01章 质点运动学 习题解答.pdf

第第1章章 质点运动学习题解答质点运动学习题解答 1 9 质点运动学方程为kjeier tt 2 22 求质点轨迹 求自t 1到t 1质点的位移 解 由运动学方程可知 1 2 22 xyzeyex tt 所以 质点是在z 2平面内 的第一像限的一条双曲线上运动 jeeieerrr 1 1 2222 ji 2537 7 2537 7 所以 位移大小 900arccos arccosz 45 2 2 arccos arccosy 135 2 2 arccos arccosx 22537 7 2537 7 2537 7 2222 r z r y r x yxr 轴夹角与 轴夹角与 轴夹角与 1 10 k tj tRi tRr 2 sin cos R为正常数 求t 0 2时的速度和加速度 ktjti tr 6 5 4 3 32 求t 0 1时的速度和加速度 写出正交分解式 解 kj tRi tRdtrdv 2 cos sin jRakiRv iRakjRvj tRi tRdtvda tt tt 2 2 sin cos 2 2 00 k tjdtvdaktj tidtrdv 36 9 18 9 3 2 kjakjivjaiv tttt 36 9 18 9 3 9 3 1100 1 12质点直线运动的运动学方程为x acost a为正常数 求质点速度和加速度 并讨论运动 特点 有无周期性 运动范围 速度变化情况等 解 tadtdvatadtdxvtax xxx cos sin cos 显然 质点随时间按余弦规律作周期性运动 运动范围 aaaavaaxa xx 1 13图中a b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x t图像 试说明每种运动的特点 即速度 计时起点时质点 的位置坐标 质点位于坐标原点的时刻 解 质点直线运动的速度 dtdxv 在x t图像中为曲线斜率 由于三种图像都是直线 因此三种运动都是匀速直线运动 设直线 与x轴正向夹角为 则速度txtgv 对于a种运动 stgtmxsmtgv xt 55 113020 20 3120 00 对于b种运动 stgtmxmstgv xt 32 1730 10 10 3 330 00 1 对于c种运动 mtgxstmstgv tx 254525 25 145 00 1 1 14质点从坐标原点出发时开始计时 沿x轴运动 其加速度ax 2t cms 2 求在下列两种情况下质点的运动学方程 出发后6s时质点的位置 在此期间所走过的 位移及路程 初速度v0 0 初速度v0的大小为9cm s 方向与加速度方向相反 解 2 0 0 2 2 0 tvvtdtdvtdtdtadv x t v v xxx x 3 3 1 0 0 2 0 0 0 2 0 ttvxdttdtvdxdttvdtvdx ttx x cmxtxtvv x 726 6 0 2 3 1 3 3 1 2 0 时 cmxSmxxx7272 0 6 路程 10 20 30 10 20 30 45 120 10 20 0 x m t s a b c ttxtvv x 9 99 3 3 1 2 0 时 cmxxx18 0 6 令vx 0 由速度表达式可求出对应时刻t 3 由于3秒前质点沿x轴反向运动 3秒后质 点沿x轴正向运动 所以路程 cm xxxxxxS 543618 393 218 3 2 6 3 6 0 3 3 3 1 1 15飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动 刚着陆时 t 0时速度为v0 且坐标x 0 假设 其加速度为 ax bvx2 b 常量 求飞机速度和坐标随时间的变化规律 解 btvdtbdvvdtbvdtadv x x v vx t v v xxxxx 0 0 1 0 22 btv v v v btv bt v bt vv x xxv0 0 0 0 00 1 1 11 11 1ln 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 btv b x btv btvd bbtv dtv dx btv dtv dtvdx ttx x 1 16在195m长的坡道上 一人骑自行车以18km h的速度和 20cm s2的加速度上坡 另一自行车同时以5 4km h的初速度和0 2m s2的加速度下坡 问 经多长时间两人相遇 两人相遇时各走过多长的路程 解 以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o x 用脚标1表示上坡者 用脚标2表示下坡者 两人的加速度实际上是相同的 2 21 2 0smaa smhkmvvsmhkmvv xxxxt 5 1 4 5 5 18 195 00 202101 202101 时 初始条件 根据匀变速直线运动公式 22 22 1 202 22 12 1 101 1 05 1195195 1 05 tttatvx tttatvx 令x1 x2 可求得相遇时间 5t 195 1 5t t 195 6 5 30s 对于上坡者 在相遇期间做的不一定是单方向直线运动 据上坡者的速度表达式 v1 5 0 2t 令v1 0 求得对应时刻t 25s 所以 上坡者在25s前是在上坡 但25s后却再下坡 因此 上坡者在30s内走过的路程 m xxxxxxS 65 301 0305 251 0255 2 30 25 2 25 30 