天津大学10112工科数学分析第一阶段考试试卷答案.pdf

2010 2011 学年第 2 学期第一阶段考试试卷 工科数学分析 答案 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 4 分 共分 共 20 分 请把正确的答案填在每题中的横线上方 分 请把正确的答案填在每题中的横线上方 1 设 22 yxyxyxf 则 3 4 x f 2 5 2 2 sin y x yxf 在点 0处的全微分d 1 0 1 f dx 3 函 数在 点处 的 沿 从 点到 点 y xz 2 e 0 1 P 0 1 P 1 2 Q方 向 的 方 向 导 数 为 1 2 4 则 qp byaxz p q pq z xy p q 5 2 0 0 lim x y y xy 不存在 二 单项选择题 每小题二 单项选择题 每小题 4 分 共分 共 12 分 请把正确选项填入题后的括号内 分 请把正确选项填入题后的括号内 1 函数 f x y在点 00 xy连续是二重极限存在的 A A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2 00 f x y xyy C A y yxfyyxxf y lim 0000 0 B x yxfyxxf x lim 0000 0 C y yxfyyxf y lim 0000 0 D y yyxf y lim 00 0 3 下列命题正确的是 B A 两个累次极限存在且相等 则二重极限必存在 B 重极限与累次极限均存在 则它们必相等 C 重极限存在 则累次极限一定存在 D 重极限不存在 则累次极限也不存在 1 三 计算下列各题 每小题三 计算下列各题 每小题 7 分 共分 共 49 分 分 1 设具 有 连 续 偏 导 数 且 yxf 1 1 1 1 1 2 1 1 3 xy fff 如 果 xx xfxf 求 1 解 dxffdy x x y xx y x dxxydx 其中 y xf x x dy xff x xx dxxy x 由于 以 1 1 1 1yf 1x 代入上述等式 得到 1 1 1 1 1 xy ff 1 1 1 1 xy ff 17 2 设 2 0 d xy t f x yet 求 2 22 2 2 2 y f x y yx f x f y x 解 22 x y f ye x 22 x y f xe y 22 2 3 2 2 x y f xy e x 2222 2 22 2 x yx f ex y e y x y 22 2 3 2 2 x y f x ye y 所以 2 22 2 2 2 y f x y yx f x f y x 22 2 yx e 3 在马鞍面xyz 上求一点 使得这一点的法线与平面093 zyx垂直 并写出此 法线的方程 解 马 鞍 面 的 法 向 量 1 y x 与平 行 所 以 1 3 1 1 131 yx 即 于 是 该 点 为 31 3 3yxzxy 1 3 在 该 点 处 的 法 线 方 程 为 3 1 3 1 3 zyx 4 设 vuxfw zygu yxhv 求 z w y w x w 解 wffv xxv x xvx ff h wfufv yuyvy uyvy f gf h uz wfu f g zuz 2 5 已知可微 求 zf xy xyf u v 2 zz xx y 解 x z yff 21 y z xff 21 2212211 2 xyffyxff yx z 6 求的极值 2244 2 yxyxyxyxf 解 先求驻点 由 两式相减 可解得 3 3 422 422 x y fxxy fyxy 0 0 0 1xy 即驻点为 三点 再由 0 0 1 1 1 1 2 122 xx fx 2 xy f 2 122 yy fy 可知 22 4 61 61 4Hxy 驻点 满足 所以是极值点 再根据 1 1 1 1 0H xx f的符号 可知函数在 两点取极小值 1 1 1 1 2 在点 有 且 0 0 0H 0 0 0f 由于 22 2 2 f x xxx 4 2f xxx 可 知函数在点附近变号 所以不是极值点 0 0 0 0 7 设 椭 球 面上 点处 指 向 外 侧 的 法 向 量 为n 求 函 数632 222 zyx 1 1 1 P z y 22 8 x u 6 在点P处沿方向的方向导数 n 解 曲面的单位法向量为 4 6 2 4 6 2 xyz xyz n 将点的坐标代入 得到 1 1 1 P 2 3 1 14 n 于是 函数在点处沿方向n的方向导数为 uP 68 2 3 1 1 14 7141414 uuuu nxyz n 1 yxfz 四 计算下列各题 第四 计算下列各题 第 1 题题 10 分 第分 第 2 题题 9 分 共分 共 19 分 分 1 设具有二阶连续偏导数 写出 2 2 2 2 y z x z 在坐标变换 xyv yxu 2 22 下的表达式 解 zzuzv xuxv x 22 zz xy uv 222 v 22 22 zzzuz x xuuxv u x 22 2 2 zuz v y u vxvx 3 22 22 22 2484 zzz xxyy uuv u 2z v zzuzv yuyv y 22 zz yx uv 222 v y 22 22 zzzuz y yuuyv u 22 2 2 zuzv x u vyvy 22 22 22 2484 zzz yxyx uuv u 2z v 2 由于 所以 22422422 2 uvxx yyxy 2 2 2 2 y z x z 22 22 22 4 zz xy uv 4 2 2 2 2 22 v z u z vu 2 原点到曲线 22 1 xyz xyz 的最大距离和最小距离 解 设P x y z 为曲线上任意点 则目标函数为 222 zyxzyxd 约束条件 为 22 1 xyz xyz 建立拉格朗