高中数学抛物线 高考经典例题.pdf

1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨 迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 2 抛物线的图形和性质 顶点是焦点向准线所作垂线段中点 焦准距 通径 过焦点垂直于轴的弦长为 顶点平分焦点到准线的垂线段 焦半径为半径的圆 以P为圆心 FP为半径的圆必与准线相切 所有 这样的圆过定点F 准线是公切线 焦半径为直径的圆 以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的 直线相切 所有这样的圆过定点F 过顶点垂直于轴的直线是公切线 焦点弦为直径的圆 以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切 所有这 样的圆的公切线是准线 3 抛物线标准方程的四种形式 4 抛物线的图像和性质 焦点坐标是 准线方程是 焦半径公式 若点是抛物线上一点 则该点到抛物线的焦点的距离 称为焦半径 是 焦点弦长公式 过焦点弦长 抛物线上的动点可设为P或或P 5 一般情况归纳 方程图象焦点准线定义特征 y2 kx k 0时开口 向右 k 4 0 x k 4 到焦点 k 4 0 的 距离等于到准 线x k 4的距 离 k0时开口 向上 0 k 4 y k 4 到焦点 0 k 4 的 距离等于到准 线y k 4的距 离 k0 求它的焦点坐标和准线方 程 4 求经过P 4 2 点的抛物线的标准方程 分析 这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题 解题时首 先分清属哪类标准型 再录求P值 注意p 0 特别是 3 题 要先化为 标准形式 则 4 题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条 因此有两解 答案 1 2 x2 12y 3 4 y2 x或x2 8y 例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线 方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 分析 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系 数p 从实际分析 一般需确定p和确定开口方向两个条件 否则 应展 开相应的讨论 解 1 设所求的抛物线方程为y2 2px或x2 2py p 0 过点 3 2 4 2p 3 或9 2p 2 p 或p 所求的抛物线方程为y2 x或x2 y 前者的准线方程是x 后者 的准线方程是y 2 令x 0得y 2 令y 0得x 4 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 当焦点为 4 0 时 4 p 8 此时抛物线方程y2 16x 焦点为 0 2 时 2 p 4 此时抛物线方程为x2 8y 所求的抛物线的方程为y2 16x或x2 8y 对应的准线方程分别是x 4 y 2 常用结论 过抛物线y2 2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设A x1 y 1B x2 y2 是抛物线y2 2px上的两点 则AB过F的充 要条件是y1y2 p2 设A B是抛物线y2 2px上的两点 O为原点 则OA OB的充要 条件是直线AB恒过定点 2p 0 例5 过抛物线y2 2px p 0 的顶点O作弦OA OB 与抛物线分别交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 求证 y1y2 4p2 分析 由OA OB 得到OA OB斜率之积等于 1 从而得 到x1 x2 y1 y2之间的关系 又A B是抛物线上的点 故 x1 y1 x2 y2 满足抛物线方程 从这几个关系式可以得到y1 y2的值 证 由OA OB 得 即y1y2 x1x2 又 所以 即 而y1y2 0 所以y1y2 4p2 弦的问题 例1 A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 满足OAOB O为坐标原点 求证 1 A B两点的横坐标之积 纵坐标之积为定值 2 直线AB经过一个定点 3 作OMAB于M 求点M的轨迹方程 解 1 设A x1 y1 B x2 y2 则y12 2px1 y22 2px2 y12y22 4p2x1x2 OAOB x1x2 y1y2 0 由此即可解得 x1x2 4p2 y1y2 4p2 定值 2 直线AB的斜率k 直线AB的方程为y y1 x 即y y1 y2 y1y2 2px 由 1 可得 y x 2p 直线AB过定点C 2p 0 3 解法1 设M x y 由 2 知y x 2p i 又ABOM 故两直线的斜率之积为 1 即 1 ii 由 i ii 得x2 2px y2 0 x0 解法2 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点 2p 0 为直径的圆 除去 原点 立即可求出 例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2 x上移动 AB的中点为 M 求点M到y轴的最短距离 并求此时点M的坐标 解 如图 设A x1 y1 B x2 y2 M x y 则x y 又设点A B M在准线 x 1 4上的射影分别为A B M MM 与y轴 的交点为N 则 AF AA x1 BF BB x2 x x1 x2 AF BF AB 等号在直线AB过焦点时成立 此时直线AB的方程为y k x 由得16k2x2 8 k2 2 x k2 0 依题意 