复旦大学数学分析考研试题及答案.pdf

复旦大学复旦大学 2001 年招收硕士学位研究生考试试题年招收硕士学位研究生考试试题 数学分析数学分析 1 求极限 1 2 2 1 lim ln 21 x x xe x 12 分 2 已知证明 0 0 0 xxff x xf 分别在 0 与 0 都是严格单调增加函数 12 分 3 设收敛 问积分是否一定收敛 收敛的话 请证明之 不一 定收敛的话 请举出反例 12 分 a dxxf lim 1 x g x a dxxgxf 4 设是由隐函数 yxzz 0 x z y y z xF确定 求表达式 y z y x z x 并要求简化之 12 分 5 用 Lagrange 乘数法 解1 2 4 22 xyz z yxzyxf在条件下的极植问题 13 分 6 求曲面所围区域的体积 13 分 xyzzyx3 3222 7 证明 61 1 ln 2 1 0 dx x x 推导过程要说明理由 13 分 8 将 0 sin xxy展开成余弦级数 并求级数 1 2 1 14 1 n n n 的和 13 分 复旦大学复旦大学 2001 年招收硕士学位研究生考试试题年招收硕士学位研究生考试试题 数学分析数学分析 习题答案习题答案 1 解 1 11 112 22 2 2 0 0ln 21 22 1111 21 211 lim limlimlim ln 21 ln 21 4ln 21 8 x xx x x xxxx x e 1 2 x xexex xxx xe x 11 1 122 2 2 2 2 11 21 1 1 11 limlim 8 ln 21 81 xx x x x xx x ee xe x 6 2 证 设 x xf xF 则 2 x xfxxf xF 设 xfxxfxG 而从 而 有 0 0 而 0 xxf故当时 G 此时 即有 0 x 0 0 xF x xf 分别在 0 上严格单调增加 当时 此时 即有 0 x0 xG 0 GxG 0 xF xf 分别在 0 上严格单调增加 x 综上所述 x xf 分别在 与都是严格单调增加函数 0 0 3 解 不一定收敛 a dxxgxf 取 ax a xg 2 2 1 2 1 x xf 取 则有收敛 lim 而 0 a a dxxf xg x 1 dxdxdxxgxf a axx a ax a x a 2 1 2 21 22 1 显然ax 为该积分的一奇点 并且在这一点 处该积分不收敛 所以不一定收敛 a dxxgxf 4 解 设 x z yv y z x u 则有该方程左右两边分别对 x y 求导有 0 1 2 yx z v y yz uy v vy u u FFFF y z 0 1 2 x xz vxy z ux v vx u u x z FFFF 则有 22 22 x yFzyFxy FzxF zuvzuv xy xyFx FxyFy F vuuv 2222 uv vuvu vu vu uv vu xFyF zxFFxyzyFyFx yFxF zxFFxy xFyF zyFyFx y z y x z x 5 解 作 Lagrange 函数有 1 2 4 22 xyz z yxzyxL 解答人 王 伟 嘉兴南洋职业技术学院 基础部 助教 令得 0 LLLL zyx 01 02 02 02 xyz xyz xzy yzx 解得 或或或 2 1 1 1 z y x 2 1 1 1 z y x 2 1 1 1 z y x 2 1 1 1 z y x 所以1 2 4 22 xyz z yxzyxf在条件下的极植为 2 5 6 解 由曲面方程知所围立体只能位于第一 三 五 七卦限 且体积为第一卦限立体V得 4 倍 1 即 1 44 1 V dxdydzVV 3 1 sincoscos sin30 0 0 cos sinsin cossin 23 22 r rz ry rx 则 令 3 1 23 sincoscos sin3 0 2 2 0 2 0 sin4 drrddV 2 1 2 0 2 2 0 3 4 cossincossin3 dd 7 解 由于 1 1ln lnln 1 xx x 1 1 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1ln n n xxxxx 则有 x x 1 1 ln n n xxx 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 1 取 则有 xt 1 dt n t dxxxxdx x x n n n n 1 0 1 1 1 0 1 1 2 3 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 0 1 2 1 1 nn n n dt n t 而由数项级数 6 1 2 2 n 1n 故 61 1 ln 2 1 0 dx x x 成立 8 解 将延拓为xysin 上的偶函数 0 sin 0 sin xx xx y 则 3 2 1 0 nbn 0 2 0 sin xdxa 4 1 1 1 0 2 2 1 2cossin n n n nxdxxa 由收敛定理有 对于 0 x nxy n n n cos2