线性代数(习题课).pdf

1 习题课习题课 1 1 1 1主要内容主要内容 二二 典型例题典型例题 三三 测验题测验题 2 一一 主要内容主要内容 1 1 1 1 矩阵的定义矩阵的定义 mnmnmnmnm m m mm m m m n n n n n n n n a a a aa a a aa a a a a a a aa a a aa a a a a a a aa a a aa a a a A A A A 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 22222222221212121 1 1 1 11212121211111111 记作记作 简记为简记为 n n n nm m m m ij ij ij ij a a a aA A A A n n n nm m m m A A A A 或或 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n nj j j jm m m mi i i ia a a an n n nm m m m ij ij ij ij 个数个数由由 列的数表 列的数表 行行排成的排成的n n n nm m m m 矩阵矩阵简称简称n n n nm m m m 实矩阵实矩阵 元素是实数元素是实数 复矩阵 复矩阵 元素是复数元素是复数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 3 一些特殊的矩阵 一些特殊的矩阵 零矩阵 行矩阵 列矩阵 方阵 零矩阵 行矩阵 列矩阵 方阵 对角阵 数量阵 单位阵对角阵 数量阵 单位阵 2 2 2 2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 矩阵相等矩阵相等 同型矩阵 同型矩阵 两个矩阵的行数相等 列数也相等两个矩阵的行数相等 列数也相等 两个矩阵同型 且对应元素相等两个矩阵同型 且对应元素相等 矩阵加 减 法 矩阵加 减 法 两个同型矩阵 对应元素相加 减 两个同型矩阵 对应元素相加 减 加法满足加法满足 交换律交换律交换律交换律 结合律结合律结合律结合律 A A A AB B B BB B B BA A A A C C C CB B B BA A A AC C C CB B B BA A A A 4 数乘满足数乘满足数乘满足数乘满足 A A A AA A A A A A A AA A A AA A A A B B B BA A A AB B B BA A A A 数与数与矩阵相乘 矩阵相乘 数数 与矩阵与矩阵 的乘积记作的乘积记作 或或 规定为 规定为 A A A AA A A A A A A A ij ij ij ij AAaAAaAAaAAa 矩阵与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 ijijijijijijijij m ss nm ss nm ss nm ss n ABABABABabababab 设设 规定规定 ij ij ij ij mnmnmnmn ABCABCABCABCc c c c 其中其中1122112211221122 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 s s s s ijijijissjikkjijijijissjikkjijijijissjikkjijijijissjikkj k k k k ca ba ba ba bca ba ba ba bca ba ba ba bca ba ba ba b im jnim jnim jnim jn 5 乘法满足乘法满足 BCBCBCBCA A A AC C C CABABABAB 为数为数为数为数其中其中其中其中 B B B BA A A AB B B BA A A AABABABAB CACACACABABABABAA A A AC C C CB B B B ACACACACABABABABC C C CB B B BA A A A E E E EA A A AA A A AA A A AE E E E n n n nn n n nm m m mn n n nm m m mn n n nm m m mm m m m 矩阵乘法不满足 矩阵乘法不满足 交换律 消去律交换律 消去律 6 A A A A是是n n n n 阶方阵 阶方阵 个个k k k k k k k k A A A AA A A AA A A AA A A A 方阵的幂 方阵的幂 方阵的多项式 方阵的多项式 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a ax x x xa a a ax x x xa a a ax x x xa a a ax x x xf f f f k k k k k k k k k k k k k k k k 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a aA A A Aa a a aA A A Aa a a aA A A Aa a a aA A A Af f f f k k k k k k k k k k k k k k k k E E E E mkm kmkm kmkm kmkm k A AAA AAA AAA AA k k k k mmkmmkmmkmmk AAAAAAAA 并且并且 m km km km k为正整数 为正整数 方阵的行列式 方阵的行列式 满足满足 1 1 1 1A A A AA A A A T T T T 2 2 2 2A A A AA A A A n n n n B B B BA A A AABABABAB 3 3 3 3 7 转置矩阵转置矩阵 一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵 叫做新矩阵 叫做 的转置矩阵 记作的转置矩阵 记作 A A A A A A A A A A A A 满足 满足 1 1 1 1A A A AA A A A T T T T T T T T 2 2 2 2 T T T TT T T T T T T T B