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组合数学答案4.1证明所有的循环群是ABEL群证明：4.2若x是群G的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：C=e,x,x2, ,xm-1证： x是G的元素，G满足封闭性所以，xk是G中的元素CG再证C是群：1、xi , xjC , xixj= xi+j若i+jm,那么xi+j=xm+k=xmxk=xkC所以C满足封闭性。2、存在单位元e.3、显然满足结合性。4、存在逆元，设xaxb=e=xmxb=xm-axaC, (xa)-1= xb=xm-a4.3设G是阶为n 的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n.证明：设G是阶为n 的有限群，a是G中的任意元素，a的阶素为k，则此题要证首先考察下列n+1个元素 由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G,，而G中仅有n 个元素，所以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为 （）由群的性质3可知，是单位元，即=e，又由元素的阶数的定义可知，当为k阶元素时=e，且k是满足上诉等式的最小正整数，由此可证4.4 若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可表示a的幂： a,a2.an 解：设n=p1a1.pkak，共n个素数的乘积，所以群G中每个元素都以用这k个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有 (n)=n(1-1/p1)(1-1/pk) 所以群G中母元素的数目为n(1-1/p1)(1-1/pk)个.4.5证明循环群的子群也是循环群证明：设H是G=的子群，若H=,显然H是循环群，否则取H中最小的正方幂元，下面证明是H的生成元,易见H，只要证明H中的任何元素都可以表成的整数次方，由除法可知存在q和r,使得l=qm+r,其中0rm-1,因此有=，因为是H中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出=证明完毕。4.6 若H是G的子群，x和y是G的元素，试证或为空，或4.7 若H是G的子群,|H|=k,试证： |xH|=k 其中xG. 证明：H是G的子群，xG |xH|k 如果|xH|k,则必存在a,bH,使得xa=xb, 因为且xG所以存在逆元 x-1xa=x-1xb a=b |H|k 又|H|=k |xH|=k.4.8 有限群G的阶为n，H是G的子群，则H的阶必除尽G的阶。答案：已知|G|=n, |H|mg(v1)是G中一个置换g(v2)是G中一个置换对于 g(v1)来说，乘以一个g(v2),由于g(v2)一个循环中元素个数最多不会超过g(v1)相当于，对于g(v2),可在G中找到对应的。所以，g(v1) g(v2) G此时，若 mn, g(v1),g(v2) X2、单位元 e =(1)(2)(3)(4)(m) mn e =(1)(2)(3)(4)(n) mn3、显然满足结合性。4、逆元，g(v) , vX 这时(g,g)(v)-1=(g(v)-1（g,g）(v)=g(v) ,vX 这时(g,g)(v)-1=(g(v)-1因为 G，G都是群 ，所以vX ， v-1XvX v-1X得证。4.27 一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠子是红色的，3颗是蓝色的，其余两颗是绿色的，问有多少种装饰方案？1572346解：G: 1.单位元 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) 格式为，2.顺时针转动一个格 ( 1 2 3 4 5 6 7) 格式为 ，顺时针转动两个格，三个格六个格，所得的置换的格式都为，所以同格式的共轭类共有6个13. 不动，其余对折，得到置换(1)(2 7)(3 6)(4 5) 格式为，同理，其余六个珠子分别不动，又能得到六个置换，且所得的置换的格式都为，所以同格式的共轭类共有7个|G|=14.对应于= (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)，用两红三蓝两绿镶嵌可有=210种方案，在的作用下变为自身，对应于( 1 2 3 4 5 6 7)等6个格式的方案数为0，对应于格式的方案数为3！，故N=18种4.28 一个正八面体，用红蓝两色对6个顶点进行着色；用黄绿两种颜色对八个面进行染色，试求其中4个顶点为红色，两个顶点为蓝色，黄和绿的面