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2004 考研数学试题线性代数综述 例 1例 1 04 4 设 100 001 010 A APPB 1 其中 P 为 3 阶可逆矩阵 则 22004 2AB 中国考研网 制作 第 1 页 共 5 页 2004 年线性代数参考题综述 2004 年线性代数参考题综述 李永乐 李永乐 今年线性代数共有 20 个考题 但数学一与数学二有 4 个题完全一样 另一题 的题型仍是一样的 区别仅在方程组未知数的个数是n与 4 而数学三与数学四有 一个题完全一样 实际上有 14 个不同的考题 所涉及的知识点有 含参数的 3 阶 4 阶及n阶行列式的计算 通过矩阵方程转换到抽象行列式的 计算 矩阵方幂的计算 涉及相似 分块 对角等 初等矩阵性质的运用 矩阵等 价 AB 0 正交矩阵几何意义 秩的概念与性质 含参数向量的线性表出 由矩阵秩判断向量组线性相类 齐次 非齐次线性方程组求通解 解的性质的运用 基础解系中向量个数的 判定与求法 求矩阵的特征值与特征向量 相似对角化的判定与计算 实对称矩阵特征值 性质 由特征向量反求矩阵 A 二次型的秩 纵观 04 年考题 难度上比 03 年略有下降 要重视对基本概念 基本方法及 原理的考核 注重知识点的衔接与转换 试题的灵活性有所加强 从阅卷反映出的 问题看 有些同学复习备考不扎实 有动手晚仓猝上阵之嫌 有的考生计算能力 实在太差 基本计算错误屈层出不穷 也有些同学在概念 原理的理解上有偏差 逻辑推理不严谨 下面通过对几个考题的分析 希望对 05 年考研同学如何 复习线代能有所帮助 分析 分析 本题考查n阶矩阵方幂的计算 因为 10 01 01 10 01 10 01 10 2 利用分块矩阵的方幂 n n n B A B A 0 0 0 0 2004 考研数学试题线性代数综述 中国考研网 制作 第 2 页 共 5 页 易知 100 010 001 100 001 010 2 2 A 从而 EAA 100222004 那么 由APPB 1 有 PAPAPPPAPAPPAPPB 2111112 因此 EEPPPAPB 1200412004 故 100 030 003 100 010 001 2 100 010 001 2 22004 AB 例 2 例 2 04 设矩阵 矩阵 B 满足 1 2 100 021 012 A EBA 2ABA 其 中A 为 A的伴随矩阵 E是单位矩阵 则 B 分析 分析 由于 易具本题 A 3 用A右乘矩阵方程的 两端 有 EAAAAA ABEAABAB 2 363 3 2 33ABEA 又因 1 100 001 010 2 EA 故 B 9 1 评注 评注 填空题难度不大 计算量也不会太大 主要考查考生对基本概念 定义 公式 基本定理 基本性质和基本方法的识记 理解 掌握和简单运用 同时考查快捷准确运算能力和简单推理能力 鉴于此考生在复习时要注重基础 对 基本运算要正确熟练 要提高运算能力 不能华而不实 浮燥 例 3 例 3 04 设A B为满足AB 0 的任意两个非零矩阵 则必有 1 2 A A的列向量组线性相关 B的行向量组线性相关 B A的列向量组线性相关 B的列向量组线性相关 C A的行向量组线性相关 B的行向量组线性相关 D A的列向量组线性相关 B的列向量组线性相关 分析 分析 设A是矩阵 B是 nm sn 矩阵 且AB 0 那么 nBrAr 2004 考研数学试题线性代数综述 中国考研网 制作 第 3 页 共 5 页 由于A B均非零矩阵 故 nBrnAr 0 0 由秩的列秩 知A的列向量组线性相关 AAr 由秩的列秩 知B的行向量组线性相关 BBr 故应选 A 例 4 例 4 04 设n阶矩阵A与B等价 则必有 3 2 A 当 A a 