第4章习题答案-概率论与数理统计(郝志峰版).pdf

1 第四章连续型随机变量 画出分布函数的图形 画出分布函数的图形 的分布函数 并的分布函数 并的概率分布列写出的概率分布列写出题随机变量题随机变量第第试根据习题试根据习题 1 1 1 13 3 3 3 1 1 1 1 图形略 图形略 其分布函数为其分布函数为 解 概率分布列为解 概率分布列为 3 3 3 31 1 1 1 3 3 3 32 2 2 2657657657657 0 0 0 0 2 2 2 21 1 1 1216216216216 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0027027027027 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 343343343343 0 0 0 0441441441441 0 0 0 0189189189189 0 0 0 0027027027027 0 0 0 0 3 3 3 32 2 2 21 1 1 10 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xF F F F 的概率分布列 的概率分布列 试求试求 的分布函数是的分布函数是已知离散型随机变量已知离散型随机变量 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xF F F F 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 10101010 5 5 5 5 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 10101010 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 2 2 2 2 10101010 5 5 5 5 10101010 4 4 4 4 10101010 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 10101010 5 5 5 5 10101010 5 5 5 5 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10101010 4 4 4 4 10101010 1 1 1 1 10101010 5 5 5 5 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 10101010 1 1 1 1 0 0 0 0 10101010 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F F FF F F FP P P P F F F FF F F FP P P P F F F FF F F FP P P P解 解 2 的分布函数 的分布函数 试求试求 的分布函数为的分布函数为已知已知 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 10 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xF F F F 4 4 4 41 1 1 1 4 4 4 41 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 10 0 0 0 6 6 6 6 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 1 4 4 4 41 1 1 10 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 21 1 1 10 0 0 01 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 u u u ut t t ts s s sr r r rc c c cb b b ba a a a b b b bc c c cb b b ba a a ap p p p c c c cF F F FF F F FP P P Pc c c c u u u ux x x xF F F Fx x x x t t t tt t t tF F F FF F F FP P P P a a a as s s sF F F FF F F FP P P Pa a a a s s s ss s s sr r r rs s s sF F F FF F F FP P P P r r r rr r r rr r r rF F F FF F F FP P P P P P P PP P P PP P P P F F F FF F F FP P P P i i i i i i i i 因此 因此 从而从而 而而 时 时 又又 解 解 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 B B B BA A A A x x x x x x x xBeBeBeBeA A A A x x x xF F F F x x x x 和和求系数求系数 的分布函数是的分布函数是设连续型随机变量设连续型随机变量 4 1 1 1 1limlimlimlim0 0 0 0 limlimlimlim limlimlimlim 1 1 1 1limlimlimlim1 1 1 1 limlimlimlim 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B B B BB B B BA A A ABeBeBeBeA A A A x x x xF F F Fx x x xF F F F A A A AA A A ABeBeBeBeA A A Ax x x xF F F F x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x 从而从而 以以的分布函数也连续 所的分布函数也连续 所又因为连续型随机变量又因为连续型随机变量 得 得解 由解 由 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 2 2 2 2 x x x xF F F F P P P P A A A A x x x x x x x x x x x x A A A A x x x xf f f f 分布函数 分布函数 概率 概率 系数 系数试求 试求 的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1arcsinarcsinarcsinarcsin 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x xdxdxdxdx x x x x x x x x x x x xF F F F dxdxdxdx x x x x P P P PP P P P A A A A dxdxdxdx x x x x A A A A dxdxdxdxx x x xf f f f x x x x 解得解得 解 解 3 3 3 3 1 1 1 10 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 7 7 7 7 x x x xF F F F P P P P A A A A x x x xAeAeAeAex x x xf f f f x x x x 分布函数 分布函数 概率 概率 系数 系数试求 试求 密度函数为密度函数为服从拉普拉斯分布 其服从拉普拉斯分布 其设随机变量设随机变量 5 0 2 1 1 0 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 10 2 2 1 11 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 4 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 2 