2.1正玄定理.doc

师范生试教教案课题2.1正弦定理教学目标知识目标通过对任意三角形的边与角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法能力目标通过已掌握的正弦定理，能解一些简单的正玄定理的题目。情感目标培养学生联想能力，探索精神与创新意识。教学重点正弦定理的发现与证明；探索定理的简单应用。教学难点正弦定理的推导。课型新授课教法讲授法教具三角板时间分配教 学 过 程备注3分钟1、 新课导入 在初中，我们学习过这样一个定理：在任意三角形当中，大边对大角，大角对大边。那么这只是从定性的角度描述了这个叫和它的对边的关系，那我们能不能从定量的角度来描述边和对角的关系呢？这就是我们这节课要学习的 2.1正弦定理。 我们要研究正弦定理，同学们认为应该从哪里入手呢？怎样的三角形入手呢？对，一般我们先从特殊的三角形入手。那么今天我们就先从直角三角形来研究正弦定理的内容。 B 如图所示，在RtABC中，AB=c,AC=b, BC=a.请用两直角边和锐角表示斜边c。 a c C b A 标题 副板 时间分配教 学 过 程备注 5 分 钟4分钟3分钟5分钟2分钟解题分析：那么在初中我们已经学习了锐角三角函数，我们知道，在直角三角形中，我们要知道sinC是等于1的，于是因为sinC=1,所以我们可以得到这样一个等式：。这个等式就是正弦定理：这个等式在直角三角形中是显然成立的，那么请同学们想一下，它在任意的三角形中是否也成立呢？下面我们就来研究在一般三角形中，这个式子是否成立。2、 新课讲授 三、证明 若ABC是锐角三角形，AB=a,AC=b,BC=a. 证：方法一： C CD=binA=asinB b a 同理可得： A B 讲解：我们一起来探讨，请同学们想一下，怎样来证明这个结论。好，有的同学想到了。我们要利用前面的直角三角形，那么在一般三角形中，怎样得到直角三角形呢？这里，我们就得到了两个直角三角形。那么我们就可以有，在这个直角三角形ACD中，有CD=asinB.在这里，请大家注意，如果我不看CD，就可以得到：bsinA=asinB.再考虑刚才的形式，我们变一下形，只需两边作个除法，于是我们就有 . 这里只是这个式子中的一部分，那另一部分可以得到吗？对的，同理我们再过A点作BC的高AE以及过B点作AC的高都可以得到。这样呢，我们就可以得到正弦定理： 。 那如果这个三角形是钝角三角形呢？我们又该如何去证明？类似于刚刚锐角三角形的做法。我们同样的可以作高。这个呢，就请同学们课后自己去证明一下。 现在请大家观察一下正弦定理，它有什么特点呢？我们又怎么去记住它呢？正弦定理我们可以用文字描述为： 一、正弦定理： 在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比相等，即： 请大家注意观察它的结构特点，我们发现这个正弦定理它是严格的边和对角正弦比的关系，它具有统一、和谐的美。另外，从方程的角度来看，这个等式中含有六个量，显然是“知三求三”。也就是说，正弦定理可以解决这么两类问题： 二、正弦定理在解三角形中的应用 1、已知两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、已知两个角和任意一边，求其它元素。讲解：解释一下，什么是解三角形，我们说在三角形中，有三条边和三个角这么六个元素，也就是说在三角形中，已知一些元素求另外一些元素的这个过程叫做解三角形。 注意，我刚才说的是已知两个角和任意一边，为什么没有强调对边呢？这是因为在三角形中，三角形的内角和是180，已知两个角，那么第三个角也就已知了，再任意知一边，利用正弦定理就可以求出其它元素了。 现在，我们在回过头来看看这个定理的证明，这个定理的证明同学们有没有想到其它的证明方法呢？证明它的方法还有很多。在这里呢，我们也可以利用三角形的面积来证明这个定理。方法二： 3、 能力巩固 下面，我们来看一个例子。 四、例题 在中，,解三角形。 解：由正弦定理得： 讲解：在这个题目中，已知了两边和其中一边的对角，从条件上看，应该可以用到正弦定理，下面请同学们先做一下。一起来看一下这个题吧。由已知，我们可以首先求出谁来呢？得。我们已知了b边，角B，角C，代入数据得，得到了二分之一，是不是可以说角C等于30呢？不一定，因为在三角形中，角的范围为0到180度，我们又知道在0到180度之间sin值等于二分之一的有两个，分别是30和150。 像这种得出两解的情况，请同学们一定要停顿一下，加以判断。就这个题目来讲，我们到底是取30呢还是150？你的理由又是什么？对，根据条件，发现b边比c边大，根据大边对大角，所以B比C大，所以呢，我们要取30，所以A=180-B-C=180-60-30=90。说明这是一个直角三角形。现在，有必要用到正弦定理吗？当然，你也可以用，但在直角三角形中，我们也可以不用正弦定理，直接用勾股定理。所以，。4、 小结 这节课我们就先上到这里，回顾一下，这节课我们从几何的角度发现和证明了正弦定理。这是一种由特殊到一般的思想。正弦定理反映了边及其对角正弦成正比的规律。利用正弦定理呢，我们可以解决两类问题，第一类，知两边和其中一边的对角，求其它元素。第二类，知两角和任意一边求其它元素。5、 作业