量子随机行走在光子轨道角动量空间中的实现.pdf

1 量子随机行走在光子轨道角动量空间中的 实现 量子随机行走在光子轨道角动量空间中的 实现 张沛 王斐然 基金项目 高等学校博士学科点专项科研基金 新教师基金 20090201120052 作者简介 张沛 1982 男 副教授 主要研究方向 量子信息 E mail zhang pei 西安交通大学理学院应用物理系 5 摘要摘要 随着对于随机行走量子特性的研究 其与经典行走迥异的性质引起了广泛的关注 成 为大家研究的热点 在这篇文章中我们首先介绍量子随机行走的基本概念及其与经典行走的 区别 然后我们给出用光子轨道角动量实现量子随机行走的几种不同方案 关键词关键词 量子光学 量子随机行走 经典随机行走 光子轨道角动量 10 中图分类号中图分类号 Realization of quantum random walk in the photon s orbital angular momentum space ZHANG Pei WANG Feiran 15 Department of Applied Physics School of Science Xi an Jiaotong University Xi an 710049 Abstract With the research of quantum properties of random walk the difference between classical random walk and quantum random walk has caused a great deal of attention and become a research hotspot In this article firstly we introduce the basic concept of quantum random walk the difference between classical random walk and then we give several different schemes to 20 implement quantum random walk in orbital angular momentum space Key words Quantum optics quantum random walk classical random walk photon s orbital angular momentum 0 引言引言 25 随着人们研究的深入 量子效应在通信和信息处理等方面的应用引起了人们的广泛关 注 从而产生了量子信息科学这一新兴的学科 该学科利用量子体系的所独有的优越性 改 变我们现有的计算 编码 信息处理及传输过程 从而开发更高效 更安全的计算和通信功 能 1985 年 David Deutsch 在理论上提出了现代量子计算机的概念 1 随后许多人努力改进30 Deutsch 的初步成果 直到 1994 年 Shor 提出了使用量子算法在多项式时间内解决寻找整 数的素因子以及离散对数问题 2 而这些问题在经典计算机上没有有效的解法 至此真正证 明了量子计算机比图灵机更为强大 接着 1997 年 Grover 提出的新型量子搜索算法 3 解决 在没有结构的搜索空间上进行搜索的问题 该算法在量子计算机上可以被加速 虽然没有 Shor 算法那样明显的加速 但是由于搜索算法的广泛适用性 其仍被人们寄予很大的期望 35 虽然量子算法相对于经典算法具有很大的优越性 但是开发一个新的算法是一件很困难的事 情 在经典算法中 随机行走具有很重要的作用 它是理论计算科学的基础之一 在物理 化学 数学以及经济学的研究中被广泛的应用 最典型实例就是布朗运动了 那么人们很自 然的就会想到把经典随机行走与量子力学结合起来 形成了所谓的量子随机行走 而量子随 机行走作为经典随机行走在量子领域的一个推广 具有很重要的研究价值 引起了人们的广40 泛关注 除了在量子计算方面的应用之外 量子随机行走还可以应用于实现在光栅系统中的 2 拓扑相 4 以及量子相变等等 5 现在已经有很多研究小组通过不同的物理体系实现了量子随 机行走 最常见的比如离子阱体系 6 腔 QED 体系 7 线性光学体系 8 以及核磁共振系统 9 等等 45 1 经典与量子随机行走的基本理论经典与量子随机行走的基本理论 量子随机行走是经典随机行走运用量子叠加原理的推广 在这里我们首先介绍一下最简 单的一维的经典随机行走 然后我们再引入量子随机行走 经典随机行走最简单的例子就是 一个行走者手拿一枚硬币 首先我们假设行走者处于50 一维坐标轴的零点 行走者抛一枚硬币 该硬币正面向上或者正面向下的概率是相等的 都 是 1 2 如果该硬币正面向上 那么行走者向右走一步 如果硬币正面向下 那么该行走者 即向左走一步 