时 A a 0 a B 当 A a 时 B a 0 a C 当 A 时 B 0 a D 当 A 0 时 B 0 分析 分析 所谓矩阵A与B等价 即A经初等变换得到B 而A与B等价的充 分必要条件是A与B有相同的秩 经过初等变换行列式的值不一定相等 也不一定是相反数 例如 若把矩阵A 的等 1 行乘以 5 得到矩阵B 那么A与B等价 而 A a时 B 5a 可知 A 与 B 均不正确 若 A 说明 而 B 0 说明r a nAr nB 与A B等价有相同的秩 不符 C 不正确 当 A a 秩 故秩 nAr nBr 那么 B 0 即 D 正确 评注 评注 选择题主要用于考查考生对数学基本概念 基本方法的掌握程度以 及比较 判别能力 还可以用于鉴别考生易于出现的方法和概念性错误 例 3 把AB 0 矩阵的秩 向量组的秩 向量组的线性相关性等概念串联 转换 例 4 把矩阵等价 行列式 矩阵的秩衔接起来 只有平时重视对概念的复习 多从不同的角度不同的侧面进行思考 接口切入点多了做题才能顺手 例 5 例 5 04 3 设 试讨论当a b为何值时 TTT babaa 2 2 1 3 2 1 0 2 1 321 T 3 3 1 I 不能由 321 线性表示 II 可由 321 惟一地线性表示 并求出表示式 III 可由 321 线性表示 但表示式不惟一 并求出表示式 解解 设有效使得 321 kkk 332211 kkk 记A 321 对矩阵 A 施以初等行变换 有 2004 考研数学试题线性代数综述 中国考研网 制作 第 4 页 共 5 页 3 3 3 230 222 111 baa baA 3 1 1 230 0 111 baa ba 0 1 1 00 0 111 ba ba I 当a 0 b为生意常数时 有 1 1 1 000 00 111 bA 可知 ArAr 故方程组 无解 不能由 321 线性表示 II 当 且时 0 aba ArAr 3 故方程组 有惟一解 0 1 1 1 321 k a k a k 则 可由 321 惟一地线性表示 其表示式为 21 1 1 1 a a a a III 当 0 ba 时 对 A 施以初等行变换 有 0 1 000 110 001 1 1 a a A 可知 ArAr 2 故方程组 有无穷多解 其全部解为 ckc a k a k 321 1 1 1 其中c为任意常数 可由 321 线性表示 但表示不惟一 其表示式为 321 1 1 1caac a a a 例 6 例 6 04 设矩阵的特征方程有一个二重根 求a的 值 并讨论A是否可相似对角化 1 2 51 341 321 a A 解解 A的特征多项式为 5 3 3 4 2 1 1 1 a5 3 0 4 2 1 1 2 a 2004 考研数学试题线性代数综述 中国考研网 制作 第 5 页 共 5 页 5 3 0 4 1 1 1 1 2 a5 3 0 1 3 0 1 1 1 2 a 3188 2 2 a 若 2 是特征方程二重根 则有 解得 03181622 a2 a 当时 A的特征值为 2 2 6 矩阵的秩为 1 故 2 a 321 321 321 2AE 2 对应的线性无关的特征向量有两个 从而A可相似对角化 若 2 不是特征方程的二重根 为完全平方 从而 解得 a3188 2 16 318 a3 2 a 当 3 2 a 时 A的特征值为 2 4 4 矩阵 11 301 323 4 3 2 AE 的秩为 2 故 4 对应的线性无关的特征向量只有一个 从而A不可相似对角化 评注 评注 解答题主要考查考生对数学的基本原理 方法 公式掌握和熟练运 用的程度 证明题主要考查考生对数学主要定理 原理的理解和掌握程度 例 5 线性表出是常规题 方法是基本的 例 6 考查含参行列式的计算 特征值 相似对角化的理论 综合性较强 从卷面看各种