数学分析期末论文.pdf

云南大学云南大学 数学分析习作课 数学分析习作课 3 3 读书报告 读书报告 论文论文摘要摘要 本文主要对 数学分析 下 中所学习的基本理论知识进行相关的系 统总结及实例应用分析 论文关键词论文关键词 数学分析 系统总结 实例应用分析 论文正文论文正文 正文正文引言引言 在我们学习数学分析的时候 很容易急躁 急躁的原因是因为我们很 难掌握数学分析这门知识 数学分析的特点就是枯燥 尤其是在不深入挖 掘的情况下 但是 数学分析却是我们学习物理专业的学科基础 直接关 系到我们的其他理科学科 那么 我们必须要学习好这门知识 而学习数 学分析这门知识并不是索然无味的 实际掌握这门学科 就不能眉毛胡子 一把抓 而应该掌握一些学习数学分析的基本的方法 形成一种分析性的 思维方式 深入了解之后 加上一些必要的习题 相信就会对数学分析产 生一些相应的兴趣 毕竟 数学分析是一种体现分析的理性之美的学科 是一门很锻炼思维的理性学科 下面 我将会根据自己所学所感 对我所 学习过的 数学分析 进行相关的系统总结及实例应用分析 提出提出问题问题 如何进行数学分析的学习 如何对数学问题进行分析 分析问题分析问题 在学习数学分析中 我们首先接触到的就是关于数学名词的概念问题 那么毫无疑问 深入了解概念就会是我们学习掌握数学分析的第一要务 在掌握了概念之后 接下来就是我们的运算能力了及对数学符号的熟识程 度 然后就是我们在学习及做题中学习实践的做题技巧 这一项可以体现 我们的思维有没有形成数学分析思维了 也体现我们对数学分析的概念 定理及推论的理解掌握情况 一 数学分析中的概念掌握 概念是抽象的 普遍的想法 观念或充当指明实体 事件或关系的 范畴或类的实体 在数学分析中的概念不是独立存在的 而是具有叠加 性的 也可以说是数学分析中的概念链接性很强 学习认识概念需要长 期的实践 才会真正的了解掌握 才会随着知识的增长不断的深入了解 概念的本质 既然数学分析概念具有相当强的连接性 我们就可以根据我们所学 习的概念 建立一个数学分析概念网 数学分析是一个个概念的点阵 所有相关的 丛属的概念要在头脑中形成一个网络 才会建立一个清晰 地脉路 学习了解数学分析的概念时 还要多方向深入认识 对于相似 的 类似的概念或者概念的内部关系认识不清 会不利于理解概念 实例分析 级数收敛定义 若级数 un n 1 的部分和数列 Sn 收敛于有限值 S 即 lim n Sn lim n uk n k 1 S 则称级数 un n 1 收敛 记为 un S n 1 并称此值 S 为级数的和数 若部分和数列 Sn 发散 则称级数 un n 1 发 散 当级数收敛时 又称 rn S Sn un un 1 un 2 un 3 k n 1 为级数的余和 该关于级数的敛散性的定义可以联系推出柯西收敛原理 也就是说 柯西收敛原理的本质就是敛散性的定义 级数 un n 1 收敛的充要条件是 对任意给定的正数 总存在 N 使得当n 时 对于任意的正整数 p 1 2 3 都成立着 un 1 un 2 un p 分析判断级数 1 n2 n 1 的收敛性 解 要判断该题的敛散性 那么就必须要从定义出发 使得存在一 个数值Sn 使得有 Sn p Sn 存在 N 当n 为任意实数 式 子成立 对于任何正整数 p Sn p Sn 1 n 1 2 1 n p 2 1 n n 1 1 n 1 n 2 1 n 2 2 1 n p 1 n p 1 n 1 n p 0 存在N 1 当n 时 对任何 p 1 2 3 总 是成立 Sn p Sn 1 n a 在区间 a A 上可积 当极限 lim A f x dx A a 存在时 称这极限值为f x 在区间 a 上 或是从 a 到 的反常积分 记作 lim A f x dx A a f x dx a 这时也称积分 f x dx a 是收敛的 它的值就是上述极限值 如果上述的 极限不存在 称积分 f x dx a 是发散的 又会类似级数的柯西收敛原理会得到反常积分的柯西收敛原理的 概念如下 f x dx a 收敛的充要条件是 对任意给定的 0 存在A 0 当 A A 时 总有 f x A A dx f x 在 a A 可积 并 且 f x dx a 收敛 我们就称 f x dx a 绝对收敛 收敛但是不绝对收敛 的反常积分叫做条件收敛 例题 讨论 dx xp a a 0 的收敛情形 这里的 p 是实数 解 设p 1 dx xp A a 1 1 p x1 p A a 