4 多元函数的Taylor公式与极值问题-2 工科数学分析基础.pdf

2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1 多元函数的Taylor公式与极 值问题 条件极值 Lagrange乘数法 应用举例 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2 一 问 题 引 入 很多极值问题很多极值问题 目标函数的自变量不能在其定义目标函数的自变量不能在其定义 域上自由变化域上自由变化 而是要受到某些条件的约束而是要受到某些条件的约束 例例1 要设计一个容积为要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱的长方形无盖水箱 试试 问长 宽 高各等于多少时问长 宽 高各等于多少时 可使得表面积达到可使得表面积达到 最小最小 若设长 宽 高各等于若设长 宽 高各等于 x y z 则则 2 Sz xyxy 目标函数目标函数 xyzV 约束条件约束条件 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3 例例2 设曲线求此曲线上设曲线求此曲线上 22 1 zxyxyz 1212 R n nn yf xxxxxxD 的点到原点距离之最大 最小值的点到原点距离之最大 最小值 对此问题有对此问题有 222 uxyz 目标函数目标函数 22 1 zxyxyz 约束条件约束条件 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题还可举出很多这种带有约束条件的极值问题 定义定义 设目标函数为设目标函数为 约束条件为如下一组方程约束条件为如下一组方程 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4 12 0 1 2 kn xxxkm mn 若存在若存在 0 f P f P 则称则称是在约束条件之下的极小值是在约束条件之下的极小值 0 P 或最小值或最小值 称是相应的极小值点称是相应的极小值点 或最小值 点 或最小值 点 类似地又可定义条件极大类似地又可定义条件极大 或最大或最大 值值 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5 二 拉格朗日乘数法 A 拉格朗日乘数法探源拉格朗日乘数法探源 先从先从 n 2 m 1 的最简的最简 情形说起情形说起 即设目标函数与约束条件分别为即设目标函数与约束条件分别为 0 1 zf x yx y 与 与 dd 0 dd x xyxy y zy ffff xx 0 x y yy x 若由确定了隐函数则使得目若由确定了隐函数则使得目 zf x y x 标函数成为一元函数再由标函数成为一元函数再由 00000 P xyxy x 求出稳定点在此点处满足求出稳定点在此点处满足 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6 0 0 xyyxP ff 0 f x yz 00000 0 0 xyxy fPfPPP f这表示的等值线这表示的等值线 18 12 由此推知由此推知 0 存在比例常数满足存在比例常数满足 这又表示这又表示 对于函数对于函数 0 P 0 f x yz 0 x y f x yc 图图 18 12 0 x y 与曲线在与曲线在 0 P有公共切线有公共切线 见图点见图点 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7 L x yf x yx y 在点处恰好满足在点处恰好满足 000 xy 0 0 2 0 xxx yyy Lfx yx y Lfx yx y Lx y 也就是说也就是说 2 式是函数在其极值点处所式是函数在其极值点处所 L x y 满足的必要条件满足的必要条件 由此产生了一个重要思想由此产生了一个重要思想 通过引入辅助函数把条件极值问题通过引入辅助函数把条件极值问题 1 L x y 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8 B 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般对于前面定义中所设的一般 目标函数和约束条件组目标函数和约束条件组 应引入辅助函数应引入辅助函数 1212 1 3 m nkkn k f xxxxxx 称此函数为称此函数为拉格朗日函数拉格朗日函数 其中称其中称 12 m 为为拉格朗日乘数拉格朗日乘数 1212 nm L xxx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9 0 11 1 1 rank n mm P n xx m xx 0 0 0 012 n Pxxx D 的内点是该条件极值问的内点是该条件极值问 题的极值点题的极值点 且且 k f 与与定理定理 1 设上述条件极值问题中的函数设上述条件极值问题中的函数 在区域在区域 D上有连续一阶偏导数上有连续一阶偏导数 若若 1 2 km 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10 个方程的解个方程的解 1 12 0 1 2 0 1 2 m k k kiii nk k Lf in xxx L xxxkm 为拉格朗日函数为拉格朗日函数 3 的稳定点的稳定点 即它是如下即它是如下 nm 0 0 0 12 n xxx 0 0 0 12 m 0 0 0 12 m 则存在 则存在 m 个常数使得个常数使得 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11 三 应 用 举 例 定理定理 1 指出的方法称为拉格朗日乘数法指出的方法称为拉格朗日乘数法 下面下面 用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题 例例1 解解 此例以往的解法是从条件式解出显函数此例以往的解法是从条件式解出显函数 例如代入目标函数后例如代入目标函数后 转而求解转而求解 V z xy 2 V Sxyxy xy 的普通极值问题的普通极值问题 可是这样做并不总是方便的可是这样做并不总是方便的 而而 且往往无法将条件式作显化处理且往往无法将条件式作显化处理 更不用说多个条更不用说多个条 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12 