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 01 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 0 2 2 2 2 yey y yf yey y yF eyyF yFyyPyPyFy yFyyPyPyPyF xex x xF exduufduufxFxii duufxFxi y y y x x x x x 因而 综上 时 当 时 当 综上 时 当 时 当 解 0 0 0 9 2 2 2 2 EPDE x xe x xf Rayleigh x 试求 分布 其密度函数为服从瑞利设随机变量 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e e e edxdxdxdxe e e e x x x x P P P PE E E EP P P P E E E EE E E ED D D D dxdxdxdxe e e e x x x x x x x xdxdxdxdxx x x xf f f fx x x xE E E E dxdxdxdxe e e e x x x x x x x xdxdxdxdxx x x xf f f fx x x xE E E E x x x x x x x x x x x x 解 解 次之间的概率 到发生件次独立重复试验中 事 估计 在 试用切比雪夫不等式发生的概率为在每次试验中 事件 5504501000 5 0 10 A A 9 9 9 9 0 0 0 0 50505050 1 1 1 1 50505050500500500500 550550550550450450450450 250250250250 500500500500 5 5 5 5 0 0 0 0 1000100010001000 1000100010001000 2 2 2 2 D D D D P P P PP P P P npqnpqnpqnpqD D D D npnpnpnpE E E EB B B BA A A A 到 到 由切比雪夫不等式得 由切比雪夫不等式得 从而 从而次 则次 则发生发生次试验中次试验中解 设在解 设在 之间的概率 到在同时开着的灯数 不等式估算该时段内此独立 试用切比雪夫 设各盏灯的开或关彼的概率是 灯开着夜晚的某段时间内每盏万盏功率相同的灯 在一个供电网内共有 72006800 7 0 1 11 9475947594759475 0 0 0 0 200200200200 1 1 1 1 2002002002007000700070007000 72007200720072006800680068006800 21002100210021007000700070007000 7 7 7 7 0 0 0 0 10000100001000010000 2 2 2 2 D D D D P P P PP P P P npqnpqnpqnpqD D D DnpnpnpnpE E E E B B B B 由切比雪夫不等式可得由切比雪夫不等式可得 从而从而代表同时开着得灯数 代表同时开着得灯数 解 设解 设 应生产多少件 估计这批产品至少 试用切比雪夫不等式之间的概率不小于与到 率达 要使一批产品的合格的产品之合格率为设一条自动生产线生产 9 084 076 0 8 0 12 7 件产品 件产品 故 至少应生产故 至少应生产 从而 从而所以所以 由题意由题意 又又 从而从而 件 其中合格品件数为件 其中合格品件数为解 设至少生产解 设至少生产 1000100010001000 10001000100010009 9 9 9 0 0 0 0 100100100100 1 1 1 1 9 9 9 9 0 0 0 0 84848484 0 0 0 076767676 0 0 0 0 100100100100 1 1 1 1 04040404 0 0 0 0 1 1 1 1 04040404 0 0 0 08 8 8 8 0 0 0 0 84848484 0 0 0 076767676 0 0 0 0 84848484 0 0 0 076767676 0 0 0 0 16161616 0 0 0 08 8 8 8 0 0 0 0 8 8 8 8 0 0 0 0 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n P P P P n n n nn n n n D D D D n n n nn n n nP P P Pn n n nn n n nP P P P n n n n P P P P n n n nnpqnpqnpqnpqD D D Dn n n nnpnpnpnpE E E E n n n nB B B Bn n n n 的概率为个大于至少有 的值 次 使任取一常数上服从均匀分布 试求 在设随机变量 9 01 4 10 13 a a 562562562562 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 9 9 9 9 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 4 4 40 0 0 00 0 0 0 4 4 4 4 1 1 1 1 a a a aa a a a a a a ap p p pp p p pC C C CP P P PP P P P p p p pB B B BA A A A a a a adxdxdxdxdxdxdxdxx x x xf f f fA A A AP P P Pp p p p a a a aA A A A x x x x x x x xf f f f a a a aa a a a 从而从而 发生的次数 则发生的次数 则次取值中 事件次取值中 事件代表代表令令 则 则的值大于的值大于次次 取 取令令 其他其他 的密度函数的密度函数解 解 有实根的概率 程上服从均匀分布 求方在设随机变量01 6 1 14 2 xx 5 5 5 5 4 4 4 4 5 5 5 5 1 1 1 1 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 20 0 0 04 4 4 40 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 6 6 6 6 1 1 1 1 5 5 5 5 1 1 1 1 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 04 4 4 4 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 dxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxx x x xf f f fp p p p x x x xx x x x x x x x x x x xf f f f x x x x 或或有实根 则有实根 则方程方程 其他其他 的密度函数为的密度函数为解 解 分以上的概率 人在 个考生至少有意 上的均匀分布 求任 服从 某次考试中 考生得分 603 49050 15 8 738 0 4 3 3 4 3 4 604 4 3 40 1 60 0 9050 40 1 9050 90 60 1 0 1 ln 3 2ln22 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 lim 0 0 lim1 ex exx dx xdF xf FPP dbdebeeFeF dbFF cxFaxF nn 得 由 得 得分布函数的连续性 又由连续型随机变量的 得得 由分布函数的性质 解 候车时间的数学期望 点间随时到达该站 求点到 分钟 设一乘客在早分 分 为每个整点的第客车到达某一站的时刻 98 55255 17 分 分 则 则 令候车时间为 令候车时间为分 则分 则点点解 设乘客到站时刻为解 设乘客到站时刻为 7 7 7 7 11111111 60606060 1 1 1 1 65656565 60606060 1 1 1 1 55555555 60606060 1 1 1 1 25252525 