电力生产问题.doc

论文题目:电力生产问题摘要本论文旨在解决电力生产问题中为了满足供电需求的同时，通过调整各时段各发电机的供电功率和启动个数来找到最优成本。对于问题一，我们的目标函数是总成本，由固定总成本，边际总成本和启动总成本组成。在这里，我们设启动的台数、发电机相对于最小功率的超出量以及再次启动电机的台数为未知量；通过未知量，我们可以方便表示出目标函数，约束条件，利用Lingo软件，对以上非线性规划问题求解，可以求得各时段各型号发电机的超出总功率，及相应的启动台数和再次启动的台数，同时求出最小成本为146.4020万元,各时段各型号使用台数如下表：表一(各时段各型号使用台数)时段型号0-66-99-1212-1414-1818-2222-24型号10222220型号24444444型号33888886型号40313030对于问题二，只要满足发电总功率小于最大发电功率的80%即可，其在约束条件中可设限，目标函数与问题一相同，这样可以求出最小成本为156.5150万元，各时段各型号使用台数如下表：表二(各时段各型号使用台数)时段型号0-66-99-1212-1414-1818-2222-24型号10888551型号24444444型号31668884型号43313233 关键词： 非线性规划 启动台数 超出总功率一、问题重述为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。 表1：每日用电需求（兆瓦）时段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。表2：发电机情况可用数量最小输出功率（MW）最大输出功率（MW）固定成本（元/小时）每兆瓦边际成本（元/小时）启动成本型号110750175022502.75000型号241000150018002.21600型号381200200037501.82400型号431800350048003.81200只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。问题（1） 在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题（2） 如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？二、模型假设假设1：发动机发电过程中不发生任何故障。假设2：发电机的功率在每个时段开始启动后的值为定值。假设3：发电机的发电量在传输过程中没有损耗。假设4：发电机自身及之间的摩擦不消耗功率。假设5：某时段单类型工作中的发电机发电功率相同。三、符号说明符号符号说明各时间段发电机的型号时段型发电机所有的超出总功率时段型发电机的工作台数时段型发电机的工作台数型发电机的总数量型发电机的最小功率型发电机的最大功率时间段的时间型发电机每小时固定成本型发电机每兆瓦边际成本时段型号发电机再次开启的台数型发电机的启动成本时段的用电需求量型号发电机最大最小功率差四、问题分析此题研究的是在满足每日电力需求的情况下，对每日每个时段的各种型号的发电机作出合理安排，根据各种型号的发电机的固定成本、每兆瓦边际成本和启动成本建立数学模型使每天的总成本最小。针对问题一：本题中将一天分为七个时间段，每个时间段都有规定的电力需求量，有四个发电机可供选择发电。根据每时段电力的需求量、不同型号发电机的可用数量、最小输出功率、最大输出功率及每台型号发电机的固定成本、每兆瓦边际成本、启动成本等条件确定其发电机的数量和输出功率以达到总成本最小。而每天的总成本由固定成本、每兆瓦的边际成本及启动成本组成。1）固定成本是不同型号发电机工作于最小功率状态时固定的每小时成本，即固定总成本为i时间段的时间、j型号发电机在i时间段使用的数量及j型号发电机每小时的固定成本三者之积的累积和。2）边际成本是功率高于最小功率时，超出部分的功率每兆瓦每小时的成本，即i时间段的时间、j型号超出最小输出功率的所有功率及j型号发电机每兆瓦边际成本四者之积的累积和。3）启动总成本是在每时间段开始时启动发电机的成本，即i时段j型号发电机再次启动数量和j型号发电机的启动成本之积的累积和。当i时间段所用的j型号发电机数量比i-1时间段所用数量少时，即i时间段j型号发电机不存在启动成本。确定每天的最小总成本，对各时段各机型的台数及功率有一定的约束条件。1）再次启动的台数为后一台启动台数与前一段启动台数之差，或者为0；2）第i时段j型号发电机开启的数量等于第i时段j型号发电机使用数量；3）j型号所有使用发电机的最小输出功率和超出功率等于i时段的用电需求量；4）i时段j型号的使用台数要小于等于可提供的最大台数;5）j型号发电机所有超出的功率小于等于j型号发电机使用台数与最大功率差之积；6）j型号发电机的使用台数为整数；针对问题二：本题要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，即每台j型号发电机在第i个时间段所能发出的最大功率的80%要大于等于该时段这台发电机的输出功率。五、模型建立5.1模型一的建立：5.1.1 目标函数 目标函数由固定总成本、边际总成本和启动总成本组成。固定总成本W： W=其中、分别表示i时段的长度、i时段j型电机的启动台数、j型电机的单位固定成本。边际总成本X：X= 其中、分别表示i时段长度、i时段j型电机超出最低功率的总功率、单位边际成本。启动总成本Y：Y=其中、分别表示j型电机的启动成本、再次启动电机数目。