第15讲 同态与不变子群.doc

第 15 讲11 同态与不变子群（Homomorphism and normal subgroup) 本讲的教学目的和要求：在上讲中我们已经了解到：对群的任一个不变子群，都可极其自然地得到一个新的群商群。由此，我们都不会怀疑与商群具有密切的联系。而本节的基本内容就是要揭示这个内在联系群的同态基本定理。该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位。在本节中，我们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。群的同态象可以设想是的一个“粗略”的模型；忽略了中的某些元素间的差异而又维持了中的运算关系。都知道，两个群之间的关系只有同态关系，于是我们有（）到有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（）到有满同态，则意味着就是的商群（在同构下）；（）到有非单非同态，则在同构意义下意味着的一个商群与的一个子群一样。上述存在的关系就是本节的重点。为此需要弄清：1、每一个同态核都是不变子群（这与同态是否为单、满无关）2、利用自然同态得到：每个同态象都是商群，如何理解。3、真正了解“同态三角形”的可交换问题。4、子群（不变子群）的同态象和同态完全原象之间的联系。本讲的重点和难点：本节是以子群和商群为基本语言，用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。所以领会其理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。一、群同态及同态核定义1：设是一个群同态映射，（即），那么的单位元的全部原象（逆象）作成的集合叫做的核，记为。即 .结论1：设是群同态映射，那么.证明：设.故.由上知.由上知结论2：设是的群同态映射的核，那么是单同态.证明：. .而显然且.于是.但是单射.由的任意性知. 设且有,即 .即. 是单射.二、群的同态基本定理（FHT）定理1 设为群，而是的任一个不变子群，那么必有群同态满射，其中：.证明：显然（这里与教材一致，用左陪集的形式出现）是一个映射，（因为以为代表元的做陪集的唯一确定的）又因为，那么是满射最后, 即一个群同态满射，即，或者说，是的同态象，及与同态。明示1：（1）对上述的同态满射习惯上称作是群的自然同态。所以这样称呼，除了的对应法则极其自然外，还告诫我们与之间的同态满射还有其余的。（2）由定义1知，自然同态必有同态核，易知，自然同态的同态核恰是。定理1表明，群的每个商群都为的同态象。而且能够以为核将这个同态关系表现出来。于是由同态象的意义（传递性）知：的每个商群都会在某些方面有些象，进而，可由商群的某些性质去推测群的一些性质。一般来说，商群要比简单些，（因为是的元素以为模归类做成的陪集而形成的群），所以，为我们在研究上带来方便。除了上述外，定理1的重要性还在于它具有某些完备性的每一个同态象就是的商群（在同构下）定理2：设与是同态的群：且，那么。证明：有结论1，所以得到商群。现定义，其中（）是映射:如果且. .但.即的对应关系与陪集的代表元选取无关是映射.（）是满射: ,是满射.使.故取,有.是满射.（）是单射,若 是单射.（），即为群同态映射由（）（）知，是群同构映射，即.明示2：按代数的观点，同构的群就是同样的群，因此，定理2表明，群只能与它的商群同态，或者说，的任何一个同态象必与的某个（且能够肯定的指明是哪个）商群一样。注意1：上述的定理1和定理2习惯统称为群的同态基本定理。（FHT）例1：设.非零实数的乘法群。首先有，,其中，可知是群同态满射（证明略），即，因为，故知，由定理2. 利用群的同态基本定理，我们可以得到有关同态关系的问题。结论3：设是群同态映射，那么必存在唯一的群同态映射，使右三角图交换（即）其中是自然同态，并且有必是单同态，而且是满射是满射。证明：由于是群同态映射，由结论1知，所以由定理1，且是自然同态。（）存在群同态单射：令.作,其中是群同态单射（按定理2的证明方法）（）是能使三角关系图交换：由的任意性（）是唯一的：若还有一个群同态单射使，那么，则，由的任意性.（）满射当且仅当是满射:若是满射由定理2是群同构是满射.若是满射.使.但.是的逆象是满射.注意2：习惯上称为的导出同态。三、子群与子群的完全原象设是映射：都知道：3的象是，而称3是的逆象（原象），但的逆象不仅3一个，还有1和4，于是令，则称是的完全原象，通常将记为同理由和的全部逆象作成的的子集。定义2：设是群同态映射，若，那么由子群中的元素在内的全部逆象构成的集合叫做的完全原象记为，即.注意3：再强调一下：是的一个子集，它由中的每个元素在之下的一切逆象组成。符号不意味存在逆映射，用只是表示求之下的全部逆象而已。定理34. 设是群同态满射,于是有下列结果(1) 若 ,那么 .(2) 若 ,那么 .(3) 若 ,并ker(4) 若 且 ker.证明: (1) 表示在下的象.于是 使 ,进而 , ,因为 . 由上知 .(2) , 由(1),另外, , 于是 ，因为 即 .注意4. 在(1)的证明中,没有用到是满射的条件,但在(2)中用到了.(3) ,那么 于是 另外, 由上知 ，且 （4） 由 （3），. 则 , .注意5. (3)和(4)的证明都没有用到是满射的条件.思考1 设是群同态,且 ,则(1)设 , 那么 对吗?(2)设 , 那么 对吗?(3)设 , 那么 对吗?(4)设 ,那么 对吗?答: (2)和(4)是正确的,而(1)和(3)是不正确的.为了更地解答(1)和(3),我们有下列结论:结论4 设 , 则 .() .于是有 () 设 ,于是 证明: () 令 故 由的任意性另外: 其中 ,于是 由的任意性知 .由上分析得 () 成立.() 令 . 即 由的任意性知 另外 , , 那么 .由 的任意性.由上分析知 最后, ()成立.四、群的第二同态定理（SHT）在FHT（同态基本定理）中知：当，则 ，这里是中单位群的完全原象，从这点出发，若用的一般不变子群来替代，会有什么结果呢？群的第二同态定理：设，而，那么 ，且.说明：（教材79页练习2）因为 ，所以 有意义，又由定理4知，所以有意义。若记自然同态:，那么有满同态 即 ：.由于的单位元为，而关于的完全原象是（为什么？）利用结论3（同态关系三角交换图）知其中， . 这里 .注意5：仔细观察SHT会发现：当取时，则，且上三角交换图为，即，可见SHT是FHT的推广或者说：FHT是SHT的特例。思考题2：如果，且，且，是否有？答：不一定能成立，原因出在哪呢？这正式下面要介绍的内容。五、同态群中子群之间的对应关系 设 , 下面讨论中子群与中子群之间的对应关系：结论5 . 设而 ,令 那么 与之间存在一一对应关系,且有(1) 若, 则 (2) 若, 则 (3) 当且 .证明：设，其中：显然是一个映射（定理3知）。又，则由定理4 是满射.如果，且,用作用等式两端知，由结论4（），是单射。综合上述知，是双射。其中：.（1）若.自然有.而若即自然有由结论4() （2）当,由定理3(2).当.由定理4(4),但 .（3）.由SHT可直接得到此结论.六 商群的子群.以及群的第一和第二同构定理结论6. 设,那么对于商群而言,我们有（1）的任一个子群都可写成的形式,其中.反之,若且,那么必是的子群.（2）.且,当时,必有.（3）设,那么.证明：（1）由于有自然同态,今取为的任一个子群.且.于是可证.那