量子物理之角动量空间量子化模型.pdf

范例范例14 8 角动量空间量子化模型角动量空间量子化模型 根据氢原子薛定谔方程的结论 说明角动量空间量子根据氢原子薛定谔方程的结论 说明角动量空间量子 化模型 求出角动量与特定方向化模型 求出角动量与特定方向 例如例如Bz方向方向 的夹角 的夹角 解析解析 氢原子是由质子和电子组成的系统 质子形成带氢原子是由质子和电子组成的系统 质子形成带 正电的原子核 其质量是电子质量的正电的原子核 其质量是电子质量的1836倍 因此在电倍 因此在电 子绕核运动时可认为原子核是静止的 子绕核运动时可认为原子核是静止的 电子和原子核之电子和原子核之 间的电势能为间的电势能为 其中 其中 e为电子电量 为电子电量 r 为电子到核的距离 为电子到核的距离 由于由于V r 不随时间改变 所以是一个定态问题 不随时间改变 所以是一个定态问题 电子绕核运动的电子绕核运动的 薛定谔方程为薛定谔方程为 2 0 4 e V r r 2 2 e 2 0 2 0 4 me E r h 势能是球势能是球 对称的 对称的 直角坐标和球坐标变换如下直角坐标和球坐标变换如下 x rsin cos y rsin sin z rcos 范例范例14 8 角动量空间量子化模型角动量空间量子化模型 根据氢原子薛定谔方程的结论 说明角动量空间量子根据氢原子薛定谔方程的结论 说明角动量空间量子 化模型 求出角动量与特定方向化模型 求出角动量与特定方向 例如例如Bz方向方向 的夹角 的夹角 电子在球坐标系中的薛定谔方程为电子在球坐标系中的薛定谔方程为 r 是球坐标系中的波函数 是球坐标系中的波函数 设设 r R r R r 和 分别是分别是 r 和 的函数 的函数 经过严密数学运算 可得三个函数所满足的三个常微分方程经过严密数学运算 可得三个函数所满足的三个常微分方程 其中其中ml和和 是常数 是常数 22 2 e 222222 0 2111 sin 0 sinsin4 me rE rrrrrr h 2 2 2 d 0 d l m 2 2 1dd sin 0 sinddsin l m 2 2 e 222 0 21 dd 0 dd4 mRe rER rrrrr h 解这些微分方程并利用波解这些微分方程并利用波 函数标准条件函数标准条件 单值 连续单值 连续 和有限和有限 和归一化条件 可和归一化条件 可 得出一些重要的结论得出一些重要的结论 范例范例14 8 角动量空间量子化模型角动量空间量子化模型 根据氢原子薛定谔方程的结论 说明角动量空间量子根据氢原子薛定谔方程的结论 说明角动量空间量子 化模型 求出角动量与特定方向化模型 求出角动量与特定方向 例如例如Bz方向方向 的夹角 的夹角 1 氢原子的能量是不连续的 氢原子的能量是不连续的 处在第处在第n个定态的总能量为个定态的总能量为 n是主量子数 是主量子数 根据氢原子的定态薛定谔方程解得的能级公式根据氢原子的定态薛定谔方程解得的能级公式 与玻尔氢原子理论所得结果完全相同 但是不与玻尔氢原子理论所得结果完全相同 但是不 需要象玻尔理论那样人为地加上量子化条件 需要象玻尔理论那样人为地加上量子化条件 2 氢原子中电子的角动量也只能取分立的值 其大小为氢原子中电子的角动量也只能取分立的值 其大小为 l 0 1 2 n 1 l为角量子数或副量子数 为角量子数或副量子数 4 e 222 0 1 8 n m e E h n 1 Ll l h 对于同一个对于同一个n值 值 l可以取可以取 从从0到到n 1共共n个不同的值 个不同的值 l 0 1 2 3 4 5 的状态通常用字母的状态通常用字母 s p d f g h表示表示 范例范例14 8 角动量空间量子化模型角动量空间量子化模型 根据氢原子薛定谔方程的结论 说明角动量空间量子根据氢原子薛定谔方程的结论 说明角动量空间量子 化模型 求出角动量与特定方向化模型 求出角动量与特定方向 例如例如Bz方向方向 的夹角 的夹角 3 在量子力学中 氢原子核外电子的角动量在空间任意在量子力学中 氢原子核外电子的角动量在空间任意 方向方向 如外磁场方向如外磁场方向 的投影也是不连续的 只能取一些的投影也是不连续的 只能取一些 特殊的不连续的值特殊的不连续的值Lz ml ml 0 1 2 l 即 角动量在空间任一方向的投影也是量子即 角动量在空间任一方向的投影也是量子 化的 这种现象称为角动量空间量子化 化的 这种现象称为角动量空间量子化 对于确定的对于确定的l ml只能取只能取0 1 2 l共共2l 1个值 个值 ml称为轨道磁量子数 称为轨道磁量子数 如图所示 角动量与某一方向的夹角为如图所示 角动量与某一方向的夹角为 由于由于ml是整数 所以角动量只能取一些特定的方向是整数 所以角动量只能取一些特定的方向 L在在LxLy平面的投影用平面的投影用Lr表示 表示 arccosarccos 1 lz mL Ll l O Lz ml L Bz Lr 当氢原子中电当氢原子中电 子的角量子数子的角量子数 为为1时 轨道角时 轨道角 动量为动量为1 414 轨道磁量子数轨道磁量子数 可取可取 1 0 1 这时 轨道角这时 轨道角 动量与竖直方动量与竖直方 向的夹角分别向的夹角分别 为为45 90 和和 135 当氢原子中电当氢原子中电 子的角量子数子的角量子数 为为2时 轨道角时 轨道角 动量为动量为2 450 轨道磁量子数可轨道磁量子数可 取取 2 1 0 1 2 这时 轨道 这时 轨道 角动量与竖直方角动量与竖直方 向的夹角分别为向的夹角分别为 35 26 65 9 和和90 等等 当氢原子中电当氢原子中电 子的角量子数子的角量子数 为为3时 轨道角时 轨道角 动量为动量为3 464 轨道磁量子数轨道磁量子数 可取可取 3 2 1 0 1 2 3 这时 轨道角这时 轨道角 动量与竖直方动量与竖直方 向的最小夹角向的最小夹角 为为30 最大夹 最大夹 角为角为150 当氢原子中电当氢原子中电 子的角量子数子的角量子数 为为4时 轨道角时 轨道角 动量为动量为4 472 轨道磁量子数轨道磁量子数 可取可取 4到到4共共9 个整数个整数 这时 这时 轨道角动量与轨道角动量与 竖直方向的最竖直方向的最 小夹角为小夹角为26 57