AB x1 x2 3 k2 1 2 此时x x1 x2 y 即M N 例3 设一动直线过定点A 2 0 且与抛物线相交于B C两点 点B C在轴上的射 影分别为 P是线段BC上的点 且适合 求的重心Q的轨迹方程 并说明该轨 迹是什么图形 解析 设 由得 又代入 式得 由得 代入 式得 由得或 又由 式知关于是减函数且 且 所以Q点轨迹为一线段 抠去一点 且 例4 已知抛物线 焦点为F 一直线与抛物线交于A B两点 且 且AB的垂直 平分线恒过定点S 6 0 求抛物线方程 求面积的最大值 解 设 AB中点 由得 又 得 所以 依题意 抛物线方程为 由及 令得 又由和得 例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2 x上移动 AB的中点为 M 求点M到y轴的最短距离 并求此时点M的坐标 解 如图 设A x1 y1 B x2 y2 M x y 则x y 又设点A B M在准线 x 1 4上的射影分别为A B M MM 与y轴 的交点为N 则 AF AA x1 BF BB x2 x x1 x2 AF BF AB 等号在直线AB过焦点时成立 此时直线AB的方程为y k x 由得16k2x2 8 k2 2 x k2 0 依题意 AB x1 x2 3 k2 1 2 此时x x1 x2 y 即M N 综合类 几何 例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P Q 通过点P和抛物线 顶点的直线交准线于点M 如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴 解 思路一 求出M Q的纵坐标并进行比较 如果相等 则MQ x 轴 为此 将方程联立 解出 直线OP的方程为即 令 得M点纵坐标得证 由此可见 按这一思路去证 运算较为繁琐 思路二 利用命题 如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相 交 两上交点的纵坐标为 那么 来证 设 并从及中消去x 得到 则有结论 即 又直线OP的方程为 得 因为在抛物线上 所以 从而 这一证法运算较小 思路三 直线MQ的方程为的充要条件是 将直线MO的方程和直线QF的方程联立 它的解 x y 就是点P的坐 标 消去的充要条件是点P在抛物线上 得证 这一证法巧用了充要条 件来进行逆向思维 运算量也较小 说明 本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时 即斜率不存在 容易证明成立 例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A B两点 点 R是含抛物线顶点O的弧AB上一点 求 RAB的最大面积 分析 求RAB的最大面积 因过焦点且斜率为1的弦长为定值 故可 以为三角形的底 只要确定高的最大值即可 解 设AB所在的直线方程为 将其代入抛物线方程 消去x得 当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时 RAB的面积有最大值 设直线l方程为 代入抛物线方程得 由得 这时 它到AB的距离为 RAB的最大面积为 例3 直线过点 与抛物线交于 两点 P是线段的中点 直线过P和 抛物线的焦点F 设直线的斜率为k 1 将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数 2 求出的定义域及单调区间 分析 过点P及F 利用两点的斜率公式 可将的斜率用k表示出来 从而写出 由函数的特点求得其定义域及单调区间 解 1 设的方程为 将它代入方程 得 设 则 将代入得 即P点坐标为 由 知焦点 直线的斜率 函数 2 与抛物线有两上交点 且 解得或 函数的定义域为 当时 为增函数 例4 如图所示 直线l过抛物线的焦点 并且与这抛物线相交于A B两 点 求证 对于这抛物线的任何给定的一条弦CD 直线l不是CD的垂直 平分线 分析 本题所要证的命题结论是否定形式 一方面可根据垂直且平 分列方程得矛盾结论 别一方面也可以根据l上任一点到C D距离相等 来得矛盾结论 证法一 假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线 因为直线l与抛物 线交于A B两点 所以直线l的斜率存在 且不为零 直线CD的斜率存 在 且不为0 设C D的坐标分别为与 则 l的方程为 直线l平分弦CD CD的中点在直线l上 即 化简得 由知得到矛盾 所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线 证法二 假设直线l是弦CD的垂直平分线 焦点F在直线l上 由抛物线定义 到抛物线的准线的距离相等 CD的垂直平分线l 与直线l和抛物线有两上交点矛盾 下略 例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA OB互相垂直 求抛物线顶点O 在AB上射影N的轨迹方程 分析 求与抛物线有关的轨迹方程 可先把N看成定点 待求得的关 系后再用动点坐标来表示 也可结合几何知识 通过巧妙替换 简化运 算 解法一 设 则 即 把N点看作定点 则AB所在的直线方程为 显然 代入化简整理得 由 得 化简得 用x y分别表示得 解法二 点N在以OA OB为直径的两圆的交点 非原点 的轨迹 上 设 则以OA为直径的圆方程为 设 OA OB 则 在求以OB为直径的圆方程时以代 可得 由 得 例6如图所示 直线和相交于点M 点 以A B为端点的曲线段 C上的任一点到的距离与到点N的距离相等 若 AMN为锐角三角 形 且 建立适当的坐标系 求曲线段C的方程 分析 因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点 