目标函数最小总成本5.1.2 约束条件1）再次启动的台数为后一台启动台数与前一段启动台数之差，或者为0；2）第1时段j型号发电机开启的数量等于第1时段j型号发电机使用数量；3）j型号所有使用发电机的最小输出功率和超出总功率等于i时段的用电需求量； 4）i时段j型号的使用台数要小于等于可提供的最大台数且不小于0;5）j型号发电机所有超出的功率小于等于j型号发电机使用台数与最大最小功率差之积且不小于0； 6）j型号发电机的使用台数为整数；综上所述，问题一的最优化模型是5.2 模型二的建立本题要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，即发电机组在第i个时间段所能发出的最大总功率的80%要大于等于该时段的用电需求。所以模型二的目标函数与模型一相同，只是改变其约束条件。列出目标函数和约束条件如下：六、模型求解6.1 模型一的求解对于模型一，我们用lingo软件求解，分析结果发现任一时段任一型号发电机的发电功率都介于最大值和最小值之间，满足条件，于是得到满足条件的最低总成本为146.4020万元。根据Lingo软件计算得到的第i时段型号为j的几个发电机超出的总功率和第i时段j型号发电机的使用数量。各个时段各种型号几个发电机超出的总功率及对应的发电机数量如下表一所示：时 段型号1型号2型号3型号4输出功率数量输出功率数量输出功率数量输出功率数量0-6001500420003006-9175021500420008216639-12750214254200081800112-141750215004200083500314-181500215004200080018-221300215004200081800322-24001500420006006.2 模型二的求解根据问题一的模型，我们已经求出了在满足每日电力需求的条件下，用四类不同型号的发电机在一天的七个时段进行电力生产，使总成本达到最小，而问题二要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。故在第一问的目标函数保持不变的情况下，应再改变一个约束条件，即第i个时段每台发电机所能输出地最大总功率的80%应大于等于这台发电机的输出功率。然后用Lingo软件求解，分析计算结果得到满足约束条件的最低总成本为156.5150万元。时 段型号1型号2型号3型号4输出功率数量输出功率数量输出功率数量输出功率数量0-60012004160011866.736-91400812004160062133.339-12750810004160061800112-141400812004160082400314-18760512004160081800218-221454512004160081800322-2414001120041600418003七、结果分析7.1模型一结果分析各时段各型号使用台数如下表 型号1使用台数较少，可适当减少数量；型号2，型号3使用台数较多，需要准备备用机器防止影响电量供应；型号4使用台数波动较大。7.2模型二结果分析各时段各型号使用台数如下表型号1在614使用较多，型号3在1222使用较多，在相应时段需要备用电机；型号2所有时段均全部使用，需要时常维修及准备备用电机；型号4在189时段全部使用，需准备备用电机。 八、模型的评价与改进8.1模型评价优点：（1）将启动台数，超出总功率，以及再次启动台数作为未知量，使得目标函数及约束条件的表达更简单及直白，更直接。 （2）对于约束条件的建立，我们综合考虑了各种情况，使约束条件达到了具体化全面化。 （3）根据题目的要求我们确立了三个指标，即固定总成本、边际总成本、启用总成本，以上三项总成本之和即为总成本，通过对三项总成本的逐项分析，建立了最优的目标函数。缺点：在约束条件中，再次启动的台数没有限制其为整数，其约束条件有待完善; 8.2模型改进（1）所建模型假设了发电机的功率在时段初调整好后在那个时段内保持不变，如果在每个时段，发电机的功率在满足约束条的情况下为可变的，则可以根据实际情况做不同调整，使模型更实际化。（2）所建模型是在发电机无故障的条件下建立的，如果考虑发电机随使用时间的增加，在不同的时间段（譬如以月为时间段单位）需要不同的检修费用，再把检修费用平分到每一天，将此检修费用也算作总成本的一部分。增加约束条件，使模型更精准优化。8.3模型推广我们建的模型不仅适用于电力生产，也适用于其它方面的生产，也可用于产销平衡问题，选址问题，值班问题等等。九、参考文献1.matlab线性规划教程 南京理工大学2数学模型与LINGO软件 西南交通大学数学系3.LINGO快速入门 广西大学数学与信息科学学院 韦琳娜著 附录一模型一源代码：model:sets:!定义集;time/1.7/:f,n;style/1.4/:c,d,g,h,m,p;LINKS(time,style):b,a,l;ENDSETSDATA:!各时段时间;f=6,3,3,2,4,4,2;!需求量;n=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;!可用数量;c=10,4,8,3;!最小输出功率;d=750,1000,1200,1800;!固定成本;g=2250,1800,3750,4800;!边际成本;h=2.7,2.2,1.8,3.8;!启动成本;m=5000,1600,2400,1200;!最大功率差;p=1000,500,800,1700;enddata!目标函数为固定成本，边际成本与启动成本之和;min=sum(links(i,j)|i#LE#7:g(j)*f(i)*b(i,j)+h(j)*f(i)*a(i,j)+m(j)*l(i,j);!约束条件；!在启动台数为后一时段启动台数减去前一时段启动台数或者为0;FOR(time(i)|i#ge#2:for(style(j):l(i,j)=smax(b(i,j)-b(i-1,j),0);!在第一个时段在启动台数等于启动台数;for(style(j):l(1,j)=b(1,j);!