如果我们不断的重复该过程 当这样抛了 t 次以后 行走者处在 x 位置的概 率为 55 11 1 22 2 22 t tt t t P x tx txtx 当 t 足够大时 该分布为一高斯分布 标准差为t 其平均位置为 0 图 1 量子行走 黑 与经典行走 红 150 步的模拟图 60 量子随机行走与经典随机行走的最大区别是 在经典中硬币有唯一确定的态 即向上或 者向下 但是对于量子硬币 它可能处在向上与向下的叠加态上 这是量子行走与经典行走 所最本质的区别 由此也导致了完全不同的结果 在量子行走中我们用 表示正面向上 行走者朝右走一步 表示反面向上 行走者向左走一步 我们选择初态为65 1 0 2 in i 其中0为行走者所在初始位置 然后我们用一个 Hadamard 变换来实现硬币的翻转 3 11 11 0 2 3 1122 in HHiH 然后根据硬币状态进行行走 即对 2 作用一个算符相关算符 S z ip Se 其中为 一维空间动量算符 是硬币在 z 方向的一个泡利算符 那么整个行走过程为 USH t70 次以后 末态为 t tin U 图 1 是在行走步数 t 150 时 经典随机行走与量子行走的一个概率分布曲线图 其中黑 线为量子行走 红线为经典行走 可以很明显的看出 量子行走的分布于经典的分布完全不 同 量子行走的分布出现两极化 在两侧都有极大值的峰 而经典则呈一个高斯分布 量子 行走的位置分布与初态的选择有着很大的关系 图 1 中出现的是一个对称分布 当硬币初态75 为向上时 那么只会在右侧出现一个极大值的峰 反之 则在左侧出现极大峰 而且对于量 子行走来说其分布的标准差为 3 5t 相比较经典行走的 t 具有明显的平方加速 这在 使用随机行走的搜索算法中会使得搜索效率大大提高 2 实验方案与讨论实验方案与讨论 80 光子是信息传递的重要载体 可以通过对光子的能量 线动量和偏振进行分析解码得 到它所携带的信息 而近年来光子的另一物理量 轨道角动量 orbital angular momentum OAM 引起人们的广泛关注 1992 年 Allen 等人 10 指出拥有方向角相位为exp im m 为任意整数 的近轴圆柱型光束在其传播方向上每个光子拥有离散的 OAM 值m 我们改变 m 的值 加 1 或者减 1 可以实现在 OAM 空间向右或者向左的行走 下面我们将给出利85 用光子轨道角动量实现量子随机行走的几种方案 2006 年 邹旭波等人 11 首先提出利用光子轨道角动量实现量子行走的方案 在他们方 案中仅利用分束器以及全息光栅 就实现了一维双态的 向左或向右 及三态 向左向右或 者静止 的量子行走 90 a b 图 2 一维双态量子行走装置图 a 一步行走示意图 b 装置级联图 图 2 中 a 中使用一个分束器 BS 实现投掷硬币的过程 然后后面的全息图 Holo1与95 Holo 1分别实现轨道角动量的加 1 与减 1 m 1 即向右或者向左的选择行走 b 中 G 也就是 a 中所示的装置 通过 N 个 G G1 G2 GN 的级联 实现一维双态的多步量子 行走 类比 a 中思路 也可以实现一个一维三态的量子行走 4 100 a b 图 3 一维三态量子行走装置图 a 一维三态一步行走示意图 b D3原理图 105 即通过三个分束器产生三条不同的路径 实现一个三态的硬币抛掷 然后在路径上面 通过全息图来实现在轨道角动量空间的量子行走 通过对 a 中装置的级联既可以实现多步 的三态随机行走 该方案使用线性光学元件 在光子轨道角动量空间实现量子行走的具体的 方案 其可扩展性要远远高于 2005 年 Binh Do 等人 12 进行的实验方案 这是由于在 Do 的 方案中每进行一步行走所需要的光学元件呈指数型增长 而该方案仅仅仅是线性增长 同时110 其稳定性也有明显的提高 2007 年 我们在实验上通过改进的光子轨道角动量分束器 BS 在实验上实现了轨道 角动量空间的量子行走 13 115 a b 图 4 一维量子行走装置图 a BS 示意图 b 级联行走示意图 图 4 a 即我们所提出的 BS 装置图 我们可以将其看作一个轨道角动量的分束器 同120 时该 BS 也实现了硬币投掷的过程 然后再经过全息图 Holo 1与 Holo 1实现行走 最后通 过后面的探测器 进行选择测量得出数据 下面是三步行走的结果 表 1 三步行走理论与实验结果结果 125 位置 3 2 1 0 1 2 3 理论概率 12 5 0 62 5 0 12 5 0 12 5 实验结果 12 4 0 3 0 281 0 005 61 4 1 5 0 332 0 007 13 4 0 3 0 136 0 003 12 1 0 3 可以看出实验值与理论的分布趋势是相同的 导致实验结果有偏差主要原因是由于单 模光纤耦合效率以及干涉的不完全性 但是我们仍旧能够看出量子行走与经典的明显区别 