紧力，以得到适当的离合器后备系数。在Pb载荷的作用下，碟形弹簧的变形量b应符合sbp（p为特性曲线的拐点p处的变形量即碟形弹簧压平时的变形量），即H-H23-2h23b0，允许误差0；2) 在可行域内选取初始点X(0)，另k:=13) 从X(k-1)点出发，用无约束最优化方法求解：minx(X, r(k) 的极值点X*(r(k);4) 检查迭代终止准则：如果满足X*rk-X*(r(k-1)1=10-510-7和 X*, rk-X*, rk-1X*, rk-12=10-310-4则停止迭代计算，并以X*rk为原目标函数f(X)的约束最优解，否则转入下一步；取r(k+1)=Crk，X（0）=X*rk，k=k+1，转向步骤3。递减系数C=0.10.5常取0.1，亦可取0.02。b) 内点法流程图3.3.2 内点罚函数法Matlab程序a) 内点罚函数法程序function x, minf =NF(f, x0, g , u,v,var,eps)format long;if nargin =6eps = 1.0e-4;endk = 0;FE = 0;for i = 1:length(g)Fe = Fe+1/g(i);endx1 = transpose(x0);x2 = inf;while 1Ff = n*Fe;SumF = f + Ff;x2,minf = NT(SumF, transpose(x1),var);Bx = Funval(Fe, var, x2);If u*Bx eps If norm(x2 x1) =epsx = x2;break;elseu = v*u;x1 = x2;endelse if norm(x2 x1) eps gradf = jacobian(f,var); jacf = jacobian(gradf,var); v = Funval(gradf,var,x0); tol = norm(v); pv = Funval(jacf,var,x0); p = -inv(pv)*transpose(v); x1 = x0 +p; x0 = x1;endx = x1;minf = Funval(f,var,x);format short;c) Funval函数minf = Funval(f,var, x);format short;function fv = Funval(f,varvec,varval)var = findsym(f);varc = findsym(varvec);s1 = length(var);s2 = length(varc);m =floor(s1-1)/3+1);varv = zeros(1,m);if s1 = s2for i=0: (s1-1)/3)k = findstr(varc,var(3*i+1);index = (k-1)/3;varv(i+1) = varval(index+1);endfv = subs(f,var,varv);elsefv = subs(f,varvec,varval);endd) 主函数syms x1 x2 x3;D = 160;O = 1540;E = 2.06*105;u = 0.3;m=1.51;A = 6*(m -1/m)2/(pi*log(m);C1 = A*(m-1)/log(m)-1)*(m/(m-1)2;C2 = A*(m-1)/2)*(m/(m-1)2;R = 80;r2 = 53;f = 4*E*x2*(x3-1.5)/(1-u2)*D2*A)*(x1-x3+1.5)*(x1_0.5*x3+0.75)+x22)-Pbg=o-4*E(x3+2)/(1-u2)*D2*A)*(C1*(x1-(x3+2)/2)+C2*x2);x1-(R-r2)*tan(9*3.14/180);(R-r2)* tan(11*3.14/180)-x1;x1 1.5*x2;2.5*x2-x1;x3 0.65x1;0.8*x1 x3;-(x3+2-x1-sqrt(x12/3-2*x22/3)-0.2);x,minf = NF(f,4.4, 1.9, 3.35, g, 8,0.5,x1, x