椭圆(教师版).doc

椭圆基础知识:一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段.2椭圆的标准方程：（） 3椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 二椭圆的简单几何性质（）1椭圆的几何性质：设椭圆方程 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴它们的长分别等于和，离心率：（）.越接近于时，椭圆越扁；反之，越接近于时，椭圆就越接近于圆.2椭圆的第二定义 定义：与定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，这个动点的轨迹是椭圆准线： （）的准线方程为. 准线方程.3椭圆的焦半径： 设（-，0），（，0）分别为椭圆（）的左、右两焦点，是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.4椭圆的参数方程椭圆（）的参数方程为（为参数） 这里参数叫做椭圆的离心角椭圆上点的离心角与直线的倾斜角不同：； 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.5椭圆的内外部点在椭圆（）的内部6焦点三角形经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、，有关角结合起来，建立、等关系面积公式:三直线与椭圆的位置关系1直线和椭圆方程分别是，联立消去，得 （3） 如果，方程（3）的判别式为，那么：直线和椭圆相交，有两个交点直线和椭圆相切，有一个公共点直线和椭圆相离，无公共点当直线和椭圆相交时，在曲线内的线段（包括端点）叫椭圆的弦，当弦过焦点时，称其为焦点弦。2求弦长的方法：利用弦长公式：或 3求弦的中点的方法；可把直线方程与椭圆方程联立再用韦达定理求之，即，4直线与椭圆关系应用解决椭圆与直线的关系的问题，常用韦达定理和“点差法”求之。关于“点差法”：设椭圆：，直线与相交于两点，则有（1）-（2）整理可得，即1 已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是A2 B6 C4 D122 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D3 已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是A B C D4 设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A B C D5 把离心率等于黄金比的椭圆称之为“黄金椭圆”，设为黄金椭圆，、分别是它的左焦点和右端点，是它的短轴的一个端点，则A B C D6 斜率为的直线与椭圆相交于、两点，则的最大值为A2B CD 弦长|AB|= 答案 C7 若直线和椭圆相交于不同两点、则常数的取值范围是 ；弦的中点坐标是 （用表示）；当变化时，弦中点的轨迹方程是 。8 已知直线与椭圆有唯一公共点，则等于 。9 对任意实数，直线：与椭圆：恒有公共点，则取值范围是_。10 直线与椭圆相交所得弦的中点坐标是 。11 求直线被椭圆所截弦长。12 点是椭圆上的动点，是坐标原点，求线段的中点的轨迹方程。13 过椭圆内一点引弦，使被平分，求直线的方程。14 设椭圆方程，为短轴的一个端点，、为椭圆上相异两点，若总存在以为底边的等腰，则直线的斜率的取值范围是 A B C D解：设MN：，代入，得.由，得.又由，得.因为，所以，将代入，得，代入，得，于是15 过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆的方程 解法一 由e=,得,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1 解法二 由e=,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直线l y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=1 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 16 设椭圆：（）过点，且着焦点为（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2）又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即点总在定直线上17 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为，直线与C交于A，B两点（1）写出C的方程；（2）若，求的值；（3）若点在第一象限，证明：当时，恒有解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为 （2）设，其坐标满足 消去y并整理得，故 若，即而，于是，化简得，所以 （3） 因为A在第一象限，故由知，从而又，故，即在题设条件下，恒有 18 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点，与椭圆相交于、两点（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值DFByxAOE（1）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为， 如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或 （2）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为， 又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为 解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为 ，当时，上式取等号所以的最大值为 19 椭圆（）的一个焦点是，为坐标原点（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于、两点，若直线绕点任意转动，恒有，求的取值范围。 解法一：(1)设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形， 所以, 即1 因此，椭圆方程为 (2)设 ()当直线 AB与x轴重合时， ()当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0,解得a或a,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：（1）同解法一，（2）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1，即1,解得a或a.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(