数学建模的层次分析法.pdf

收稿日期 1996205216 数学建模的层次分析法 陈 义 华 甘肃工业大学技术工程学院 兰州 730050 摘 要 阐述了数学建模层次分析法的基本思想 方法和核心问题 运用层次分析法 建立数学模型的一般步骤和计算方法 并通过实例分析 说明了层次分析法在决策中 的有效性 关键词 数学模型 层次分析法 决策分析 排序 数学建模竞赛 分类号 O 157 5 层次分析法 TheA nalytic H ierarchy Process 简称AHP 是美国著名运筹学家 匹兹堡大 学教授T L Saaty于70年代中期提出的一种系统分析方法 是一种实用的多准则决策方法 该法能够定量与定性相结合 将人的主观判断用数量形式表达和处理 从本质上讲是一种思维 方式 并具有高度的逻辑性 系统性 简洁性和实用性等优点 AHP在工程技术 能源系统分 析 经济管理 城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用 本文阐述了AHP的基本思想和步骤 计算问题 针对天车与冶炼炉的作业调度问题 利 用AHP对天车台数进行了最优方案的选择 1 AHP建模的基本思想和步骤 1 3 AHP的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次 结构 通过两两比较因素 或目标 准则 方案 的相对重要性 给出相应的比例标度 构造上层 某要素对下层相关元素的判断矩阵 以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列 AHP的 核心问题是排序问题 包括递阶层次结构原理 标度原理和排序原理 运用AHP解决实际问题 大体可以分为4个基本步骤 1 建立递阶层次结构模型 将问题所包含的因素按属性不同而分层 可以划分为最高层 中间层和最低层 同一层次 元素作为准则 对下一层次的某些元素起支配作用 同时它又受上一层次元素的支配 这种从 上至下的支配关系形成一个递阶层次 最高层通常只有一个元素 它是问题的预定目标 表示解决问题的目的 因此也称目标层 中间层为实现总目标而采取的措施 方案和政策 它可以由若干个层次组成 包括所需考 虑的准则 子准则 因此也称为准则层 最低层为实现目标可供选择的各种措施 决策方案等 用于解决问题的各种途径和方法 也称为方案层 见图1 第23卷第3期 甘 肃 工 业 大 学 学 报 Vol 23 No 3 1997年9月 Journal of Gansu U niversity of Technology Sept 1997 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 图1 递阶层次结构示意图 当某个层次包含因素较多时 如 超过9个 可将该层次划分为若干 层 2 构造两两比较判断矩阵 设要比较n个因素X x1 x2 xn 对目标Z的影响 确定它们在 Z中所占的比重 每次取两个因素xi 和xj 以aij表示xi和xj对Z的影响 之比 得到两两比较判断矩阵 A aij n n 1 其中 aij 0 aji 1 aij i j aij 1 i j 1 2 n 2 使式 2 成立的矩阵称为正负反矩阵 确定aij采用1 9及其倒数作为 标度的标度方法 见表1 如果介于上述相邻判断中间 aij取值分别为2 4 6 8 表1 比较尺度的取值方法 xi xj相等较强强很强 绝对强 aij13579 3 层次单排序及其一致性检验 1 层次单排序 先解出判断矩阵A的最大 特征值 max 再利用 AW maxW 3 解出 max所对应的特征向量W W经过标准化后 即为同一层次中相应元素对于上一层次中某 因素相对重要性的排序权值 2 一致性检验 首先计算A的一致性指标CI 定义 C I max n n 1 4 式中 n为A的阶数 当CI 0 即 max n时 1 A具有完全一致性 CI愈大 A的一致性愈差 将CI与平均随机一致性指标R I进行比较 令CR CI R I 称CR为随机性一致性比率 当 CR 2 3 n 并假设A有线性无关的特征向 量v1 v2 vn 满足 Avi ivi 任取n维向量x 并设x可表示为 x n i 1 Civi 式中 C1 C2 Cn为常数 用A进行迭代 得 Ax n i 1 CiAvi n i 1 iCivi 1 C1v1 2 1C 2v2 n 1C nvn 继续迭代 当k充分大时有 A kx k 1C1v1 A k 1x k 1C 1v1 故A k 1x 或A kx 的方向就是v1的方向 并且 49 甘肃工业大学学报 第23卷 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved A k 1x i A kx i 1 i 1 2 n 特别地 当 A kx j 1时 1 A k 1x j 用幂法求正矩阵A的最大特征值及相应特征向量的步骤如下 1 任取初始正向量x 0 x 0 1 x 0 2 x 0 n T 允许误差 令k 0 计算m0 x 0 max i x 0 i 及y 0 y 0 1 y 0 2 y 0 n T 并满足 y 0 1 m0 x 0 y 0 的最大分量为 1 2 迭代计算 x k 1 Ay k mk 1 max i x k 1 i y k 1 x k 1 mk 1 3 判断 mk 1 mk 成立否 若成立进行下一步 否则令k 1 k转第 2 步 4 将y k 1 标准化 得 W y y 1 n i 1 y k 1 i max mk 1 max和W为所要求的最大特征值和相应的特征向量 再利用式 4 7 便可进行一致性检 验 从而知道总排序权值 进行方案选择 3 AHP建模实例 1995年全国大学生数学模型竞赛的 天车与冶炼炉的作业调度 4 问题是一道从实际工 业课题提炼 简化出来的数学问题 而且这种多车多炉的优化调度问题是每一个钢铁厂都普遍 存在的生产问题 本文利用层次分析法对使用1 5台天车选择最优方案 图2 递阶层次结构图 天车与冶炼炉 作业调度的要求为 1 成品钢产量高 