中考数学专家讲坛87 从一道高考题的解答谈分类讨论思想素材(PDF).pdf

数学通报2 0 0 6 年第4 5 卷第1 期 从一道高考题的解答谈分类讨论思想 孙芸 江苏省海门锡类中学2 2 6 1 0 0 2 0 0 5 年江苏高考卷的第2 2 题是一道以研究函 数性质为载体 重点考查学生分类讨论思想方法掌 握情况的经典题目 题目难度不算大 从考后与学 生的交流当中得知 许多学生由于弄不清解答过程 中的错综复杂的分类讨论而中断解题思路 究其原 因 是由于对分类讨论思想方法掌握的不透彻造成 的 分类讨论既是一种重要的数学思想方法 又是 一种重要的解题策略 正确而恰当的分类是掌握分 类讨论的关键 本文结合这道高考题的分析过程谈 一谈分类讨论思想方法在解题中的具体运用 考题 2 0 0 5 年江苏高考卷第2 2 题 已知o R 函数 戈 戈2I 艽一aI 1 当口 2 时 求使厂 茗 成立的菇的集 合 2 求函数Y 厂 石 在区间 1 2 上的最小值 思路 1 略 2 先运用分类讨论思想方法脱 去绝对值符号 再利用导数法求出函数 厂 石 的单调 区间 最后利用单调性求出函数 厂 算 的闭区间 1 2 上的最小值 下面只就第 2 小问作分析 1 弄清分类原因 找准分类对象 解析由于已知函数厂 咒 髫2I 戈一口I 中含 有绝对值符号 不能直接对它进行统一研究 故脱 去绝对值符号转化为三次函数是本题分类的首要 原因 要脱去绝对值符号 就要看石与口的大小关 系 故菇与口都可以作为分类的对象 若对z 分类 则属于对定义域分段讨论 若对口分类 则属于对 字母参数分类讨论 由于研究函数的性质是在整个 定义域内进行的 故划分定义域不是上策 从而参 数 被首选为本题一级分类的对象 评注 当研究的问题当中含有变化不定的动 态因素 属于不确定问题 不能用同一种方法解决 或同一种形式叙述时 需要对问题进行分类讨论 一般说来 分类的原因有两个 一是被动分类 即我 们研究的对象 概念 性质和法则 问题的条件 本 身就是分类的 也就是说问题的提出已经包含了分 类的原因 二是主动分类 即问题本身并不包含分 类的因素 只是我们为了解决问题的需要 将面对 的情况划分成几类 以适合不同的原理或法则的条 件 分门别类地采用不同的方式解决问题 分类对 象往往根据问题的需要而定 一般情形下 导致问 题不确定的那个变化不定的动态因素往往就是一 个分类的对象 问题情境发生变化 分类对象也会 发生变化 2 选择分类标准 正确作出分类 解析 弄清了分类原因 确定分类对象为口 后 以什么标准对口进行分类呢 按以上分析自然 想到以菇为标准 将a 的范围分两类 o 算和口 戈 这种二分法尽管可以达到脱去绝对值符号的目 的 但由于髫是闭区间 1 2 上的一个变量 具有不 确定性 可能导致继续分类时层次的复杂 故不宜 选择龙为分类标准 注意到函数 厂 茗 的定义域为闭 区间 1 2 可以选择闭区间的两个端点1 2 作为分 类标准 将口的范围分三类 口 1 1 口 0 x 1 2 所以 厂 戈 在区间 1 2 上递增 所以八戈 曲 1 1 一n 评注分类的标准通常意义下是指 变化不定 的动态问题通过分类使之转化为相对稳定的静态 问题时的分类对象的临界值 它是一个相对不变的 常量 本题中的闭区间端点1 2 就是一个分类标准 万方数据 2 0 0 6 年第4 5 卷第1 期 数学通报5 5 分类标准是根据问题的需要而设定的 一般情形 下 不同的问题情境 有不同的分类标准 对问题进 行分类时 一要注意分类标准的同一性 即每次划 分的标准要一致 不能在同一次划分中用两个或两 个以上的标准进行分类 否则会引起混乱 二要注 意分类的完整性和互斥性 即对数学问题中的各种 情况要分得完全 即它们的并集为全集 不漏 同 时各个子类必须排斥 即它们的交集为空集 不 重 本题所分的三类 o 1 1 口 2 口 2 满足 完整性和互斥性 3明确分类层次 优化分类顺序 解析受思维定势影响 当1 口 2 时 还是 优先考虑脱去绝对值符号 但此时由于x o 符号 不能确定 故又需要将1 o 2 这一类分为几个小 的子类来求解 注意到影响算一 符号变动的因素 是菇与口的大小关系 于是产生了二级分类 1 口 菇 2 和1 菇 口 2 2 当1 口 2 时 2 1 当1 口 并 2 时 以戈 在闭区间 口 2 上的最小值为0 2 2 当1 咒 口 2 时 以算 一并3 戤2 戈 一3 x 2 2 a x 令 并 0 得x 0 菇2 警 为了判断 厂 髫 在二级子类定义域 1 1 7 上的增减性 必须考 察髫l 0 髫2 竿是否属于区间 1 口 为此需要判 断菇1 0 髫2 警与1 口的大小关系 由1 口 2 可确定菇1 0 不属于区间 1 o 又等 2 了a 号 故髫2 等是否属于区间 1 o 由 的取值范围 确定 由弩 1 得 吾 由1 弩 得口 寻 由笔 口得 无解 于是产生了如下的三级分类 2 2 1 当1 o 0 2 2 2 当音 口 0 综合2 2 1 2 2 2 得2 2 的结果 当1 o o 再综合2 1 的结果 当1 o 2 时 f 髫 在闭区间 口 2 