数学分析考试试题.pdf

武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2004 2005 学年第一学期 数学分析 考试试卷 A 卷 考试时间 20050110 120 分钟 考试形式 闭卷 一 概念题 给出下列概念的定义 每题 3 分 共 9 分 1 数集 A 的上确界 2 函数在区间 a b 一致连续 xf 3 区间套 二 计算下列极限 30 分 1 1 sin lim n n n 2 0 0 lim baba nnn n 3 321 1 21 1 1 1 lim n n 提示 可先考虑求和 4 1 sin 2cos1cos1 lim x ox ex x 提示 可先考虑等价无穷小 5 sin 11 lim 22 0 xx x 6 4 2 0 2 cos lim x ex x x 提示 可先考虑泰勒公式 三 计算下列函数的一阶或二阶导数 30 分 1 xxexf x arcsin ln 2 可微 2 xfefy xfx 3 2 2 dx yd eyxe xy 求 4 cos sin 2 2 tty ttx 5 设 其中二次可导 求 arctan xfy xf 2 2 dx yd 四 求解下列问题 20 分 1 若 01lim 2 baxxx x 求常数 a b 1 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2 求曲线 3 2 xy 在点 1 1 处的切线与坐标轴所围成的图形的面积 3 问常数 a b 取何值时 点 1 3 为曲线的拐点 23 bxaxy 4 求函数 32 1 xxy 的单调区间及其极值 五 11 分 叙述并用区间套定理证明有限 开 覆盖定理 六 20 分 设 证明 0 0 ba 3 2 3 2 3 1 1 0 ba x b x a x 2 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2004 2005 学年第一学期 数学分析 考试试卷 B 卷 考试时间 20050110 120 分钟 考试形式 闭卷 一 概念题 给出下列概念的定义 每题 3 分 共 9 分 1 数集 A 的下确界 2 函数在点处可微 xf 0 x 3 区间 a b 的开覆盖 二 计算下列极限 30 分 1 x x x x 1 1 lim 2 2 11 11 lim 3 0 x x x 3 122 limnnn n 4 xx xx n sin tan lim 0 提示 可先考虑洛必塔法则 5 xex xx x x 3sin 1 2 1ln 4 lim 2 2 0 提示 可先考虑等价无穷小 三 计算下列函数的一阶或二阶导数 30 分 1 xx tgx xe y x ln 1 sin 2 求 y 2 设 2 1 5 3 1 2 4 2 4 5 xx xx y 求 提示 可考虑用对数求导法 4 x y 3 t t y t t x 1 1 1 求 dx dy 4 xfxfy 22 sinsin 其中 xf可导 求 y 5 若存在 且 x f 2 xfy 求 2 2 dx yd 四 求解下列问题 20 分 1 确定 a 的值使曲线与 2 axy xyln 相切 2 设在点 2 2 1 2 xbx xax xf2 0 x处可导 求常数 ba 3 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 3 求函数 5 4 15 4 xxxf的极值 4 求曲线 0 3 2 3 2 3 2 aayx 在点 aa 4 2 4 2 处的切线方程 五 11 分 证明不等式 hh h h h arctan 1 0 2 六 20 分 设函数是区间 0 1 上的可微函数 xf0 1 0 ff 当 时 10 证明 存在 1 0 使得1 4 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2004 2005 学年第二学期 数学分析 考试试卷 A 卷 考试时间 20050704 120 分钟 考试形式 闭卷 一 计算下列不定积分 16 分 1 dx x x xx 2 2 3 1 23 2 dx x x 2 sin cos21 二 求解下列各题 14 分 1 dxx e e 1 ln 2 xx dtt x x sin 1 lim 2 0 2 0 三 讨论无穷积分 0 1 1 2 p xx dx p 收敛性 8 分 四 求由曲线及所围成的平面图形的面积 8 分 xy 2 1 yx 五 研究函数项级数的一致收敛性 42 1 1 n x x n x 7 分 六 求函数 02 2 x f xx yxyx xyyx C 0 yxyx D 0 yxyx 10 重极限存在是累次极限存在的 A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 二 计算题计算题 每小题 8 分 共 48 分 1 求 2 计算 9 1 4 dxxf 2 0 2 12 dxxxf 0 2 22 1 dx xx 3 求极限 4 0 2 0 2 sin lim x dtt x x 4 计算 1 1 n n x n 的和函数并求 1 1 n n n 5 求的幂级数展开式 