概率分布由于初态的选择 出现了极大的偏移 表现出了鲜明的量子特性 这个方案虽然实 现了量子行走 但是由于全息图片的效率问题 37 导致了实验所能实现的行走步数受130 到了很大的限制 2010 年我们又提出了使用 Q plate 来实现行走 14 此方案不仅极大的提高了所能进行 5 的行走步数 同时也提高了实验的稳定性以及可扩展性 这里简单的简述一下我们的原理以 及方案 首先 Q plate 是一个具有特殊结构的液晶板或者说是一个单轴双折射介质 其本质上135 是迟滞相位板 可以改变透过其的光子的轨道角动量 改变的大小由参数 q 决定 在这里我 们选择的是 q 0 5 的 Q Plate 每次可以使光子轨道角动量数加一或者减一 即实现 Holo 1 与 Holo 1的功能 相对于全息图来说 Q plate 的效率高达 97 下面就是我们的原理图 140 图 5 利用 Q plate 行走示意图 其中 Gray box 为 图 6 Gray box 原理图 145 如图 6 所示 Gray box 元件有两个半波片和一个四分之一波片以及一个 Q Plate 组成 通过一个半波片和四分之一波片来实现量子硬币抛掷过程 然后再经过 Q plate 实现行走 半波片用来恢复硬币状态 总的 Gray box 可以看做是一步行走的元件 我们将其级联起来 然后通过单模光纤将其耦合进单光子探测器进行测量 如图 1 就可以实现多步的量子行走 150 在该方案中我们可以通过两个四分之一波片与半波片的组合来产生不同的初态 从而 改变量子行走的概率分布 实现了可变初态的量子随机行走 在整个实验过程中 由于 Q plate 以及线性光学元件的很高的传递效率 使得该方案的效率非常高 经过计算在一般 的实验条件下可以实现 203 步的行走 相对于其他方案来说 最重要的改进有两点 一是效 率的提高 第二个就是稳定性的增强 该方案中没有 M Z 干涉仪的存在 相较于其他的方155 案增强了稳定性 而其的效率也要远远高于起一些没有使用 M Z 干涉仪的方案 同时可扩 展性也得到了很大的提高 最近 Sandeep 等人 15 也提出了利用 Q Plate 实现量子行走的方案 使用更为简洁的方法 来实现量子行走 160 图 7 Q plate 量子行走回路示意图 6 该方案通过 Q plate 以及一个四分之一波片 QWP 来实现硬币投掷以及行走的过程 然 后通过全反镜以及分束器形成回路 在回路里面循环一次就相当于进行一次行走 图中通过 探测器 D 可以实现对每一步行走的测量 也就是得到一个时间序列的输出结果 但是由于165 使用分束器使得实验的效率有所降低 所能实现的行走步数受到一定的限制 但是相对于之 前的一些方案还是有着一定的改进 实验的稳定性也有了保障 3 结论结论 利用光子的轨道角动量 我们给出了各种实现量子随机行走的方案 实现了在轨道角动170 量空间的量子随机行走 通过分析几种方案的优劣性 我们可以看出由于光学元件效率 稳 定性及扩展性的原因使得行走的步数受到了很大的限制 我们给出的第一个实验方案提出了 轨道角动量的分束器的概念 而第二个方案中我们引入了 Q plate 在很大程度上的增加了 所能行走的步数 同时也可以比较方便的改变初态的输入 以及调节硬币的状态可以实现非 均匀的随机行走 同时利用光子的轨道角动量我们也可以实现一些简单的量子门与量子算法175 16 参考文献参考文献 References 1 D Deutsch Quantum Theory the Church Turing Principle and the universal quantum computer Proc R Soc London A 400 97 1985 180 2 P W Shor in Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science IEEE Computer Society Press Los Alamitos CA 1994 p 124 3 L K Grover Phys Rev Lett 79 325 1997 4 Takuya Kitagawa Mark S Rudner Erez Berg Phys Rev A 82 033429 2010 5 C M Chandrashekar Raymond Laflamme Phys Rev A 78 022314 2008 185 6 Peng Xue B C Sanders and D Leibfried ibid 103 183602 2009 7 T Di M Hillery and M S Zubairy Phys Rev A 70 032304 2004 8 H Jeong M Paternostro and M S Kim Phys Rev A 69 012310 2004 9