B B BA A A AB B B BA A A A 3 3 3 3 T T T T T T T T A A A AA A A A 4 4 4 4 T T T TT T T T T T T T A A A AB B B BABABABAB 对称矩阵和反对称矩阵 对称矩阵和反对称矩阵 A A A AA A A A A A A A A A A A T T T T T T T T A A A A A A A A 是反对称矩阵是反对称矩阵 是对称矩阵是对称矩阵 幂等矩阵 幂等矩阵 为为n n n n阶方阵 且阶方阵 且A A A A 2 2 2 2 AAAAAAAA 8 伴随矩阵 伴随矩阵 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所 构成的如下矩阵构成的如下矩阵 A A A A ij ij ij ij A A A A nnnnnnnnn n n nn n n n n n n n n n n n A A A AA A A AA A A A A A A AA A A AA A A A A A A AA A A AA A A A A A A A 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 22222222212121212 1 1 1 12121212111111111 E E E EA A A AA A A AA A A AAAAAAAAA 9 3 3 3 3 逆矩阵逆矩阵 定义 定义 A A A A为为n n n n阶方阵 若存在阶方阵 若存在n n n n阶方阵阶方阵 使得使得ABBAEABBAEABBAEABBAE 则称矩阵则称矩阵A A A A是是可逆的 非奇异的 非退化的 满秩的 可逆的 非奇异的 非退化的 满秩的 矩阵矩阵B B B B称为矩阵称为矩阵A A A A的逆矩阵 的逆矩阵 唯一性 唯一性 若若A A A A是可逆矩阵 则是可逆矩阵 则A A A A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的 判定定理判定定理 n n n n阶方阵阶方阵A A A A可逆可逆0 0 0 0A A A A 1 1 1 1 1 1 1 1 AAAAAAAA A A A A 且且 推论 推论 设 设A A A A B B B B为同阶方阵 若为同阶方阵 若 ABEABEABEABE 则则A A A A B B B B都可逆 且都可逆 且 11111111 ABBAABBAABBAABBA 10 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 T T T T T T T T A A A AA A A A A A A AA A A A AAAAAAAA AAAAAAAA 满足规律 满足规律 逆矩阵求法 逆矩阵求法 1 1 1 1 待定系数法 待定系数法 2 2 2 2 伴随矩阵法 伴随矩阵法 3 3 3 3 初等变换法 初等变换法 分 分块块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似 矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似 4 4 4 4 分块矩阵分块矩阵 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 A A A AB B B B ABABABAB ABABABABB B B BA A A A 且且且且也可逆也可逆也可逆也可逆那么那么那么那么都可逆都可逆都可逆都可逆与与与与若同阶方阵若同阶方阵若同阶方阵若同阶方阵 11 1 1 初等变换初等变换 对换变换 倍乘变换 倍加变换对换变换 倍乘变换 倍加变换 逆变换逆变换初等变换初等变换 三种三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的 初等变换 初等变换 c c c cc c c cr r r rr r r r j j j ji i i ij j j ji i i i c c c cc c c cr r r rr r r r j j j ji i i ij j j ji i i i k k k k c c c c k k k k r r r r i i i ii i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k c c c c k k k k r r r r i i i ii i i i c c c c k k k k c c c cr r r r k k k k r r r r j j j ji i i ij j j ji i i i c c c c k k k k c c c cr r r r k k k k r r r r j j j ji i i ij j j ji i i i 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 12 矩阵的等价 矩阵的等价 初等矩阵 初等矩阵 由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵 如果矩阵如果矩阵A A A A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B B B B 就称矩阵就称矩阵A A A A与矩阵与矩阵B B B B等价 记作等价 记作 ABABABAB 三种初等变换对应着三种初等方阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵 2 2 2 2 初等矩阵初等矩阵 初等矩阵是可逆的 逆矩阵仍为初等矩阵 初等矩阵是可逆的 逆矩阵仍为初等矩阵 1 1 1 1 E i jE i jE i jE i jE i jE i jE i jE i j 1 1 1 1 1 1 1 1 E i kE iE i kE iE i kE iE i kE i k k k k 1 1 1 1 E ij kE ijkE ij kE ijkE ij kE ijkE ij kE