6 求 2 x e 22 2 0 0 lim yx yx y x 三 三 10 分 讨论 2 2 1 sin2 1 n nn n n x 的敛散性 四 证明题证明题 每小题 6 分 共 12 分 1 设在 a b 上 Riemann 可积 1x f 2 1 1 ndxxfxf x a nn 证明函数列在 a b 上一致收敛于 0 xfn 2 设在 a b 连续 证明 xf 00 sin 2 sindxxfdxxxf 并求 0 2 cos1 sin dx x xx 7 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2005 2006学年第一学期 数学分析 考试试卷 A 卷 考试时间 20060105 120分钟 考试形式 闭卷 一 填空题 每小题 3 分 共计 30 分 1 设实数则其 n 位过剩近似为 210nn aaaax n x 2 设 S 是 R 中的一个数集 若实数 满足条件 1 2 则称 为实数集 S 的上确界 记为 3 函数 1sin 22 2 x y是由函数 复合而成 4 极限 1 lim n n n a a 5 极限 x x x x 1 01 1 lim 6 曲线在点 处的法线方程为 3 xy 8 2 7 设函数 0 0 1 sin xa x x x xf m 在0 x处可导 则 am 8 设 n n dx yd xy则 1ln 9 函数 32 1xxy 的单调增区间为 单调减区间为 极大值为 10 设函数 xf在区间上具有 n 1 阶导数 ba 0 bax 则 xf在处带 Lagrange 型余项的 n 阶 Taylor 公式为 0 x 二 10 分 叙述 Lagrange 中值定理内容并证明之 三 求下列极限 每小题 7 分 共计 21 分 1 求 20 2 1525 14 7592 lim x xx x 8 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2 求 1 tansin lim 3 0 x x e xx 3 求 xx x 22 0 sin 11 lim 四 求下列函数的导数或高阶导数 每小题7分 共计21分 1 设 xxe x x xy2 1 2 2 3 求 dx dy 2 设 2 2 1 1 arctan x x y 求 dx dy 3 设 求 x exy 23 5 5 dx yd 五 9分 设 0 ab baDfbaCf 则 ba 使得 a b fafbfln 六 9分 设0 xa 则 a x axa lnln 9 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2005 2006学年第一学期 数学分析 考试试卷 B 卷 考试时间 20060105 100分钟 考试形式 闭卷 一 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 数列 an 收敛是数列 an 有界的 条件 2 已知函数f x 在a 的邻域U a 有定义 且f x A 则当 ax lim A 时 f x 在a 连续 3 若 1 x lim x 1 kx 2 则k 4 设E x x Q x2 4 则supE inf E 5 0 lim x x x 3sin 2arcsin 6 已知x 0时 1 cos x与a x2 是等价无穷小 则a 7 函数cosx的麦克劳林公式为 余项任写一个 8 设x cos 3 t y sin3 t 则 2 2 dx yd 9 函数y lnx 在区间 e 上满足Lagrange定理条件的中间点c 10 a为可导函数f x 的极值点的充分条件是f a 二 计算题 每小题 8 分 共 40 分 1 求极限 n lim 1 2 1 1 1 222 nnnn 2 求极限 0 lim x xx axa sin ln ln 2 3 求函数y x x sin 的间断点 并指出其类型 4 求函数 x xey 1 sin 的导数 5 求a b的值 使函数f x 在x 0处可导 0 32 0 2 xxx xbax 三 10分 用单调有界收敛原理证明 数列 1 n 1 n 收敛 四 10分 若函数f x 与g x 在 a b 连续 且f a g a f b g b 10 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 则存在c a b 使f c g c 五 应用题 10 分 讨论函数y 的单调性 极值性 凹凸性等性态 并描绘出其图象 2 x xe 11 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2005 2006学年第一学期 数学分析 考试试卷 A卷 考试时间 20060109 100分钟 考试形式 闭卷 请注意 解答如果写在其它地方 务必要注明解答写在哪里了 请注意 解答如果写在其它地方 务必要注明解答写在哪里了 一 填空 每小题2分 共10分 1 设平面点集 2 RE 点 a为 2 Ra E的聚点 的定义是 2 设 则 22 yxfu du 3 设函数 则函数u在点处的沿任意方向yzxu 2 1 0 1 A l方向导 数的最大值为 l u max 4 设空间曲线 