2 各台天车的作业率 天车作业时间所占 比例 尽量均衡 考 虑到设备及人员安 全等因素 一般天车 作 业 率 不 超 过 70 3 绝不允许 出现天车相撞等事 故 4 调度规则尽量 简明 以利于现场人 员使用 在不超过5台天车的条件下进行方案择优 为使问题简化 从天车作业率不超过70 的要求 根据赛题所作假设 4 不难判断出至少 59 第3期 陈义华 数学建模的层次分析法 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 有3台天车才能完成基本工序 因此只需对采用3台天车方案 4台天车方案和5台天车方案 这3种方案进行选优 建模 根据各类因素之间的隶属关系把它们分为3个层次 并建立递阶层次结构模型 目标层A 合理选择天车台数 准则层C 总产量C1 天车利用率C2 调度简便性C3 天车作业均衡性C4 天车作业安全 性C5 方案层P 3台天车P1 4台天车P2 5台天车P3 根据各因素的重要性关系构造判断矩阵 并利用AHP软件 3 进行计算 所得判断矩阵及 相应计算结果如下 1 判断矩阵A C AC1C2C3C4C5W C1114430 347 26 C2113340 332 09 C31 4 1 3131 2 0 117 63 C41 4 1 3 1 3110 082 91 C51 3 1 42110 120 11 注 max 5 304 CR 0 068 0 10 2 判断矩阵C1 P C1P1P2P3W P11250 581 55 P21 2130 309 00 P31 51 310 109 45 注 max 3 004 CI1 0 002 CR 0 003 0 10 3 判断矩阵C2 P C2P1P2P3W P111 31 70 087 94 P2311 30 242 64 P37310 669 42 注 max 3 007 CI2 0 0035 CR 0 006 0 10 4 判断矩阵C3 P C3P1P2P3W P11350 658 65 P21 3110 185 17 P31 5110 156 18 注 max 3 029 CI3 0 0145 CR 0 025 0 10 5 判断矩阵C4 P C4P1P2P3W P11240 571 43 P21 2120 285 71 P31 41 210 142 86 注 max 3 000 CI4 0 CR 0 000 0 10 6 判断矩阵C5 P C5P1P2P3W P11370 669 42 P21 3130 242 64 P31 71 310 087 94 注 max 3 007 CI5 0 0035 CR 0 006 0 10 层次总排序及一致性检验 其结果如下 层次 C1C2C3C4C5 0 347 260 332 090 117 630 082 910 120 11 层次P总 排序权重 P10 581 550 087 940 658 650 571 430 669 420 436 41 P20 309 000 242 640 185 170 285 710 242 640 262 49 P30 109 45 669 420 156 180 142 2860 087 940 301 10 69 甘肃工业大学学报 第23卷 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 层次总排序一致性指标 CI 5 j 1 ajCIj 3 982 855 10 3 层次总排序随机一致性指标 R I 5 j 1 ajR Ij 0 58 层次总排序随机一致性比率 CR CI R I 0 006 8 0 10 知层次总排序的计算结果具有满意的一致性 层次P总排序向量W 0 436 41 0 262 49 0 301 10 T 权重最大的一项即为最优项 最后结果 由优到次 3台天车 5台天车 4台天车 故应选择3台天车的作业调度方案 4 结论 1 AHP把研究对象作为一个系统 按照分解 比较判断和综合的思维方式进行决策 是 系统分析的重要工具 2 AHP把定性和定量方法相结合 能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问 题 应用范围很广 并且这种方法将决策者与决策分析者相互沟通 决策者甚至也可以直接运 用它 因此增加了决策的有效性 3 AHP的基本原理 步骤及计算非常简便 结果简单明确 易于被决策者了解和掌握 4 AHP从建立层次结构模型到构造两两比较判断矩阵 人的主观因素的作用较大 采取 专家群体判断的办法是克服这一局限性的有效途径 只要对系统的分析及问题的因素了解得 愈透彻 愈能得到合理的判断和正确的排序结果 参 考 文 献 1 陈义华 数学模型 重庆 重庆大学出版社 1995 117 124 2 姜启源 数学模型 北京 高等教育出版社 1993 305 335 3 王莲芬 许树柏 层次分析法引论 北京 中国人民大学出版社 1990 103 108 350 384 4 姜启源 1995年全国大学生数学建模竞赛 数学的实践与认识 1996 26 1 1 3 The analytic hierarchy process for mathematical modelling Chen Y ihua Technical Engineering College Gansu U niv of Tech L anzhou 730050 Abstract The main idea methodology and kernel of the analytic hierarchy process for mathematical modelling are described The general modelling procedure and calculation method using the analytic hierarchy process are also discussed Its effectiveness in the deci2 sion making i