ijk 反身性传递性对称性等价具有 等价具有 13 3 3 3 3 初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵与初等变换的关系 阶初等矩阵 阶初等矩阵 乘一个相应的乘一个相应的 的右边的右边相当于在相当于在施行一次初等列变换 施行一次初等列变换 对对 阶初等矩阵 阶初等矩阵 的左边乘一个相应的的左边乘一个相应的相当于在相当于在 施行一次初等行变换 施行一次初等行变换 矩阵 对矩阵 对是是设设 n n n n A A A AA A A A m m m mA A A A A A A An n n nm m m mA A A A 定理 定理 14 4 4 4 4 用初等变换法求矩阵的逆矩阵用初等变换法求矩阵的逆矩阵 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单 位矩阵位矩阵 定理定理 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积推论推论1 1 1 1 推论推论2 2 2 2 如果对可逆矩阵如果对可逆矩阵A A A A和同阶单位矩阵和同阶单位矩阵E E E E作同样的作同样的 初等初等行变换 那么当行变换 那么当A A A A变成单位矩阵变成单位矩阵E E E E 时 时 E E E E 就变成就变成 1 1 1 1 A A A A 15 1 1 1 1 A A A A E E E EE E E EA A A AE E E EA A A A A A A A 变成了变成了 就就原来的原来的时时变成变成当把当把施行初等行变换施行初等行变换 只需对分块矩阵只需对分块矩阵的逆矩阵的逆矩阵要求可逆矩阵要求可逆矩阵 1 1 1 1 A A A A E E E EE E E E A A A A E E E E A A A A 就变成了就变成了原来的原来的时时变成变成 当把当把施行初等列变换施行初等列变换或者对分块矩阵或者对分块矩阵 即 即 1 1 1 1 A A A AE E E EE E E EA A A A 初等行变换初等行变换 1 1 1 1 A A A A E E E E E E E E A A A A 初等列变换初等列变换 16 1 1 1 1 AXBAXBAXBAXB 5 5 5 5 解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法 B B B BA A A A 1 1 1 1 B B B B A A A A E E E E 初等行变换初等行变换 B B B B A A A A X X X X 1 1 1 1 B B B B A A A A 2 2 2 2 XABXABXABXAB A A A A B B B B E E E E 1 1 1 1 初等列变换初等列变换 BABABABA X X X X 1 1 1 1 B B B BA A A A T T T TT T T T 1 1 1 1 B B B BA A A A E E E E T T T TT T T T 初等行变换初等行变换 A A A A B B B BX X X X 1 1 1 1 B B B BA A A AX X X X T T T TT T T TT T T T 1 1 1 1 或者或者 17 经过初等行变换 可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换 可把矩阵化为行阶梯形矩 阵 其特点是 可画出一条阶梯线 线的下方全阵 其特点是 可画出一条阶梯线 线的下方全 为为0 0 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的 行数 阶梯线的竖线 每段竖线的长度为一行 行数 阶梯线的竖线 每段竖线的长度为一行 后面的第一个元素为非零元 也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元 也就是非零行的第 一个非零元 一个非零元 例 例 例 例 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 3 3 3 31 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 0 4 4 4 41 1 1 12 2 2 21 1 1 11 1 1 1 6 行阶梯形矩阵 18 经过初等行变换 行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵 其特点是 非零行的第一 个非零元为1 且这些非零元所在列的其它元素都 为0 例例例例 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 3 3 3 31 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0 3 3 3 30 0 0 01 1 1 11 1 1 10 0 0 0 4 4 4 40 0 0 01 1 1 10 0 0 01 1 1 1 7 7 7 7 行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵 19 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换 可得 到矩阵的标准形 其特点是 左上角是一个单 位矩阵 其余元素都为0 例例例例 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 3 3 3 31 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0 3 3 3 30 0 0 01 1 1 11 1 1 10 0 0 0 4 4 4 40 0 0 01 1 1 10 0 0 01 1 1 1 c c c cc c c cc c c c c c c cc c c c c c c cc c c cc c c cc c c c 2 2 2 21 1 1 14 4 4 4 4 4 4 43 3 3 3 