2009年中国科技大学数学分析考研试卷解答.pdf

本文由 SCIbird 编辑 1 关于 2009 年中科大数学分析试题的评注 之前已经说过不再写试题解答了 一来没有那么多的时间和精力 二来也不想与小部分 人进行一些毫无技术含量的 解答专业不专业的 口头之争 这种没有技术含量的口舌 之争毫无意义 反而会使人远离数学 得不偿失 我本人十分厌恶毫无技术含量的空话 这 种习惯一旦养成 真的是后患无穷 不论你是不是数学专业的 下面是我对 09 年中科大数 学分析试题的一点评注 写的不是很详细 但关键地方都点到了 相信需要的人补充完整后 会有收获的 写成评注式的随笔风格比较灵活 但又不失重点 评注不同于解答 更侧重于 展现我的思维痕迹 说白了 就是我是怎么想的 没拆掉脚手架 这也许对大家更有帮助 感谢博士家园提供这个交流平台 感谢提供试题的热心网友 SCIbird 2009 年年 3 月月 28 日日 1 略 题目貌似有点问题 2 a 试问方程 2 sinxx 有几个根 说明理由 1 个根 跟去年的试题差不多 容易看出 0 是一个根 先考虑右半平面 当 0 1 x 时由单调性 22 sinsnnsii0 xxxx 显然在 1 上方程无解 对于左半平面容易知道无解 注 多画几个草图就行了 b 计算级数 0 111 214244 n nnn 的和 对这个类型题一般采用求 和函数 方法 将级数里面的通项通分合并 令 22 0 21 22 n n x f x nn 1 1 x 则 1 1 2 f为即所求 求导得到 0 0 0f f 及 2 2 0 1 1 n n fxx x 积分得到 0 2 111 ln 211 x x f xdx xx 1 0 11 1 lnln2 21 x fdx x 所以 1 ln2 2 为所求 注 其实计算过程还需要对导函数级数的端点进行讨论下 这里省略没写 3 设0 1 f 是单调递增的且0 1 f是闭集 证明 f x在0 1 上连续 注意到单调函数的间断点是第一类的 Why 这个有用的结论就不难找到突破口了 假设函数不连续 设 0 0 1 x 为其一个间断点 记 00 lim lim xxxx Af x Bf x 在 0 x两侧分别取单调递增列和单调递减列 满足 0 limlim nn nn abx 本文由 SCIbird 编辑 2 由函数的单调性 及0 1 f是闭集知道存在 a b 满足 nn f af aABf bf b nn aabb 的那些 n 也有 f n aa 时 n ba 则依集合 A 的定义有 0 nA 这与 0 maxnA 矛盾 命题得证 本文由 SCIbird 编辑 3 7 记 2 3 1 Sx y zxy z a 证明S在 内确定了一张隐式曲面 并求出在点111 附近的曲面参数方程 b 曲面S是否连通 是否紧致 说明理由 c 点qS q是q点到原点的距离 点p满足 inf q S pq 求p点的集合 本题让我有些费解 我觉得 2 3 1xy z 是显式曲面啊 即 2 3 1 xx y zy z 因为只要 y 和 z 固定了 x 就随之确定了 表达式也可求出 不知道 2 3 1 xu v yu zv 算不算参数 方程 至于紧致性 比较容易否定 因为无界 比如固定 y 让 x 任意大 调节 z 可任意小 曲面 也不是连通的 因为曲面在 y 0 这个平面出现间断 但平面两侧都有曲面的部分 x z 同号 未能连成一片 有点像双叶双曲面 直接求出inf q S q 就行了 我们尝试求出曲面到原点的最短距离 下面提供两种方法 方法方法 1 由已知得 24 6222 2 2 2222222 1 633222 432 1y zx y y z z zxyyzzxz 由均值不等式得到 6 222 222222222 6 666 432633222 6 xyz xyyzzzxyz 故最短距离为 21222 min432xyzr p点的集合为 3 R ppr 为一球面 方法方法 2 无比经典的条件极值中套路方法 拉格朗日乘数法 即令 2222 3 1 F x y zxyzxy z 然后在求偏导数 解方程组 注 套路方法是必须熟记在心的 这是基础 初等方法也要适当掌握 这样处理问题才能 灵活多变 8 证明恒等式 2 2 1 1 n nn e n 本题需要用到傅立叶变换理论 所谓傅立叶变换 可参考数理方程教材 即 i x ff x edxf F 如何看出本题涉及傅立叶变换理论呢 前提是你学过 主要有两点提示 一是级数中 n 的变化范围是从负无穷到正无穷 二是如果令 2 1 1 f x x 则 fe F 这是傅立叶变换中的一个很常见的结论 本文由 SCIbird 编辑 4 题目要求证明 2 nn ff nn 这实际上是泊松求和公式 为此 设 n g xf xn 0 1 x 则级数是一致收敛的 先求 g x的傅立叶展开式 注意到 g x是以 1 为周期的周期函数 其傅立叶系数为 2 1 2 00 1 n ixT inx T n cg x edxg x edx T 因为级数是一致收敛的 故可以逐项积分 11 22 00 inxinx n n cg x edxf xn edx 2 1 2 2 2 ix n inunn n n f x edf ueufnxed 所以 g x的傅立叶展开式为 22 2 2 nxnnx nn ii g xfeeen 注意到优级数 2 n n e 绝对收敛 g x连续 故其傅立叶级数收敛到自身 令0 x 得到 2 nn ff nn 或者 2 2 1 1 n nn e n 命题证毕 注 我们实际上是把泊松求和公式证了一遍 方法具有一般性 坦白说 我觉得科大这题出 的有点偏了 倘若没学过傅立叶分析方面的知识的话 是很难证出此题的 9 记 1 0 px edxpx 222 1 Sx y zxzy 试用 p 表示第一类曲面积分 22 S xdSy 其中1 本题需要一点小技巧 我们取球面的参数形式 sincos sinsin cosxyz 则 sindSd d 注意到被积函数和积分区域的对称性 故 1 2222 8 SS xdSxdySy 其中 1 S为第一卦限对应球面 本文由 SCIbird 编辑 5 221 222 000 sin4 1 8sinsin2 1 2 d dddB 再由 pq B p q pq 及 1 2 可知 22 2 1 3 2 S xdSy 一点后记 这套题是寒假做的 今天所幸打出来 试题总的感觉除第 8 题有点偏之外 整体还是不错的 计算和证明都有 知识点有琢头 可以挖掘下 值得推荐 关 于计算