性代数同解与公共解问题分析1.pdf

张宇考研数学辅导系列 张宇 编讲 方程组同解理论及其应用 注意课上怎样讲 怎样用 方程组同解理论及其应用 注意课上怎样讲 怎样用 1 元齐次线性方程组 元齐次线性方程组 I n0AX 和 和 II 0BX 同解同解 A rr Ar B B 分析与证明 1 先弄清楚什么叫两个方程组同解 同解就是说 我的解都是你的解 你的解也都是我的 解 我们俩同解 好 下面开始证明 若 II 的解都是 I 的解 则0 A X B 与0BX 同解 A rr B B 若 I 的解都是 II 的解 则0 A X B 与0AX 同解 A rr B A B 0 解 A解 故 I 和 II 同解 0AX 0BX A rr Ar B 2 000 AA rr Bnrnr B BB AA XBXBXX BB 即两方程组基础解系中所含向量的个数相同 的解一定是的解 即的基础解系可以表示的解 00 A XBX B 与的基础解系等价 这个过程的严格证明请看下面的 注 00 A XBX B 与同 同理 可得时 A rr B 00 A XAX B 与同 故 和0AX 0BX 同解 注 这里有个重要问题需要做详细解释和严格证明 例 设向量组 I 与向量组 II 若 I 可由 II 线性表示 且 I II rr r 证明 I与等价 II 证 设 I的一个极大无关组为 12 r I的一个极大无关组为I 1 2 r 因为 I可由 II表示 即 12 r 可由 1 2 r r 线性表示 于是 121 21 2 rrr rr 张宇考研数学辅导系列 张宇 编讲 又 12 r 线性无关 则 12 r 也可作为 121 2 rr 的一个 极大无关组 于是 1 2 r 也可由 12 r 表示 即 II也可由 I表示 得证 2 元非齐次线性方程组 元非齐次线性方程组 I nAX 和 和 II BX 都有解 则其同解都有解 则其同解 rr Ar A B B 本定理的证明方法与 本定理的证明方法与 1 类似 只要注意有解时 类似 只要注意有解时 r Ar Ar Br B 例 例 05 已知齐次方程组 123 123 1232 123 123 230 0 2350 21 III 0 0 xxx xbxcx xxx xb xcx xxax 和 同解 求 a b c 分析与解 本题是 2005 年的考试真题 如果没有系统的方程组同解理论的基础 按照常 规思路 这个题目的解题程序为 由 2r Ar Ba 方程组 I 的解 代入方程 组 II bc 我们通过简单观察 可知两个方程组系数矩阵的秩 2r Ar B 并由前述定理 得 2 A rr Ar B B 22 123123123 235011011 11013002 102300 2104500 A aa B bcbccb bcbccb 2 1 1 a 2 1 2 abc 例 例 98 已知方程组 I II 1234 234 34 5 211 21 xmxxx nxxx xxt 124 1234 123 26 41 33 xxx xxxx xxx 张宇考研数学辅导系列 张宇 编讲 同解 求 m n t 提示 注意我们排列矩阵中各行各列的顺序 便于做初等变换 143100143100 1110011111 011111001695 210122000240 613511 1000006 mm BA mn tt 2 4 6 mnt 方程组非零公共解理论及其应用 注意课上怎样讲 怎样用 方程组非零公共解理论及其应用 注意课上怎样讲 怎样用 n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组 I 和 和 II 0AX 0BX 有非零公共解可以分为以下三种形式命 题 有非零公共解可以分为以下三种形式命 题 1 给出系数矩阵 A 的具体形式 数字型 0AX 0BX 系数矩阵 B 的具体形式 数字 型 则联立求解即可 且 I 和 II 0AX 0BX 有非零公共解 A rn B 2 给出系数矩阵 A 的具体形式 数字型 0AX 0BX 的基础解系 12s 则 I 和 II 0AX 0BX 有非零公共解 12 s AAA 线性相关 证明 和有非零公共解 0AX 0BX 12 s k kk 不全为零 使得 1 122 ss A kkk0 12 s k kk 不全为零 使得 1122 0 ss k Ak Ak A 12 s AAA 线性相关 3 给出的基础解系0AX 12t 0BX 的基础解系 12s 则 I 和 II 有非零公共解0AX 0BX 1212 ts s 线性相关 证明 由 1212 t s 线性相关 1212 t k kk l ll 不全为零 使得 1 1221 122 0 ttss kkklll 令 1 122tt kkk 则0 否则 1212 0 ts k kk l ll 全 且 1 122ss lll 张宇考研数学辅导系列 张宇 编讲 即一个非零向量 既可由 12t 表示 也可由 12s 表示 所以和 有非零公共解 0AX 0BX 若和有非零公共解 假设为0AX 0BX 0 则 1 122tt kkk 且 1 122ss lll 于是 不全为零 12 t k kk 12 s l ll 不全为零 使得 1 1221 122 0 ttss kkklll 从而 1212 ts 线性相关 例 设四元齐次线性方程组 I 为 123 123 230 20 xxx xxx 又另一四元齐次线性方程组 II 的一个基础解系为 TT 12 2 1 2 1 1 2 4 8 aa 当为何值时 方程组 I 与 II 有非零公共解 在有非零公共解时 求出全部非零 公共解 a 分析 由上述理论 1 2 23101 1 121121 1 a aa A 2 1 231020 121141 8 a a A 由