3 3 3 32 2 2 21 1 1 15 5 5 5 3 3 3 33 3 3 34 4 4 4 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 01 1 1 10 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 1 8 8 8 8 矩阵的标准形 矩阵的标准形 矩阵的标准形 矩阵的标准形 20 2 mnAkk A k kA k 在矩阵 中 任取 行和 列 位于这 些行列交叉处的个元素 不改变它们在 中所 处的位置次序而得到的 阶行列式 称为矩阵 定 的 1 阶子式 义 9 9 9 9 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 0 1 0 0 2 ArD r DArA R A 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式 且所有阶子式 如果存在的话 全等于那么 称为矩阵 的最高阶 定 非零子式 数 称为 规定零矩阵 矩阵 的秩的秩 记作并等于 义 21 10 10 10 10 秩的基本关系式秩的基本关系式秩的基本关系式秩的基本关系式 1 0 min m n R Amn 2 T R AR A 3 A BR AR B 若则 4 R PAQR A 若P Q都可逆 则 max 5 R ABR ARRABR B A B 即 6 RA BARR B min 7 R AA RBRB 8 0 m nn s R AnA BR B 若则 22 0 1 m n nx A R An 元齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件是系数矩阵的秩 定理 2 m n nxb A AB A b 元非齐次线性方程组有解的充 分必要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵 定 的秩 理 11 11 11 11 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理 23 齐齐齐齐次次次次线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 把系数矩阵化成行最简形 把系数矩阵化成行最简形 把系数矩阵化成行最简形 把系数矩阵化成行最简形 矩阵 写出通解 矩阵 写出通解 矩阵 写出通解 矩阵 写出通解 非齐非齐非齐非齐次次次次线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 把增广矩阵化成行阶梯 把增广矩阵化成行阶梯 把增广矩阵化成行阶梯 把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵 根据有解判别定理判断是否有解 若有形矩阵 根据有解判别定理判断是否有解 若有形矩阵 根据有解判别定理判断是否有解 若有形矩阵 根据有解判别定理判断是否有解 若有 有解 把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵 写有解 把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵 写有解 把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵 写有解 把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵 写 出通解 出通解 出通解 出通解 12121212 线性方程组的解法 线性方程组的解法 线性方程组的解法 线性方程组的解法 24 二二 典型例题典型例题 1 1 1 1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 例例1 1 1 1 设矩阵 设矩阵 11111111 01010101 A A A A 求与求与A A A A可交换的所有矩阵 可交换的所有矩阵 分析 根据乘法定义及矩阵相等定义求分析 根据乘法定义及矩阵相等定义求 解 设所求矩阵为解 设所求矩阵为 abababab X X X X cdcdcdcd 由由 AXXAAXXAAXXAAXXA 得得 acbdaabacbdaabacbdaabacbdaab cdccdcdccdcdccdcdccd 0 0 0 0 cadcadcadcad 0 0 0 0 abababab X X X X a a a a 其中其中a a a a b b b b为实数为实数 25 例例2 2 2 2 设 设 100100100100 010 010 010 010 303303303303 A A A A 12121212 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 T T T T EAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEA 求求的行列式 的行列式 分析 直接计算困难 可利用逆矩阵的定义先化简再计算分析 直接计算困难 可利用逆矩阵的定义先化简再计算 解 解 12121212 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 T T T T EAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEA 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T T T T EAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEA 2 2 2 2 2 2 2 2 T T T T EAEAEAEAEAEAEAEA 2 2 2 2 2 2 2 2 T T T T EAEAEAEAEAEAEAEA 2 2 2 2 2 2 2 2 EAEAEAEA 2 2 2 2 300300300300 0302025030202503020250302025 