矩阵复习题.pdf

课堂练习讲解课堂练习讲解 1 1 计算行列式计算行列式 解解一一 将行列式按第将行列式按第 2 2 列和第列和第 3 3 列展开列展开 解解二二 将行列式按第将行列式按第 3 3 行和第行和第 5 5 行展开行展开 2 2 设 设 计 计 算算 与与 P21P21 第第 5 5 题类似题类似 解解一一 所以所以 解解二二 1 1 计算行列式计算行列式 解解一一 将行列式按第将行列式按第 2 2 行 第行 第 3 3 行和第行和第 4 4 行展开行展开 P31 P31 第第 1 31 3 题题 2 2 当 当 为何值时下面为何值时下面行列式行列式不为不为 0 0 第第 1 1 章第章第 5 5 节课的补充例子节课的补充例子 解一解一 当当 且且 时行列式值不时行列式值不 为为 0 0 练习中的错误练习中的错误 请分析下面计算的错误请分析下面计算的错误 第第 3 3 章章 矩阵矩阵 矩阵矩阵运算运算复习复习 第第 2 2 节课的重点和难点是矩阵的节课的重点和难点是矩阵的 乘法和求逆 下面再回顾一下矩阵的乘乘法和求逆 下面再回顾一下矩阵的乘 法和逆矩阵的定义 法和逆矩阵的定义 定义定义 3 1 33 1 3 矩阵的积矩阵的积 其中其中 注意 矩阵的乘法不满足交换率注意 矩阵的乘法不满足交换率 定义定义 3 2 13 2 1 逆矩阵逆矩阵 设设 是是 阶方阵 若存在阶方阵 若存在 阶方阵阶方阵 使得使得 则称 则称 为可逆矩阵 为可逆矩阵 为的一个为的一个逆矩阵逆矩阵 记为 记为 由定义可知 由定义可知 定理定理 3 2 13 2 1 是是 阶方阶方阵阵 可逆可逆 当当 可逆时 有可逆时 有 伴随伴随 矩阵矩阵 对于任意的对于任意的 阶方阵 有阶方阵 有 1 1 各种相似公式归类一各种相似公式归类一 1 11 1 矩阵行列式矩阵行列式 假设假设 是方阵是方阵 假设假设 是是同阶同阶方阵方阵 假设假设 是同阶方阵是同阶方阵 假设假设 是方阵是方阵 1 21 2 转置矩阵转置矩阵 假设假设 是同形矩阵是同形矩阵 假设假设 是方阵是方阵 1 31 3 伴随矩阵伴随矩阵 假设假设 是方阵 是方阵 不必要求不必要求 可逆可逆 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设 假设 是同阶方是同阶方阵阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 1 41 4 可逆矩阵可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 则 则 2 2 各种相似公式归类各种相似公式归类二二 假设假设 是是同阶同阶方阵方阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是是同阶同阶方阵方阵 在在 可逆的情况下可逆的情况下 P90P90 习题习题 1010 要求证明该公式要求证明该公式 假设假设 是同阶可逆矩阵是同阶可逆矩阵 假设假设 是是 阶方阵阶方阵 假设假设 是可逆矩阵 且是可逆矩阵 且 假设假设 是方阵是方阵 假设假设 是是 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是方阵是方阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是方阵 是方阵 不必要求不必要求 可逆可逆 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 3 3 容易记容易记错错的公式的公式 假设假设 是方阵是方阵 假设 假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 假设假设 是可逆矩阵是可逆矩阵 4 4 容易用错的公式容易用错的公式 或或 若若 且 且 不能导出必 不能导出必 有有 不 一 定不 一 定 成立成立 不 一 定不 一 定 成立成立 举例举例 补充例题补充例题 1 1 设设 为为 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵 且且 证明 证明 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 计算计算 证明证明 因为因为 为为 阶可逆矩阵 则根据阶可逆矩阵 则根据 可得可得 1 1 2 2 3 3 4 4 或或 解解 5 5 根据根据 2 2 和和 1 1 可得可得 或或 补充例题补充例题 2 2 设设 为为 3 3 阶方阵 阶方阵 计算 计算 解解 利用利用 补充例题补充例题 3 3 设设 为为 阶 方 阵 且阶 方 阵 且 求 求 解解 因为因为 则 则 移项得移项得 所以 所以 补充例题补充例题 4 4 设设 为为 阶方阵 阶方阵 为奇数 且为奇数 且 求 求 解解 因为因为 则 则 又因为又因为 为为奇数 则奇数 则 移项得移项得 所以 所以 补充例题补充例题 5 5 设设 维行向量维行向量 矩阵矩阵 其 其 中中 为为 阶单位矩阵 求阶单位矩阵 求 解解 因为因为 故故 矩阵在矩阵运算中的特矩阵在矩阵运算中的特 性与数相似 但并不完全相性与数相似 但并不完全相 同 例如同 例如 假 假设设 是常数是常数 但但 因为因为 没有意义没有意义 补充例题补充例题 6 6 设设 为为 阶 方 阵 且 满 足阶 方 阵 且 满 足 及 及 证 证明明 证证 因为因为 则 则 以因为以因为 则 则 从而从而 由由 两边右乘两边右乘 得得 由由 两边左乘两边左乘 得得 所以所以 再由再由 得得 补充例题补充例题 7 7 已知实矩阵已知实矩阵 满足满足 1 1 其中 其中 为为 的代数余子式的代数余子式 2 2 计算行列式计算行列式 解解 因为因为 则 则 所以所以 因为 因为 则 则 两边取行列式得两边取行列式得 所以所以 或或 将将 行列式按行列式按 第第 1 1 行展开得 行展开得 又因为又因为 且且 是是实矩阵实矩阵 所以 所以 因此 因此 思考思考 1 1 若若 的的阶阶数为数为 2 2 能求出能求出 吗 吗 2 2 若若 的的阶阶数数 能求出能求出 吗 吗 下面利用定理下面利用定理 3 2 13 2 1 证明第一证明第一 章的克拉默法则章的克拉默法则 可以用第一章的知识证明可以用第一章的知识证明克拉默克拉默 法则 法则 但证明比较麻烦 用第但证明比较麻烦 用第 3 3 章的知章的知 识证明 相对来说比较容易识证明 相对来说比较容易 定理定理 1 5 11 5 1 克拉默克拉默 Cramer Cramer 法则法则 设线性方程组设线性方程组 的系数行列的系数行列 则该方程有唯一解 则该方程有唯一解 其解为 其解为 其中 其中 若若 为某个数域 为某个数域 则解则解 均属于均属于 证明证明 线性方程组线性方程组可改写为可改写为 其中其中 为系数矩阵为系数矩阵 若若 则 则 可逆 在可逆 在 的两边左乘的两边左乘 得得 从而从而 即即 从而从而 下面证明解是唯一的下面证明解是唯一的 若若 和和 均为方程的解 均为方程的解 则则 从而从而 两边左乘两边左乘 得 得 有些同学对证明中用到的如下等式有些同学对证明中用到的如下等式 可能不理解 下面对之进一步说明 为可能不理解 下面对之进一步说明 为 了便于讨论 下面说明如下等式了便于讨论 下面说明如下等式 证明 证明 按第按第 列列 展开展开 再再回顾回顾第一章的第一章的补充例题补充例题 行列式行列式 求求 的值 的值 若记若记 分别为分别为 中元素中元素 的余子式和代数余子式 计算的余子式和代数余子式