关于数学分析和高等代数的认知实习报告.doc

关于数学分析和高等代数的认知实习报告 学生姓名：牛娜 班级：金数10-1 学号：1010110010 指导老师：胡丽萍 实习时间：2011.8.12011.10.1 通过一学年的学习，我对数学分析和高等代数有了一些最基本的认识，包括其概念，研究对象及领域。这两门课程都是相对比较抽象的学科，同样以微积分为基础。作为日益庞大的数学研究领域，名目繁多的分支里，数学分析，高等代数，解析几何成为众多分支所依托的主干，其重要性不言而喻。 在实习阶段，运用数学分析中微积分思想建立数学模型，用高等代数，微积分，偏微分方程这一方面的算法解决问题，往往能得到事半功倍的效果，实践期间，将理论与实践相结合，同时用实践验证所学理论知识，实习阶段虽短，但受益匪浅。1、 认知实习阶段：（1） 数学分析概述： 数学下属学科 数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。数学分析(Mathematical Analysis)是数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，但是与微积分有很大的差别。 微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展。柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”理论基础： 数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。数学分析研究对象：主要研究分析的是函数（为什么要研究分析函数呢，因为在现实世界和在科学研究中，我们必然遇到许多因素的变量，许多变量之间是有关联的，这些变量之间多数构成函数关系，要研究各种量之间的变化关系，自然归结为研究它们构成的函数关系，从而认识它的发展变化规律，达到发现认识规律把握规律利用规律的目的）。主要研究分析函数的变化规律和特性，例如，单调性，周期性，最大值，最小值，渐渐性，连续性，可微性，可积性，奇异性等。通过什么方式去研究分析函数的性质呢？通过运用极限（导数）工具去研究分析函数。极限又有数列的极限（级数）和函数的极限等（既有区别又有联系）。数学分析的基础是建立在实数理论之上，实数理论的深刻认识的建立靠的是极限理论。数学分析的学科地位：大致来讲，数学是由三大的分支组成：几何学（平面几何，立体几何，平面解析几何，空间解析几何，射影几何，非欧几何，微分几何等）；代数学（初等代数学，高等代数，抽象代数等）；分析学（微积分，实分析，复分析，Fourier分析，调和分析，逼近理论，实变函数，泛函分析，测度论，概率论，常微分方程，偏微分方程等）；几何学、代数学、分析学，它们有着各自的研究对象、内容和方法，同时又互相依赖和渗透。（就如三国演义中的魏蜀吴三国之间的关系发展变化一样）。数学分析（微积分）是整个分析学的最重要基础，具有重大的理论和应用价值，后继理论的发展研究，都离不开数学分析的理论知识方法。所以，打好坚实的数学分析基础对将来的发展，创新能力的提高，成为高素质可持续发展的人才，至关重要。(2) 高等代数概述初等代数从最简单的一元一次方程开始，初等代数课本一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步线性代数课本、多项式代数。研究对象：高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。2、 实践实习阶段 在做2010年全国高教杯全国大学生数学建模竞赛A题时，数学分析和高等代数发挥了很大的作用，提供了较好的算法与分析过程。关于储油罐的变位识别与罐容表标定问题，分别建立了小椭圆型储油罐及实际储油罐的变位识别模型。针对小椭圆型储油罐的变位识别问题，采用积分方法，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式并得到正常的罐容表标定。对于小椭圆型储油罐纵向倾斜变位问题，讨论了其截面是三角形和梯形两种情况，利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，给出了修正后的罐容表标定值，并与正常标定值进行比较。针对实际大储油罐的变位识别问题，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式，根据计算公式得到正常罐容表标定值。对于倾斜变位问题，用积分方法在不同油高下分别计算出球冠部分和中间圆柱体部分的油量，并求和给出大储油罐纵向倾斜变位后的修正公式。然后对储油罐横向偏转角度进行分析，给出横向偏转后实际油面高度与正常时油面高度的关系式。最后结合纵向倾斜角度及横向偏转角度参数公式推导得到罐内储油量与油位高度及两个变位参数间的函数式。结合附件二中所给数据，利用非线性最小二乘法通过遍历搜索算法求出纵向倾斜角度及横向偏转角度值，最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。（积分，数值积分，复化梯度法，非线性最小二乘法，罐容表，标定） 运用函数得到理论值，与数据中的值在同一图中用MATLAB进行拟合，更加直观地反映出数学规律，切实有效地解决了问题。 在实际生活中，高等代数里的矩阵往往发挥着很大的作用。用途十分广泛在质量和数量管理中常用矩阵图法解决以下问题： 把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点； 明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠； 明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率； 当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除； 在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。 另外，在表格、统计，如考试分数求和等方面也可以通过矩阵和矩阵图法来使各等式求解变得更为简单易行。由于矩阵中的元素清晰明了，使人一目了然，况且矩阵图中清晰的排列可以帮助工作者推算出相关的可能的关系式并延伸出各种结论，最后通过矩阵的排列能够减少运算难度以及运算的次数。MATLAB软件在大型数据处理中也发挥了很大的作用，减少了数据运算量，结果也更加精确与明了。例：在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律，测得一组数据如下表：T（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 y 4 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 T（分） 9 10 11 12 13 14 15 16 y 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6 分析： MATLAB 的表达形式如下：t=1:16; %数据输入y=4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;plot(t,y,o) %画散点图p=polyfit(t,y,2) %二次多项式拟合hold onxi=linspace(0,16,160); %在0,16等间距取160 个点yi=polyval(p,xi); %由拟合得到的多项式及xi，确定yiplot(xi,yi) %画拟合曲线图执行程序得到图2； 图2显示的结果为p=-0.0445 1.0711 4.3252p的值表示二阶拟合得到的多项式为：y= -0.0445t2+1.0711t+ 4.3252下面是用lsqcurvefit()函数，即最小二乘拟合方法的Matlab表达：t=1:16;y=4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6;x0=0.1,0.1,0.1;zuixiao=inline(x(1)*t.2+x(2)*t+x(3),x,t);x=lsqcurvefit(zui