以为准线的抛物线 的一段 所以本题关键是建立适当坐标系 确定C所满足的抛物线方 程 解 以为x轴 MN的中点为坐标原点O 建立直角坐标系 由题意 曲线段C是N为焦点 以为准线的抛物线的一段 其中A B 分别为曲线段的两端点 设曲线段C满足的抛物线方程为 其中 为A B的横坐标 令则 由两点间的距离公式 得方程组 解得或 AMN为锐角三角形 则 又B在曲线段C上 则曲线段C的方程为 例7如图所示 设抛物线与圆在x轴上方的交点为A B 与圆在x由上 方的交点为C D P为AB中点 Q为CD的中点 1 求 2 求 ABQ 面积的最大值 分析 由于P Q均为弦AB CD的中点 故可用韦达定理表示出P Q 两点坐标 由两点距离公式即可求出 解 1 设 由得 由得 同类似 则 2 当时 取最大值 例8 已知直线过原点 抛物线的顶点在原点 焦点在轴的正半轴 上 且点和点关于直线的对称点都在上 求直线和抛物线的方程 分析 设出直线和抛物线的方程 由点 关于直线对称 求出对称 点的坐标 分别代入抛物线方程 或设 利用对称的几何性质和三角函 数知识求解 解法一 设抛物线的方程为 直线的方程为 则有点 点关于直线的对称点为 则有解得 解得 如图 在抛物线上 两式相除 消去 整理 得 故 由 得 把代入 得 直线的方程为 抛物线的方程为 解法二 设点 关于的对称点为 又设 依题意 有 故 由 知 又 故为第一象限的角 将 的坐标代入抛物线方程 得 即从而 得抛物线的方程为 又直线平分 得的倾斜角为 直线的方程为 说明 1 本题属于点关于直线的对称问题 解法一是解对称点问题的基本 方法 它的思路明确 但运算量大 若不仔细 沉着 难于解得正确结 果 解法二是利用对称图形的性质来解 它的技巧性较强 一时难于想 到 2 本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程 在已知曲线的 类型求曲线方程时 这种方法是最常规方法 需要重点掌握 例9 如图 正方形的边在直线上 两点在抛物线上 求正方形的 面积 分析 本题考查抛物线的概念及其位置关系 方程和方程组的解法 和数形结合的思想方法 以及分析问题 解决问题的能力 解 直线 设的方程为 且 由方程组 消去 得 于是 其中 由已知 为正方形 可视为平行直线与间的距离 则有 于是得 两边平方后 整理得 或 当时 正方形的面积 当时 正方形的面积 正方形的面积为18或50 说明 运用方程 组 的思想和方法求某些几何量的值是解析几何 中最基本的 贯穿始终的方法 本题应充分考虑正方形这一条件 例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行 地球恰好位于 抛物线轨道的焦点处 当此彗星离地球为时 经过地球与彗星的直线与 抛物线的轴的夹角为 求这彗星与地球的最短距离 分析 利用抛物线有关性质求解 解 如图 设彗星轨道方程为 焦点为 彗星位于点处 直线的方程为 解方程组得 故 故 得 由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点 所以顶点是抛物线上到 焦点距离最近的点 焦点到抛物线顶点的距离为 所以彗星与地球的最 短距离为或 点在点的左边与右边时 所求距离取不同的值 说明 1 此题结论有两个 不要漏解 2 本题用到抛物线一个重要结论 顶点为抛物线上的点到焦点距离 最近的点 其证明如下 设为抛物线上一点 焦点为 准线方程为 依 抛物线定义 有 当时 最小 故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物 线的顶点 例11 如图 抛物线顶点在原点 圆的圆心是抛物线的焦点 直线 过抛物线的焦点 且斜率为2 直线交抛物线与圆依次为 四点 求的值 分析 本题考查抛物线的定义 圆的概念和性质 以及分析问题与 解决问题的能力 本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长 问题 解 由圆的方程 即可知 圆心为 半径为2 又由抛物线焦点为已 知圆的圆心 得到抛物线焦点为 设抛物线方程为 为已知圆的直径 则 设 而 在抛物线上 由已知可知 直线方程为 于是 由方程组 消去 得 因此 说明 本题如果分别求与则很麻烦 因此把转化成是关键所在 在 求时 又巧妙地运用了抛物线的定义 从而避免了一些繁杂的运算 11 已知抛物线y2 2px p 0 过焦点F的弦的倾斜角为 0 且与抛物线 相交于A B两点 1 求证 AB 2 求 AB 的最小值 1 证明 如右图 焦点F的坐标为F 0 设过焦点 倾斜角为 的直线方程为y tan x 与抛物线方程联立 消去y并整理 得 tan2 x2 2p ptan2 x 0 此方程的两根应为交点A B的横坐标 根据韦达定理 有x1 x2 设A B到抛物线的准线x 的距离分别为 AQ 和 BN 根据抛物线的定 义 有 AB AF FB AQ BN x1 x2 p 2 解析 因 AB 的定义域是0 0 的一条焦点弦AB被焦点F分成m n两部分 求证 为定值 本题若推广到椭圆 双曲线 你能得到什么结论 解析 1 当AB x轴时 m n p 2 当AB不垂直于x轴时 设AB y k x A x1 y1 B x2 y2 AF m BF n m x1 n x2 将AB方程代入抛物线方程 得 k2x2 k2p 2p x 0 本题若推广到椭圆 则有 e是椭圆的离心率 若推广到双曲线 则 要求弦AB与双曲线交于同一支 此时 同样有 e为双曲线的离心率 13 如右图 M是抛物线y2 x上的一点 动弦 ME MF分别交x轴于A B 两点 且 MA MB 1 若M为定点 证明 直线EF的斜率为定值 2 若M为动点 且 EMF 90 求 EMF的重心G的轨迹方程 1 证明 设M y02 y0 直线ME的斜率为 k k 0 则直线MF的