中科大史济怀数学分析课件 137-138.pdf

244 13 7 多变量连续函数 13 7 多变量连续函数 定 义 13 16 定 义 13 16 设f是 非 空 点 集 n D 上 的 函 数 aD 若 0 0 使得 xDB a 成立 f xf a 则称f在a 处连续 或a是f的连续点 若f在D中的每个点处都连续 则称 f 在 D上连续 或 f 是D上的连续函数 D上连续函数的全体通常用 C D 表示 命题 1 在某点处连续的等价条件 命题 1 在某点处连续的等价条件 设 f 是非空点集 n D 上的函数 aD 若a是D的孤立点 则 f 必在a处连续 若a是D的极限点 则 f 在a处连续 lim xa f xf a 命题 2 命题 2 若多变量函数 f g都在a处连续 则 fg f g 也都在a处连 续 在附加上条件 g处处不取零值 后 f g 也在a处连续 命题 3 命题 3 若多变量函数f在a处连续 单变量函数g在 bf a 处连续 则gf 在a处连续 例 1 例 1 n 中有限点集上的任何函数都是连续函数 例 2 例 2 n 上n元多项式函数是连续函数 n元有理函数是其定义域上 的连续函数 例 3 代表性的例子 例 3 代表性的例子 1 22 22 0 0 0 0 0 x y x y f x yxy x y 在 2 上连 续 2 22 0 0 0 0 0 xy x y xyg x y x y 在 2 0 0 上连续 在 0 0 处不连续 证 证 这是因为 0 0 lim 0 x y f x y 0 0 lim x y g x y 不存在之故 定义 13 17 重要的概念 定义 13 17 重要的概念 设f是非空点集 n D 上的函数 若 0 0 使得 x yD xy 成立 f xf y 则 245 称f在D上一致连续 或f是D上的一致连续函数 显然 若f是D上 的一致连续函数 则f一定是D上的连续函数 反之则可能不正确 注记13 1注记13 1 7 函数f在D上不一致连续0 和 ii xyD 使 得lim0 ii i xy 并且 ii f xf y i 例 4例 4 22 xy g x y xy 在 2 0 0 上连续 但不一致连续 解 解 1 111 111 lim 0 0 0 2 i gg i iii ii 定理 13 22定理 13 22 n 中紧致集D上的连续函数f一定在D上一致连续 证 证 利用D的列紧性反证 假定连续函数f不一致连续 即0 和 ii xyD 使得lim0 ii i xy 并且 ii f xf y i 取 i x的一个子列 i k x收敛于aD 则 i k y也收敛于aD 从而 0 lim 0 ii kk i f af af xf y 得到矛盾 定理 13 23定理 13 23 若 n D 是紧致集 f是D上的连续函数 则 f D是 中的紧致集 作为推论 f在D上有界 证 证 只需证 f D列紧 ii yf DxD 使得 ii yf xi 取 i x的子列 i k x收敛于aD 则 ii kk yf x 收敛于 f af D 这说明 f D是 中的列紧集 定理 13 24 最大值和最小值的可达性 定理 13 24 最大值和最小值的可达性 若 n D 是紧致集 f是D 上的连续函数 则必 a bD 使得 min x D f af x max x D f bf x 作为推论 f在D上有界 证 证 利用D的列紧性易知 定理 13 25 和 13 26 定理 13 25 和 13 26 若 n D 是连通点集 f是D上的连续函数 则 f D是 中的区间 作为推论 f在D上具有介值性 246 证 证 对于任意非空无交并分解 f DAB 能得到另一个对于任意 非空无交并分解 11 DfAfB 于是 11 fAfB 和 11 fAfB 至少有一个非空 不妨设 1 afA 是 1 fB 的极 限点 则 1 i xfB 收敛于a 故 i f xB 收敛于 f aA 从而 AB 这说明 f D连通 练习题 13 7 练习题 13 7 100 P 1 2 阅读 3 4 5 6 问 题 13 7 问 题 13 7 102 P 1 阅读 2 3 247 13 8 连续映射 13 8 连续映射 定义在 定义在 n 中非空点集上的映射 中非空点集上的映射 若 n D 是非空点集 则映射 m fD 便自动地确定了D上的m个n元函数 1 2 k fkm 满 足 12 m f xf xfxfxxD 反之 也能用D上的m个n元函数 1 2 k fkm 来定义一个映射 m fD 其中 12 m f xf xfxfxxD 通常可将映射 m fD 记成 12 m f xf xfxfxxD 定义 13 18定义 13 18 设f是从非空点集 n D 到 m 的映射 a是D的极限 点 m p 是固定点 若0 0 使得 0 xDxa 成 立 f xp 则称当xa 时 f x趋向于p 或称当xa 时f有 极限p 或称当xa 时f以p为极限 或称f在a处有极限p 当 xa 时f有极限p 这件事用数学符号表示成 lim xa f xp 或 f xp xa 定义 13 1定义 13 1 8 lim xa f xp BpB a 使得 x DB aa 成立 f xBp 定理 13 27定理 13 27 1212 lim mm xa f xf xfxppp lim 1 2 kk xa f xpkm 证 证 1 1 2 m kkii i fxpf xpf xpkm 定理 13 28 映射极限的线性运算和内积运算 定理 13 28 映射极限的线性运算和内积运算 设 f g是从非空点 集 n D 到 m 的映射 a是D的极限点 是常数 若 lim lim xaxa f xpg xq 则 248 1 lim xa f xg xpq 2 lim xa f xg xp q 证 证 略 定义 13 19定义 13 19 设f是从非空点集 n D 到 m 的映射 aD 若 0 0 使得 xDBa 成立 f xf a 则称f在 a处连续 或a是f的连续点 若f在D中的每个点处都连续 则称f 在D上连续 或f是从D到 m 的连续映射 定 义 13 1定 义 13 1 9 映 射f在a处 连 续 Bf aBa 使 得 x DB a 成立 f xBf a 命题 命题 映射 12 m ffff 在a处连续 每个函数 k f在a处连 续 1 2 km 定理 13 29定理 13 29 若 n D 是非空开 闭 集 则映射 m fD 连续 开 闭 集 1 m GfG 是 n 中的开 闭 集 证 证 当D是开集时 证明很容易 这里仅证D是闭集的情形 aD 要 证f在a处 连 续 1 0 cfBf a 是 闭 集 1 cafBf a 故0 使得 1 cBafBf a 于 是 f DB aBf a 这说明f在a处连续 设f是连 续映射 反证法 假定 m G 是闭集 而 1 fG 不是闭集 则存在 1 i xfG 收敛于 1 afG 注意 D是闭集确保了aD 于是 i f xG 收敛于 f aG 这与G是闭集相矛盾 注记注记 有关多变量函数极限和连续的全部概念和结论 除去涉及到 次序 的那些 都能推广到多变量映射 定理13 30定理13 30 若f是从非空紧致集 n D 到 m 的连续映射 则f在D 上一致连续 249 定理 13 31 定理 13 31 若f是从