《三角函数及解直角三角形》总结.doc

、三角函数及解直角三角形知识点总结 济宁附中 李涛 、本章知识结构框图：、正弦、余弦、正切、余切的概念 如图，在ABC中，C=90 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即 锐角的正弦、余弦、正切、余切都叫做的三角函数。注意它们的变形. 注意：（）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义； （）不是与的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“”表 示一个比值， （）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。等角的三角函数相等2、特殊角的三角函数值性质：增减性：（）当时， 、 随着的增大而增大 随着的增大而减小 （）当时， 、 的值越大，梯子越陡； 的值越小，梯子越陡.三角函数关系：弦之间：（）平方关系： （为锐角），即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于； （）正余弦互换关系：若 则 sinA=cos(90A)，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 cosA=sin(90A)，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值切之间： （1）倒数关系：tanAtan(90A)=1弦切间： （1）商的关系：tanA=注意：（）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形.（）是（）的简写，读作“”的平方；不能将写成，3、解直角三角形的概念及基本类型（）概念：在直角三角形中，用除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。注意：在直角三角形中，除直角外，一共有个元素，即条边和个锐角。（）解直角三角形的两种基本类型已知两边长；已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。4、解直角三角形的依据-边角关系 5、解直角三角形的方法1.根据已知所求选择适当的三角函数“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），”2.宁乘毋除，取原避中，3.转化角-相等的角，三角函数也相等6、解非直角三角形的方法对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，-”化斜为直”转化思想作辅助线的一般思路是： （1）作垂线构成直角三角形； （2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边，菱形对角线互相垂直。作辅助线的一般原则： 尽可能的把特殊角，（已知条件，所求边角）放在构造的直角三角形中，使其作为直角三角形边角或边角的一部分.注：辅助线形式不唯一，可作在在内部，也可在外部；可做一条，也可做多条。补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。-列方程思想7、解直角三角形的实际应用的步骤（）审题分析题意，理解实际问题的意义，看懂题目给出的示意图或自己画出的示意图，找出要解的直角三角形；把实际问题中的数量关系，转移（标）到直角三角形的各元素上，分析图形，找出已知元素和未知元素；根据已知元素和未知元素之间的关系，选择合适的三角函数关系式。（）解题 注意精确度（）答注意答的完整及注明单位8.对实际问题的处理（1）俯、仰角.（都是与水平线的夹角） （2）方位角、象限角.（注意站在那个位置观察）（3）坡角、坡度.（与正切关系，及变化）直角三角形的知识的应用：1)测量物体高度.2)有关航行、台风、修路问题.3)计算大坝坝体或边路的坡度等问题.（4）摆线问题 （摆角）. （5）影子问题 . （6）遮阳篷问题-等等都最终转化为解直角三角形.9.测量物体高度的方法工具：侧倾器（用法，读法，原理）测量分类：（1）测量底部可以到达的物体的高度步骤（示意图，原理）； （2）测量底部不能到达的物体的高度方法（示意图，原理）、本章数学思想方法：数形结合思想：此部分内容经常用到数形结合思想，对于每一个题都可结合图形分析，会更清楚简捷。数与形相结合，使问题清晰，思路简捷有条理，是几何知识中最常用的思想方法之一，也是最应该坚持实施的方法。从特殊到一般的归纳思想：锐角三角函数中包含了特殊角的三角函数值，对于三角函数之间的关系和转化，都可从特殊角开始。转化思想：（1）把直角三角形的线段比，转化为三角函数值或面积的比。（2）把解斜三角形转化为解直角三角形.数学的建模思想：实际应用，即将实际问题“数学化”，建构数学模型（示意图），构造直角三角形来解决问题。注：对于字数多，信息量大的题目，同学们要有信心读下去，不懂就多读几遍，边读边思考.ACBD直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：C=90A=30BC=AB3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示：ACB=90 D为AB的中点 CD=AB=BD=AD 4、勾股定理：5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边