件式的情形了件式的情形了 现在的新办法是设辅助函数现在的新办法是设辅助函数 2 LxzyzxyxyzV 20 20 2 0 0 x y z Lzyyz Lzxxz Lxyxy LxyzV 并求解以下方程组并求解以下方程组 为消去为消去 将前三式分别乘以将前三式分别乘以 x y z 则得则得 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13 2 2 2 xzxyxyz yzxyxyz z xyxyz 33 3 2 2 22 Vx VxVy z 两两相减后立即得出再代入第四式两两相减后立即得出再代入第四式 2 xyz 便求得便求得 注注 由以上结果还可以得到一个不等式由以上结果还可以得到一个不等式 这是获得这是获得 不等式的一种好方法不等式的一种好方法 那就是具体算出目标函数那就是具体算出目标函数 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14 表面积表面积 的最小值的最小值 3 3 22333 min 2 2 22 2 34 2 V SVVVV 去去 V 后便得不等式后便得不等式 3 2 2 34 0 0 0 z xyxyxyzxyz 例例2 解解 这里有两个条件式这里有两个条件式 需要引入两个拉格朗需要引入两个拉格朗 日常数日常数 而且为了方便计算而且为了方便计算 把目标函数改取距离把目标函数改取距离 于是有其中消于是有其中消 3 2 2 34 z xyxyV Vxyz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15 的平方的平方 这是等价的这是等价的 即设即设 22222 1 Lxyzxyzxyz 22 220 220 2 20 2 2 0 10 x y z Lxx Lyy xx Lzyy z Lxyz Lxyz 求解以下方程组求解以下方程组 由此又得再代入条件由此又得再代入条件 1 0 xyxy 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16 式式 继而求得继而求得 这里否则将无解这里否则将无解 1 2 2 2 2210 12 zx xx zx 13 2 1 13 23 xy z 最后得到最后得到 2 2222 2 13 23 4 xyz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17 1 12 33 44 3395 3 2 1 12 33 44 3395 3 2 故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为别为 minmax 95 3 95 3 dd 例例3 已知圆柱面已知圆柱面 222 10 4 xyzxyyzzx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18 它与平面相交得一椭圆它与平面相交得一椭圆 试求此椭试求此椭0 xyz 圆的面积圆的面积 分析分析 i 如果能求得该椭圆的长 短半轴如果能求得该椭圆的长 短半轴 a 与与 b 则椭圆面积为则椭圆面积为 ab ii 由方程由方程 4 看到看到 此圆柱面关于坐标原点是对此圆柱面关于坐标原点是对 称的称的 故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某 一直线一直线 iii 因为所给平面也是通过坐标原点的因为所给平面也是通过坐标原点的 所以此所以此 平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19 解解 由以上分析由以上分析 自原点至椭圆上任意点自原点至椭圆上任意点 x y z 的距离之最大 小值 就是该的距离之最大 小值 就是该 222 dxyz 椭圆的长 短半轴 椭圆的长 短半轴 说明说明 本例的题型与例本例的题型与例2 相相 类似类似 但在具体计算策略上将有较大差异但在具体计算策略上将有较大差异 设拉格朗日函数为设拉格朗日函数为 222 1 xyzxyyzzx 并令并令 222 Lxyzxyz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系20 222 2 2 0 5 2 2 0 6 2 2 0 7 0 8 1 0 9 x y z Lxxyz Lyyzx Lzzxy Lxyz Lxyzxyyzzx 对对 5 6 7 三式分别乘以三式分别乘以 x y z 后相加后相加 得到得到 222 2 0 xyzxyyzzx 222 2 xyzxyz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21 借助借助 8 9 两式进行化简两式进行化简 又得又得 2222 dxyz 这说明的极值就是这里的这说明的极值就是这里的 即的极值就是即的极值就是 2 dd 问题便转而去计算为此先从问题便转而去计算为此先从 5 8 式式 消去得到一个线性方程组消去得到一个线性方程组 2 2 2 0 2 2 2 0 0 xyz xyz xyz 它有非零解它有非零解 x y z 的充要条件是的充要条件是 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系22 2 222 222320120 111 由前面讨论知道由前面讨论知道 方程方程 10 的两个根就是的两个根就是 12 12 2 Sab 22 12 4 ab 与而与而 2 d的最大 小值的最大 小值 即于是即于是 说明说明 i 一旦由方程一旦由方程 5 9 能直接求得椭圆的能直接求得椭圆的 长 短半轴长 短半轴 那就不必再去计算椭圆的顶点坐标那就不必再去计算椭圆的顶点坐标 2 20 40 10 3 即 即 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系23 x y z 了了 这使解题过程简单了许多这使解题过程简单了许多 ii 若用解析几何方法来处理本例的问题若用解析几何方法来处理本例的问题 则需要则需要 出纬圆半径和纬圆面积还有平面出纬圆半径和纬圆面积还有平面 2 3 r 2 3 A 的法线与的法线与 l 夹角的余弦夹角的余弦0 xyz 1 1 1 1 1 1 1 cos 333 然后根据面积投影关系最后求得椭圆然后根据面积投影关系最后求得椭圆cos AS 先求出圆柱面的中心轴所在直线先求出圆柱面的中心轴所在直线 l 再求再求 