1 1 p A 1 p a1 p Ip A 可见 lim A Ip A p 1 当p 1时 dx x lnA lna A a A 所 以 积 分 dx xp a a 0 当 p 1 时收敛 并且有 dx xp a 1 p 1 a1 p 当p 1时积分发散 而一致收敛又会分为收敛和一致收敛 由此要引出一致收敛的概念 会发现与前面的收敛定义相似 一 致 收 敛 的 概 念 设 有 函 数 列 Sn x 或 函 数 项 级 数 un n 1 x 的部分和序列 若对人给的 0 存在只依赖于 的正整 数N 使得n 时 不等式 S n x S x 对函数项级数 此时也可以写为 rn x uk x k n 1 0 可得正整数N N 使得 n N 时 不等式 Sn p x Sn x 0 存在A0 此A0 仅于 有关 当 A A A0时 对一切y c d 成立 f x y dx A A 或 f x y dx A 0 常存在A0 使当A A0时 f x y dx A 对 c d 上一切 y 成立 因此当y y在 c d 上时 也对一切 y成立 f x y y dx A 0 存在 0 使当 y 时 f x y y dx f x y dx A a A a 因此 当 y 时 成立着 un n q 1 q 为某确定的常数 则级数 un n 1 收敛 若从某 一项起成立着 un n 1 则级数 un n 1 发散 2 对于正项级数 un n 1 设 r lim n un n 那么 当r 1时 此级数为发散 而当r 1 时 此级数的收敛性需要进一步判定 3 设 x a 是 f x 的奇点 如果 f x c x a p c 0 p 0 p 1 那么 f x dx b a 发散 柯西判别法的极限形式为 设 lim x a x a p f x k 如果0 k p 1 那么 f x dx b a 绝对收敛 如果0 p 1 f x 在区间 a b 内的符号不改变 那么 f x dx b a 发散 魏尔斯特拉斯判别法 1 如果对充分大的 n 恒有实数an 使得 un an对 X 上的任意的 x 都成立 并且数项级数 an收敛 则 un x 在 X 上一致收敛 2 设有函数 F x 使得 f x y F x a x 0 有A0 使得 当A A A0时 F x dx A A 0 使得当 x 等于正整数 n 时 其函数值 恰 为 un 亦 即 f n un 那 么 级 数 un n 1 与 数 列 An 这 里 An f x dx n 1 同为收敛或者同为发散 例题 考察级数 1 np n 1 的敛散性 p 1 这个级数通常称为关于 p 级数 解 作f x 1 xp 考虑积分 p 1 lim n 1 xp n 1 dx 1 1 p lim n n 1 p 1 1 1 p 当 p 1 收敛 当 p 1 发散 而当 p 1 时 级数 1 n1 n 1 已知是发散的 因此对于 p 级数来说 当 0 1 时 级数收敛 柯西判别法 如果 f x c xp p 1 那么 f x dx a 绝对收敛 如果 f x c xp p 1 f x 自某一值起就会保持定号 那么积分 f x dx a 发散 柯西判别法的极限形式 如果 lim x f x 1 xp lim x xp f x l 0 l 1 那么积分 f x dx a 绝对收敛 如果 lim x f x 1 xp lim x xp f x l 0 l a F A f x dx A a 有界 f x dx A a K g x 单 调且当x 时 趋向于零 那么积分 f x g x dx a 收敛 证 明 因 为 g x 0 x 故 对 任 何 0 有 A0 当 A A0时 g A g A 又因 f x dx A a K 所以 f x dx A f x dx a f x dx A a 2K 同样会有 f x dx A 2K 利用第二中值定理 得到只要A A A0 就有 f x g x dx A a g A f x dx A g A f x dx A 4k 所以 积分 f x g x dx a 收敛 阿贝尔判别法 设 f x y dx a 关于y c d 为一致收敛 g x y 对 x 单调 既是对 每个固定的y c d g x y 作为 x 的函数是单调的 并且关于 y 为一 致有界 即存在证书 L 对所讨论的范围内的一切 x y 成立 g x y 那么积分 f x y g x y dx a 关于 y 在 c d 上一致收敛 狄利克雷判别法 设积分 