最小输出功率与启动台数之积加上超出功率等于需求量;FOR(time(i):SUM(style(j):d(j)*b(i,j)+SUM(style(j):a(i,j)=n(i);!启动台数小于可用数量;FOR(time(i):for(style(j):b(i,j)=c(j);!超出总功率小于台数与最大功率差之积;FOR(time(i):for(style(j):a(i,j)=b(i,j)*p(j);!使启动台数为整数;for(links(i,j):gin(b(i,j);END程序部分运行结果： Local optimal solution found. Objective value: 1464020. Extended solver steps: 24 Total solver iterations: 2704 Variable Value Reduced Cost B( 1, 1) 0.000000 -3177.500 B( 1, 2) 4.000000 0.000000 B( 1, 3) 3.000000 0.000000 B( 1, 4) 0.000000 -426.0000 B( 2, 1) 2.000000 0.000000 B( 2, 2) 4.000000 0.000000 B( 2, 3) 8.000000 0.000000 B( 2, 4) 3.000000 0.000000 B( 3, 1) 2.000000 0.000000 B( 3, 2) 4.000000 0.000000 B( 3, 3) 8.000000 2370.000 B( 3, 4) 1.000000 1320.000 B( 4, 1) 2.000000 0.000000 B( 4, 2) 4.000000 0.000000 B( 4, 3) 8.000000 0.000000 B( 4, 4) 3.000000 0.000000 B( 5, 1) 2.000000 0.000000 B( 5, 2) 4.000000 0.000000 B( 5, 3) 8.000000 0.000000 B( 5, 4) 0.000000 -1440.000 B( 6, 1) 2.000000 0.000000 B( 6, 2) 4.000000 0.000000 B( 6, 3) 8.000000 0.000000 B( 6, 4) 3.000000 960.0000 B( 7, 1) 0.000000 607.5000 B( 7, 2) 4.000000 0.000000 B( 7, 3) 6.000000 0.000000 B( 7, 4) 0.000000 258.0000 A( 1, 1) 0.000000 0.6300000 A( 1, 2) 2000.000 0.000000 A( 1, 3) 2400.000 0.000000 A( 1, 4) 0.000000 7.230000 A( 2, 1) 2000.000 0.000000 A( 2, 2) 2000.000 0.000000 A( 2, 3) 6400.000 0.000000 A( 2, 4) 1100.000 0.000000 A( 3, 1) 0.000000 1.500000 A( 3, 2) 1700.000 0.000000 A( 3, 3) 6400.000 0.000000 A( 3, 4) 0.000000 4.800000 A( 4, 1) 2000.000 0.000000 A( 4, 2) 2000.000 0.000000 A( 4, 3) 6400.000 0.000000 A( 4, 4) 5100.000 0.000000 A( 5, 1) 1500.000 0.000000 A( 5, 2) 2000.000 0.000000 A( 5, 3) 6400.000 0.000000 A( 5, 4) 0.000000 4.400000 A( 6, 1) 1100.000 0.000000 A( 6, 2) 2000.000 0.000000 A( 6, 3) 6400.000 0.000000 A( 6, 4) 0.000000 4.400000 A( 7, 1) 0.000000 0.2100000 A( 7, 2) 2000.000 0.000000 A( 7, 3) 4800.000 0.000000 A( 7, 4) 0.000000 2.410000 L( 1, 1) 0.000000 5000.000 L( 1, 2) 4.000000 0.000000 L( 1, 3) 3.000000 0.000000 L( 1, 4) 0.000000 1200.000 L( 2, 1) 2.000000 0.000000 L( 2, 2) 0.000000 1600.000 L( 2, 3) 5.000000 0.000000 L( 2, 4) 3.000000 0.000000 L( 3, 1) 0.000000 5100.000 L( 3, 2) 0.000000 1600.000 L( 3, 3) 0.000000 2400.000 L( 3, 4) 0.000000 1200.000 L( 4, 1) 0.000000 3300.000 L( 4, 2) 0.000000 1600.000 L( 4, 3) 0.000000 2400.000 L( 4, 4) 2.000000 0.000000 L( 5, 1) 0.000000 6800.000 L( 5, 2) 0.000000 1600.000 L( 5, 3) 0.000000 2400.000 L( 5, 4) 0.000000 1200.000 L( 6, 1) 0.000000 5900.000 L( 6, 2) 0.000000 1600.000 L( 6, 3) 0.000000 2400.000 L( 6, 4) 3.000000 0.000000 L( 7, 1) 0.000000 5000.000 L( 7, 2) 0.000000 1600.000 L( 7, 3) 0.000000 2400.000 L( 7, 4) 0.000000 1200.000 附录二模型二源代码：model:sets:!