305305305305 26 例例3 3 3 3 设 设 4 4 4 4 阶方阵阶方阵 234234234234234234234234 ABABABAB 其中其中 均为均为 4 4 4 4 维列向量 且已知行列式维列向量 且已知行列式 234234234234 4 3 4 3 4 3 4 3 ABABABAB 求行列式求行列式 ABABABAB 分析 根据矩阵加法定义及行列式性质求分析 根据矩阵加法定义及行列式性质求 解 解 234234234234 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ABABABAB 234234234234 8 8 8 8 234234234234234234234234 8 8 8 8 8 8 8 8 ABABABAB 56565656 27 2 2 2 2 方阵的幂方阵的幂 例例4 4 4 4 设 设 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 A A A A 求求 m m m m A A A A 解解 递推法 递推法 22222222 44444444 4 4 4 4 4 4 4 4 42424242 4 4 4 4 4 4 4 4 AEEAEEAEEAEE 322322322322 2 2 2 2AA AAAA AAAA AAAA AA 所以 当所以 当 时时2 2 2 2mkmkmkmk 2 2 2 2mkmkmkmk AAAAAAAA 2 2 2 2 k k k k A A A A 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 k k k k E E E E 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 k k k k E E E E 4 4 4 4 2 2 2 2m m m mE E E E 当当 时时21212121mkmkmkmk 21212121mkmkmkmk AAAAAAAA 2 2 2 2k k k k AAAAAAAA 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 k k k k EAEAEAEA 1 1 1 1 2 2 2 2m m m mA A A A 28 例例5 5 5 5 已知 已知 100100100100100100100100 000 210 000 210 000 210 000 210 001211001211001211001211 APPB BPAPPB BPAPPB BPAPPB BP 求求 与与A A A A 5 5 5 5 A A A A 解 解 1 1 1 1 0 0 0 0 PPPPPPPP 存存 在在 1 1 1 1 APBPAPBPAPBPAPBP 21121211212112121121 APBPPBPPB PAPBPPBPPB PAPBPPBPPB PAPBPPBPPB P 321131321131321131321131 APB PPBPPB PAPB PPBPPB PAPB PPBPPB PAPB PPBPPB P 551551551551 APB PAPB PAPB PAPB P 29 又又 2 2 2 2 100100100100 000 000 000 000 001001001001 B B B B 3 3 3 3 100100100100 000000000000 001001001001 BBBBBBBB 5 5 5 5 BBBBBBBB 5511551155115511 APB PPBPAAPB PPBPAAPB PPBPAAPB PPBPA 1 1 1 1 100100100100 210210210210 411411411411 P P P P 又又 5 5 5 5 100100100100 200200200200 611611611611 AAAAAAAA 30 测试题测试题 一 填空题一 填空题一 填空题一 填空题 每小题每小题每小题每小题4 4 4 4分 共分 共分 共分 共24242424分分分分 1 1 1 1 若 元线性方程组有解 且其系数矩阵的秩为 若 元线性方程组有解 且其系数矩阵的秩为 若 元线性方程组有解 且其系数矩阵的秩为 若 元线性方程组有解 且其系数矩阵的秩为 则当 时 方程组有唯一解 当 时 方 则当 时 方程组有唯一解 当 时 方 则当 时 方程组有唯一解 当 时 方 则当 时 方程组有唯一解 当 时 方 程组有无穷多解 程组有无穷多解 程组有无穷多解 程组有无穷多解 2 2 2 2 齐次线性方程组 齐次线性方程组 齐次线性方程组 齐次线性方程组 0 0 0 03 3 3 3 0 0 0 02 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 32 2 2 2 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 x x x xkxkxkxkx x x x xx x x xx x x x x x x xkxkxkxkxx x x x 只有零解 则 应满足的条件是 只有零解 则 应满足的条件是 只有零解 则 应满足的条件是 只有零解 则 应满足的条件是 n n n n r r r r k k k k 31 的通解为的通解为的通解为的通解为则则则则设设设设0 0 0 0 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3 AXAXAXAXA A A A 4 4 4 4 线性方程组 线性方程组 线性方程组 线性方程组 5 5 5 51 1 1 15 5 5 5 4 4 4 45 5 5 54 4 4 4 3 3 3 34 4 4 43 3 3 3 2 2 2 23 3 3 32 2 2 2 1 1 1 12 2 2 21 1 1 1 a a a ax x x xx x x x a a a ax x x xx x x x a a a ax x x xx x x x a a a ax x x xx x