则积分 0 2222 zyx azyx dszyx 222 5 设 则 0 2222 zazyx ds 二 选择题 每小题2分 共10分 1 在点处连续是它在此点存在偏导数的 yxfz 00 yx A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 以上都不是 2 dyyxfdx aa x0 A B dyyxfdx a y 00 dxyxfdy ax 00 C D dxyxfdy aa y 0 dyyxfdx aa 00 3 设 则它在点 1 0 23 3yxxz A 取得极大值 B 不取得极值 C 取得极小值 D 不能确定是否取得极值 4 设函数 0 0 0 0 0 22 3 yx yx yx yx yxf 在点 0 0 处 A 不连续 偏导数不存在 B 不连续 偏导数存在 C 连续 偏导数不存在 D 连续 且偏导数存在 12 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 5 设有平面区域 ayaaxayxD 0 1 ayaxayxD 则 D dxdyyxxy sincos A B 1 sincos2 D dxdyyx 1 2 D dxdyxy C D 0 1 sincos 4 D dxdyyxxy 三 计算题 每小题7分 共计14分 1 设 arctan2ln 22 dx dy y x yx求 2 已知0 333 222 111 cba cba cba 求由平面 3333 2222 1111 hzcybxa hzcybxa hzcybxa 所界平行六面体的体积 四 8分 计算积分计算积分 五 计算题 共计26分 1 6分 求I 其中 L dsyx L是以为顶点的三角形 1 0 0 1 0 0 BAO 2 10分 计算 其中L为球面 在第一卦限部分的边界曲线 其方向按曲线依次经过xy平面部分 yz平面部分和zx的平面部分 dzyxdyxzdxxy L 222222 1 222 zyx 3 计算 dxdyzzdxdzzydydzyx 333 其中 是球心在原点半径为a的球面 的内侧 10分 六 12分 分别叙述 1 Green定理 2 Stokes定理的内容 七 8分 设是具有二阶连续偏导数的函数 证明 yxvyxu 2 2 2 2 ds n u vd y v y u x v x u vd y u x u v L DD 八 12分 证明曲面在任意一点处的切平面与曲面所围 成的立体体积是一个定值 22 1yxz 22 yxz 13 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2005 2006学年第二学期 数学分析 考试试卷 A 卷 考试时间 20060625 100分钟 考试形式 闭卷 一 填空题 每小题2分 共计20分 1 设函数在区间上有定义 若存在可导函数使得 xf ba xF 则称是在区间上的一个原函数 xF xf ba 2 设函数在区间 a b 上是有界函数 xf niT i 2 1 是对区间 a b 的任意分 割 则关于分割T的下和为 xf 3 dx x2 2 2 1 4 2 0 4 sin xdx 5 4 0 2 0 sin3 lim x dttt x x 6 当 p 时 广义积分 1 1 dx x p 收敛 7 级数 1 3 1 2 1 n nn 的和s 8 设函数是周期 xf 2 T的周期函数 且在一个周期上的表达式为 xf 0 1 0 2 x xx xf xs是的Fourier 级数的和函数 则 xf 2 1 s s 9 曲线 x y 1 所围成图形的面积为A 则A的定积分表达式 为 1 y2 x 10 若已知 1 0 f3 2 f5 2 f 则 1 0 2 dxxf x 二 求解下列积分问题 每小题6分 共计36分 1 dx x x 2 ln 2 4 0 cos1 1 dx x 3 4 2 2 3 1max dxx 22 2 0 0 lim yx xy yx 5 求函数的幂级数展开式 arctan 2 xxf x 14 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 6 求函数的Fourier级数展开式 s n x n s n 的收敛域 8分 八 试举例说明二重极限与二次极限 累次极限 间的关系 7分 15 武汉科技学院理学院数学分析考试试题 2006 2007学年第一学期 数学分析 考试试卷 A 卷 考试时间 20070125 100分钟 考试形式 闭卷 一 填空题 每小题3分 共计12分 1 二元函数在点可微的充分条件是 yxf 00 yx 2 三元函数在点的偏导数 zyxf 000 zyx 000 zyxz f 的几何意义是 3 函数uxyz 在点处沿A到点的方向 5 1 2 A 9 4 14 BAB 上的方向导数为 4 设向量函数 则在点处的散度为 3 23 xyyzxzxF 1 1 1 1 1 1 Fdiv 二 选择题 每小题3分 共12分 1 在点处连续是它在此点存在偏导数 yxfz 00 yx x z 及 y z 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 以上都不是 2 的两个二