f x y dx A a 对于A a和y c d 一致有界 即存在正数 K 使 得对上述的 A y 成立 f x y dx A a K 又g x y 关于 x 为单调 并且当x 时 g x y 关于 c d 上的 y 一 直趋于零 既是对任意给定的正数 有A0 当x A0时 对一切y c d 成 立 g x y 那么积分 f x y g x y dx a 关于y c d 上一致收敛 P259 达朗贝尔判别法 设 un n 1 为正项级数 若从某一项起成立着 un un 1 q N 则级数设 un n 1 收敛 若从某一项起 un un 1 1 n N 则 级数 un n 1 发散 对于正项级数 un n 1 当 lim n un un 1 r 1 时 级数 un n 1 发散 而当 r 1 或者 r 1 时 级数 un n 1 的敛散性需进一步判断 例题 判定考察级数 n ns n 1 s 0 0 的敛散性 解 应用达朗贝尔判别法来解决该题 lim n un 1 un lim n n 1 n 1 s ns n lim n n n 1 s 因此 当 0时级数发散 而当 0时 级数 为 1 ns n 1 它的敛散性需要进一步的判断 运用柯西积分判别法 阿贝尔判别法 如果 i 级数 bn n 1 收敛 ii 数列 an 单调有界 an k n 1 2 3 则级数 anbn n 1 收敛 狄利克雷判别法 i 级数 bn n 1 的部分和Bn有界 Bn M n 1 2 3 ii 数列 an 单调趋于零 则级数 anbn n 1 收敛 第二中值定理 设 f x 在 a b 上可积 而 g x 在 a b 上的单调 那么在 a b 上存在 使 f x g x dx b a g a dx a g b dx b 1 特别的 如果 g x 单调增加且g a 0 那么有 使得 f x g x dx b a g b dx b 2 如果 g x 单调递减且g b 0 那么有 使得 f x g x dx b a g a dx a 3 三 做题技巧的熟练 如果从做题的方式来进行分 我会将平时的习题分为两种 一种是 每天要一丝不苟的认认真真的做的习题 这种习题主要是为了练习自己 的笔头功夫和书写能力 另一种是每天抽出一定的时间来浏览若干习题 这类习题主要是为了锻炼自己的思维能力的 我的具体做法是无需动笔 眼睛看着习题大脑中迅速掠过这道题的思路 做法 实例分析 1 例题 考察级数 1 np n 1 的敛散性 p 1 这个级数通常称为关 于 p 级数 解 作f x 1 xp 考虑积分 p 1 lim n 1 xp n 1 dx 1 1 p lim n n 1 p 1 1 1 p 当 p 1 收敛 当 p 1 发散 而当 p 1 时 级数 1 n1 n 1 已知是发散的 因此对于 p 级数来说 当 0 1 时 级数收敛 2 讨论 dx xp a a 0 的收敛情形 这里的 p 是实数 解 设p 1 dx xp A a 1 1 p x1 p A a 1 1 p A 1 p a1 p Ip A 可见 lim A Ip A p 1 当p 1时 dx x lnA lna A a A 所 以 积 分 dx xp a a 0 当 p 1 时收敛 并且有 dx xp a 1 p 1 a1 p 当p 1时积分发散 3 设是上的非负减函数 那么 级数与反常积分 同收同发 因为是 上的非负减函数 所以 在上可积 f x 1 f n 1 df xx f x 1 1 A f x 1 A x y yf x f n 1 f n 1 O1n n 从而 于是 故结论成立 4 如果对任何 A a F A f x dx A a 有界 f x dx A a K g x 单调且当x 时 趋向于零 那么积分 f x g x dx a 收敛 证 明 因 为 g x 0 x 故 对 任 何 0 有 A0 当 A A0时 g A g A 又因 f x dx A a K 所以 f x dx A f x dx a f x dx A a 2K 同样会有 f x dx A 2K 利用第二中值定理 得到只要A A A0 就有 f x g x dx A a g A f x dx A g A f x dx A 4k 所以 积分 f x g x dx a 收敛 5 若数列 an 单调趋于零 那么级数 ansinnx n 1 和 ancosnx n 1 前者对任何的x都收敛 后者对任何的x 2k 1都收敛 而当x 2k 1 时 需 要根