x x a a a ax x x xx x x x 有解的充要条件是有解的充要条件是有解的充要条件是有解的充要条件是 32 的秩是的秩是的秩是的秩是矩阵矩阵矩阵矩阵 0 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 1 1 1 1 10 0 0 02 2 2 22 2 2 2 1 1 1 10 0 0 01 1 1 11 1 1 1 1 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0 6 6 6 6A A A A 二 计算题二 计算题二 计算题二 计算题 A A A AR R R RA A A AR R R RA A A A则则则则且秩且秩且秩且秩阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵为为为为设设设设 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 1 1 1 1确定矩阵的秩确定矩阵的秩确定矩阵的秩确定矩阵的秩值的范围值的范围值的范围值的范围讨论讨论讨论讨论 第第第第1 1 1 1题每小题题每小题题每小题题每小题8 8 8 8分 共分 共分 共分 共16161616分 第分 第分 第分 第2 2 2 2题每题每题每题每 小题小题小题小题9 9 9 9分 共分 共分 共分 共18181818分 第分 第分 第分 第3 3 3 3题题题题12121212分分分分 33 0 0 0 06 6 6 68 8 8 86 6 6 65 5 5 5 0 0 0 03 3 3 35 5 5 53 3 3 32 2 2 22 2 2 2 0 0 0 02 2 2 24 4 4 46 6 6 63 3 3 3 1 1 1 1 5 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 5 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 5 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x 2 2 2 2 求解下列线性方程组 求解下列线性方程组 求解下列线性方程组 求解下列线性方程组 3 3 3 34 4 4 42 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3171717177 7 7 71 1 1 1 1 1 1 1101010104 4 4 4 4 4 4 41 1 1 11 1 1 13 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 16 6 6 6101010101 1 1 1 5 5 5 51 1 1 12 2 2 2 2 2 2 21 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 34 4 4 4 4 4 4 4 42 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 bxbxbxbxx x x xx x x x x x x xaxaxaxaxx x x x x x x xaxaxaxaxx x x x 有唯一解 无解或有无穷多解 在有无穷多解时 有唯一解 无解或有无穷多解 在有无穷多解时 有唯一解 无解或有无穷多解 在有无穷多解时 有唯一解 无解或有无穷多解 在有无穷多解时 求其通解 求其通解 求其通解 求其通解 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组取何值时取何值时取何值时取何值时 3 3 3 3b b b ba a a a 5 5 5 55 5 5 54 4 4 49 9 9 93 3 3 3 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3 2 2 2 23 3 3 36 6 6 62 2 2 2 3 3 3 32 2 2 23 3 3 33 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 5 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 4 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 5 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x x x x xx x x xx x x xx x x x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x x 35 三 利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵三 利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵三 利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵三 利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 0 0 0 01 1 1 11 1 1 1 0 0 0 01 1 1 12 2 2 2 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n nABABABABE E E EABABABABE E E E B B B BABAABAABAABAn n n nB B B BA A A A 秩秩秩秩秩秩秩秩 证明证明证明证明且且且且阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵为两个为两个为两个为两个 四 证明题四 证明题四 证明题四 证明题 每小题每小题每小题每小题8 8 8 8分 共分 共分 共分 共16161616分分分分 每小题每小题每小