0 25 22 1111111 对于下坡者 因为做单方向直线运动 所以30s内走过的路程 mxxxxS13560195 30 0 0 30 22222 1 17 电梯以1 0m s的匀速率下降 小孩在电梯中跳离地板0 50m高 问当小孩再次落到地板上 时 电梯下降了多长距离 解 以电梯为参考系 小孩相对电梯做竖直上抛运动 他从起跳到再次落到地板所需 时间 是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍 由自由落体运动公式 2 2 1 gth 可求得从最高出落到地板所需时间 shgt32 0 5 0 8 92 2 所以小孩做竖直 上抛所需时间为0 64s 在此时间内电梯对地下落距离 L 1 0 0 64 0 64 m 1 18 在同一竖直面内的同一水平线上A B两点分别以30 60 为发射角同时抛出两球 欲使 两小球相遇时都在自己的轨道的最高点 求A B两点间的距离 已知小球在A点的发射速 度vA 9 8米 秒 x 0 195 a1 a2 v10 v20 解 以A点为原点建立图示坐标系 取发射时刻为计时起点 两点间距离为S 初始 条件如图所示 据斜抛规律有 gtvvgtvv Stvxtvx BOByAOAy BOBAOA 60sin30sin 60cos30cos 满足题中条件 在最高点相遇 必有vAy vBy 0 xA xB mctg g v S tvvS vvgvt AO BOAO AOBOAO 83 2 605 030 cos 2 60cos30cos 60sin 30sin 30sin 0 2 代入 中得 把 得令 令 1 19 迫击炮的发射角为60 发射速率150m s 炮弹击中倾角为30 的山坡上的目标 发射点正 在山脚 求弹着点到发射点的距离OA 解 以发射点为原点 建立图示坐标o x 斜抛物体的轨迹方程为 见教材 2 2 2 0 cos2 x v g xtgy 本题 60 v0 150m s A点坐标xA yA应满足轨迹方程 所以 2 2 0 2 2 2 0 2 3 60cos2 60 AAAAA x v g xx v g tgxy 另外 根据图中几何关系 可知 OAOAxA 2 3 30cos OAOAyA 2 1 30sin 代入 中 有 m g v OAOA v g OAOA1531 8 93 1502 3 2 2 3 2 2 0 2 2 0 2 3 2 1 1 20列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶 在我们所讨论的时 间范围内 其运动学方程为S 80t Y vAO vBO 30 60 A S B x x y A 60 30 v0 东 北 O S a an a v t2 m s t 0时 列车在图中O点 此圆弧形轨道的半径r 1500m 求列车驶过O点以后 前进至1200m处的速率及加速度 解 S 80t t2 v dS dt 80 2t 令S 1200 由 可求得对应时间 ssttt20 60 0120080 2 求得 将t 60代入 中 v 40 不合题意 舍去 将t 20代入 中 v 40m s 此即列车前进到1200m处的速率 152 2 067 1 267 2 067 1 2 067 1 1500 40 2 222 22 2222 arctg a a arctgva smaaa smrvasmdtdva n n n 所成夹角 与 1 21 火车以200千米 小时的速度驶入圆形轨道 其半径为300米 司机一进入圆弧形轨道立即 减速 减速度为2g 求火车在何处的加速度最大 最大加速度是多少 解 沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o s t 0时 s 0 v v0 200km h 55 56m s 据题意a 2g v v0 a t v0 2g t an v2 R v0 2gt 2 R a a 2 an2 1 2 4g2 v0 2gt 4 R2 1 2 显然 t 0时 a最大 22 4 0 2 max 1 22 4smRvga 1 22斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动 当斗车达到图中所示位置时 轨道曲 率半径为150m 斗车速率为50km h 切向加速度a 0 4g 求斗车的加速度 解 2 92 3 8 94 04 0smga 22 3600 1050 2 286 1 150 3 msvan nnaaa n 286 1 92 3 222 22 126 4 286 1 92 3 smaaa n n a 30 加速度a 与切向单位矢量 夹角 16 18 92 3 286 1 arctgarctg a an 1 23 飞机在某高度的水平面上飞行 机身的方向是自东北向西南 与正西夹15 角 风以100k m h的速率自西南向东北方向吹来 与正南夹45 角 结果飞机向正西方向运动 求飞机 相对于风的速度及相对于地面的速度 解 风地机风机地 vvv 由矢量图可知 15sin135sin30sin 风地机风机地 vvv 其中 v风地 100km h 27 78m s 可求 得 smvvsmvv 67 53 15sin 30sin 89 75 15sin 135sin 风地机地风地机风 1 14 一卡车在平直路面上以恒速度30米 秒行驶 在此车上射出一个抛体 要求在车前进60米时 抛体仍落回到车上原抛出点 问抛体射出时相对于卡车的初速