定义集;time/1.7/:f,n;style/1.4/:c,d,g,h,m,p;LINKS(time,style):b,a,l;ENDSETSDATA:!各时段时间;f=6,3,3,2,4,4,2;!需求量;n=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;!可用数量;c=10,4,8,3;!最小输出功率;d=750,1000,1200,1800;!固定成本;g=2250,1800,3750,4800;!边际成本;h=2.7,2.2,1.8,3.8;!启动成本;m=5000,1600,2400,1200;!最大功率差;p=1000,500,800,1700;enddata!目标函数为固定成本，边际成本与启动成本之和;min=sum(links(i,j)|i#LE#7:g(j)*f(i)*b(i,j)+h(j)*f(i)*a(i,j)+m(j)*l(i,j);!约束条件；!在启动台数为后一时段启动台数减去前一时段启动台数或者为0;FOR(time(i)|i#ge#2:for(style(j):l(i,j)=smax(b(i,j)-b(i-1,j),0);!在第一个时段在启动台数等于启动台数;for(style(j):l(1,j)=b(1,j);!最小输出功率与启动台数之积加上超出功率总和等于需求量;FOR(time(i):SUM(style(j):d(j)*b(i,j)+SUM(style(j):a(i,j)=n(i);!启动台数小于可用数量;FOR(time(i):for(style(j):b(i,j)=c(j);!超出功率小于台数与最大功率差之积;FOR(time(i):for(style(j):a(i,j)=b(i,j)*p(j);!实际功率的输出量要小于最大输出量的80%;for(time(i):for(style(j):d(j)*b(i,j)+a(i,j)=b(i,j)*(d(j)+p(j)*0.8);!使启动台数为整数;for(links(i,j):gin(b(i,j);END程序部分运行结果： Local optimal solution found. Objective value: 1565150. Extended solver steps: 48 Total solver iterations: 3995 Variable Value Reduced Cost B( 1, 1) 0.000000 -7890.000 B( 1, 2) 4.000000 0.000000 B( 1, 3) 1.000000 -9660.000 B( 1, 4) 3.000000 0.000000 B( 2, 1) 8.000000 1125.000 B( 2, 2) 4.000000 0.000000 B( 2, 3) 6.000000 -2430.000 B( 2, 4) 3.000000 0.000000 B( 3, 1) 8.000000 0.000000 B( 3, 2) 4.000000 0.000000 B( 3, 3) 6.000000 2370.000 B( 3, 4) 3.000000 0.000000 B( 4, 1) 8.000000 0.000000 B( 4, 2) 4.000000 0.000000 B( 4, 3) 8.000000 0.000000 B( 4, 4) 3.000000 0.000000 B( 5, 1) 5.000000 0.000000 B( 5, 2) 4.000000 0.000000 B( 5, 3) 8.000000 600.0000 B( 5, 4) 2.000000 -1440.000 B( 6, 1) 5.000000 0.000000 B( 6, 2) 4.000000 0.000000 B( 6, 3) 8.000000 0.000000 B( 6, 4) 3.000000 0.000000 B( 7, 1) 1.000000 187.5000 B( 7, 2) 4.000000 0.000000 B( 7, 3) 4.000000 0.000000 B( 7, 4) 3.000000 0.000000 A( 1, 1) 0.000000 0.000000 A( 1, 2) 800.0000 0.000000 A( 1, 3) 400.0000 0.000000 A( 1, 4) 200.0000 0.000000 A( 2, 1) 5200.000 0.000000 A( 2, 2) 800.0000 0.000000 A( 2, 3) 2400.000 0.000000 A( 2, 4) 1000.000 0.000000 A( 3, 1) 0.000000 2.700000 A( 3, 2) 0.000000 1.200000 A( 3, 3) 2400.000 0.000000 A( 3, 4) 0.000000 6.000000 A( 4, 1) 5200.000 0.000000 A( 4, 2) 800.0000 0.000000 A( 4, 3) 3200.000 0.000000 A( 4, 4)