xyz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系24 面积为面积为 21 2 33cos A S 0 F x y 例例4 设光滑封闭曲线 证明 设光滑封闭曲线 证明 上任意两个相距最远点 处的切线互相平行 上任意两个相距最远点 处的切线互相平行 且垂直于这 两点间的连线 且垂直于这 两点间的连线 见右图见右图 证证 由于是光滑封闭曲线由于是光滑封闭曲线 所以满足所以满足 i F 在一个包含的开域内有连续的一阶偏导数在一个包含的开域内有连续的一阶偏导数 0 P 0 Q 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系25 22 0 xy FF 且且 22 f x y u vxuyv 0 0F x yF u v ii 在上必有相距最远的点在上必有相距最远的点 000000 P xyQ u v 设为上相距最远的两点设为上相距最远的两点 00000 Mxyu v则点为目标函数则点为目标函数 在约束条件在约束条件 之下的极大值点之下的极大值点 于是由拉格朗日乘数法于是由拉格朗日乘数法 存在存在 000 M 使点使点成为拉格朗日函数成为拉格朗日函数 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系26 22 LxuyvF x yF u v 00000 00000 00000 00000 2 0 2 0 2 0 2 0 x y u v xuFxy yvFxy xuFuv yvFuv 0 0 0000 0000 xyP uvQ xuyvFF xuyvFF 的稳定点的稳定点 从而满足从而满足 由前两式与后两式分别得到由前两式与后两式分别得到 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27 前者表示后者表前者表示后者表 000 P QP 与在的切线垂直 与在的切线垂直 000 P QQ 与在的切线垂直 与在的切线垂直 0 P示所以在示所以在 0 Q 00 P Q两点处的切线互相平行两点处的切线互相平行 且垂直于且垂直于 例例5 试求函数试求函数 111 0 0 0 f x y zxyz xyz 3 0 xyzaa 在条件下的最小值在条件下的最小值 并由此导出相并由此导出相 应的不等式应的不等式 解解 设设 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系28 3 111 Lxyza xyz 2 2 2 3 10 10 10 0 x y z Lxyz Lyxz Lzxy Lxyza 并使并使 由此方程组易得由此方程组易得 3 xyzaf a a aa 并有并有 下面给出下面给出3 a是条件最小值的理由是条件最小值的理由 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系29 3 0 Sxyzax y zSxy记当且或记当且或 02 0 0ax y zSxy 当且 当且 0 z 时 使得 时 使得 0 0 z 时或 时或 f x y z 都使得故存在 都使得故存在 1 Sx y zx y zS xyz 又设又设 1 S ff由于为一有界闭集由于为一有界闭集 为连续函数为连续函数 因此在因此在 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系30 1 S 1 SS 1 S 上存在最大值和最小值上存在最大值和最小值 而在及上而在及上 1 min min 3 x y zSx y zS f x y zf x y za 3 a 1 Sf 的值已大于故的值已大于故f在在S上的最小值必在上的最小值必在 1 S a a a 的内部取得的内部取得 又因内部只有惟一可疑点又因内部只有惟一可疑点 所以必定有所以必定有 1113 x y zS xyza 最后最后 在不等式在不等式 中中 用代入用代入 就得到一个新的不等式就得到一个新的不等式 3 axyz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系31 3 1113 0 0 0 xyz xyzxyz 经整理后经整理后 就是就是 调和平均不大于几何平均调和平均不大于几何平均 这个这个 著名的不等式著名的不等式 1 3111 3 0 0 0 xyzxyz xyz 例例6 利用条件极值方法证明不等式利用条件极值方法证明不等式 6 2 3 108 0 0 0 6 xyz xy zxyz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系32 0 0 0 0 xyzaxyza 2 3 Lxy zxyza 令并使 令并使 2 3 f x y zxy z 证证 设目标函数为约束条件为设目标函数为约束条件为 2 3 3 2 2 0 20 30 0 x y z Ly z Lxyz Lxy z Lxyza 由前三式解出代入第四式后得到由前三式解出代入第四式后得到2 3 yx zx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系33 稳定点稳定点 0000 6 3 2 Pxyzaaa 下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点 min 0 x y z f x y z f x y z 3 R 为简单起见 为简单起见 考虑在考虑在 f上的情形上的情形 由于为有界闭集由于为有界闭集 为连续函数为连续函数 因因 f 此在上存在最大 小值此在上存在最大 小值 首先首先 显然有显然有 这在上 这在上 x 0 或或y 0 或或z 0 取得取得 而而 6 0 4320 f Pa 0 P 且故有且故有 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系34 6 max max 432x y zx y z a f x y zf x y z 由此得到不等式由此得到不等式 6 2 3 432 a xy zx y z 又因在上满足把它代入上式又因在上满足把它代入上式 就就 axyz 6 6 2 3 108 4326 xyzxyz xy z 证得证得 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系35 注注1 在用条件极值方法证明不等式时在用条件极值方法证明不等式时 设置合适设置合适 的目标函数与约束条件是解决问题的关键的目标函