上的最小值为0 得2 的结果 当1 口 2 时 以菇 在闭区间 1 2 上的最小值为0 评注1 o 2 这一子类的求解使我们进一 步认识到分类的标准是根据需要确定的 另外 当 分类的原因或分类的对象不止一个时 一般还需要 多级分类 或称为 多层 分类 即根据需要在每个 类中 还可以继续划分更小的类 直到每一类中都 能使问题得到解决为止 值得注意的是 每一级的 分类都要遵循分类标准的同一性以及分类的完整 性和互斥性原则 同时要理清大小类之间的层次关 系 尽量使分类顺序得到优化 分类顺序应按由简 单到复杂 由少到多来优化 值得一提的是 上述思路尽管比较繁琐 却是 一种常规解法 尤其对考生来说 更为自然 参考答 案提供的解法如下 当1 口 2 时 在区间 1 2 上 以菇 石2I 菇一口I o 又以口 0 故人菇 响 厂 口 0 笔者认为这个解法虽然简单 但由于 受口 1 时解答思路的影响 对大多数考生而言 可 能直觉不到 少数思维比较灵活的考生是能想到 的 这是一道区分度较高的试题 解析 3 当o 2 时 八髫 一戈3 僦2 并 一3 戈2 2 僦 令 菇 0 得髫l 0 菇2 等 与2 2 作同 样思考 产生二级分类 3 1 当2 a 3 时 1 号 弩 2 此时以菇 在区间 1 弩 上 递增 在区间 警 2 1 上递减 所以八石 的最小值应为 1 与 2 中较小的 一个 下面比较f 1 与1 2 的大小 又 1 一 2 口一1 一 4 a 一8 7 3 a 厂 1 与 厂 2 的大小应由7 3 口的符号确定 而影 响7 3 0 符号变化的因素是o 于是产生如下的三 级分类 3 1 1 当2 o f 2 以石 晌 以2 4 a 一8 3 1 2 当寺 口 3 时 以1 1 2 八戈 曲 f 1 口一1 3 2 当口 3 时 以戈 在区间 1 2 上最小值 为a 一1 万方数据 5 6数学通报2 0 0 6 年第4 5 卷第1 期 现代分析学之父 魏尔斯特拉斯 杨红萍 山西师范大学数计学院0 4 1 0 0 0 卡尔 魏尔斯特拉斯 W e i e r s t r a s s K a r l W i l h e l m 是德国数学史上一位伟大的数学家 1 8 1 5 年1 0 月3 1 日生于德国威斯特法伦州的奥斯滕费尔 德 1 8 9 7 年2 月1 9 日卒于柏林 魏尔斯特拉斯的父亲 威廉 W i l h e l m 是一名政府官员 受过高等教育 颇 具才智 但对子女相当专横 魏尔斯特拉斯1 1 岁时 丧母 翌年其父再婚 幸遇名师1 8 2 9 年魏尔斯特拉斯考入波恩的 天主教文科中学 该校创建于公元8 2 0 年 历史悠 久 他成绩优异 年年得奖 在拉丁文 希腊文 德文 和数学四科中 表现尤其出色 1 8 3 4 年夏毕业时 他 是获得甲等毕业文凭的三人之一 其父威廉要孩子 长大后进入普鲁士高等文官阶层 因而于1 8 3 4 年8 月把魏尔斯特拉斯送往波恩大学攻读财务与管理 使其学到充分的法律 经济和管理知识 为谋得政 府高级职位创造条件 魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所 选专业 大学四年以酗酒 击剑度过 毕业时未取得 学位 1 8 3 9 年5 月2 2 日魏尔斯特拉斯在父亲朋友的引 见下到蒙特斯附近的神学哲学院学习 在该院他遇 见了使他终身铭记的古德曼 G u d e r m a n n 古德曼热 衷于研究椭圆函数 其基本思想是把函数展开为幂 级数 这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石 1 8 3 9 1 8 4 0 学年上学期 听古德曼第一堂课的有1 3 人 可第二堂起只剩下魏尔斯特拉斯一人 师生促 膝谈心 相处融洽 古德曼还为这位唯一的学生讲 授解析球面几何学 初露锋芒1 8 4 1 年至1 8 5 4 年魏尔斯特拉斯在 乡村中学当教师 利用业余时间刻苦钻研 他写了4 篇论文 关于模函数的展开 单复变量 其绝对值 介于给定的两个界限之间 解析函数的表示 幂 级数论 和 借助代数微分方程定义单变量解析函 数 这些早期论文已显示了他建立函数论的基本 思想和结构 1 8 4 2 年 魏尔斯特拉斯除了教数学 物理外 他 还教德文 历史 地理 书法 植物 1 8 4 5 年还教体 育 繁重的教学工作使他只能在晚上钻研数学 魏 尔斯特拉斯仍孜孜不倦地研究数学 经常达到废寝 忘食的程度 有一天早上 他该去上课的教室中起 了骚动 校长走去一看 原来是教师未到 校长赶快 去魏尔斯特拉斯的寝室 发现他还在烛光下苦苦思 索 根本不知道天色早已大明 1 8 5 0 年起 他患了眩 综合3 1 3 2 得3 的结果 当2 号时 戈 在区间 1 2 1 上最1 J z 1 功4 口一8 当 了7 时 八石 在区间 1 2 上最小值为a 一1 最后综合1 2 3 的结果得原问题的答案 1 一o n 1 0 1 a 2 4 一8 2 吾 口一l 了7 本文就今年江苏卷一道高考题的解答分析 探 讨了分类讨论思想方法运用时的几个问题 可以看 出本考题是一道错综复杂的