60606060 1 1 1 1 5 5 5 5 60606060555555555 5 5 560606060 555555552525252555555555 252525255 5 5 525252525 5 5 5 50 0 0 05 5 5 5 60606060 0 0 0 0 8 8 8 8 60606060 55555555 55555555 25252525 25252525 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 dxdxdxdxx x x xdxdxdxdxx x x xdxdxdxdxx x x xdxdxdxdxx x x xE E E E U U U U 收益最大 问组织多少货源可使万元花保养费 积 仓库则需万元 若因售不出而囤 可得外汇 设每售出此商品位 单需求量对我国某种出口商品的假定在国际市场上每年 t tt U 1 31 4000 2000 18 9 从而 从而最大 则最大 则要使要使 则 则 再令收益为 再令收益为组织货源组织货源 其他其他 的密度函数为的密度函数为 则 则解 解 t t t t35003500350035000 0 0 0 8000800080008000 9 9 9 9 8 8 8 8 1 1 1 1 4000400040004000 3 3 3 3 2000200020002000 1 1 1 1 2000200020002000 1 1 1 1 3 3 3 3 2000200020002000 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 40004000400040002000200020002000 2000200020002000 1 1 1 1 4000400040004000 2000200020002000 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 2000200020002000 0 0 0 0 4000400040004000 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x d d d d E E E Ed d d d E E E E x x x xx x x xx x x xx x x x dxdxdxdxx x x xx x x xx x x xdxdxdxdxx x x xE E E E x x x xx x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x xf f f f U U U U x x x x x x x x 上的均匀分布 是 试证具有连续的分布函数设随机变量 1 0 19 FxF 上的均匀分布 上的均匀分布 是是因此 因此 其他其他 从而从而 时 时 在在 时 时 当当 时 时 当当 从而 从而单调连续 且单调连续 且解 因为解 因为 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 01 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 F F F F y y y y y y y yf f f f y y y y y y y yy y y y y y y y y y y yF F F F y y y yy y y yF F F FF F F Fy y y yF F F FP P P Py y y yF F F FP P P Py y y yP P P Py y y y y y y yP P P Py y y y y y y yP P P Py y y y x x x xF F F Fx x x xF F F F P P P PP P P PP P P P P P P PP P P PP P P P P P P PP P P PP P P P P P P PP P P PP P P P N N N N 所以有 所以有 解 因为解 因为 72438247 9 60 21 44332 2114321 内的概率值之比为 落在区间使 试求出分点设 xxxxx xxxxxxxN 578578578578 55555555422422422422 64646464474474474474 1 1 1 1 3 3 3 3 60606060 93939393 0 0 0 0 3 3 3 3 60606060 512512512512 58585858488488488488 61616161496496496496 0 0 0 0 3 3 3 3 60606060 69696969 0 0 0 0 3 3 3 3 60606060 60606060 60606060 60606060 60606060 1 1 1 1 0 0 0 0 3 3 3 3 60606060 9 9 9 9 60606060 1 1 1 14 4 4 4 4 4 4 44 4 4 4 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 2 2 2 23 3 3 31 1 1 14 4 4 4 x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x xx x x xx x x x N N N NN N N N 从而 从而 得到 得到由由 从而 从而 得到 得到由由 对称性 可见对称性 可见由正态分布密度函数的由正态分布密度函数的 令 令解 由解 由 6826 0 21 2 22 2 求 若设 PN 3 3 3 31 1 1 1 3 3 3 3 8413841384138413 0 0 0 0 3 3 3 3 6826682668266826 0 0 0 01 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 23 3 3 3 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 21 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 因此 因此 从而 从而 令 令解 由解 由 P P P PP P P PP P P P N N N NN N N N 11 米的概率 次误差的绝对值不超过次独立的测量中至少有求在 米 具有概率密度时发生的随机误差测量到某一目标的距离 3013 240 1 23 3200 20 2 x exf 8698 0 4931 01 1 0 1 1 1 1 4931 0 3 3 4931 01 25 1 25 0 25 0 40 20 25 1 40 2030 40 20 40 2030 3030 30 301 40 20 3 2 PPP BA P PPPAP A N 发生的次数 则件次独立重复测量中 事代表以 米 则次误差的绝对值不超过 令 解 由题意 什么 年 则上述的概率将成过 且已知此电视机已用数为 分布函不服从指数分布 设其年以上的概率 若旧电视机 问尚能使用 一台的指数分布 某人买了是服从参数值设电视机的使用寿命 sxF 5 1 0 24 1 1 1 1 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 5 5 1 1 1 1 5 5 5 5 5 5 5 5 6065606560656065 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 5 5 5 5 0 0 0 0 5 5 5 5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 s s s sF F F F s s s sF F F F s s s sP P P P s s s sP P P P s s s sP P P P s s s sP P P P s s s ss s s sP P P P e e e edxdxdxdxe e e eP P P P x x x xe e e e x x x xf f f f x x x x x x x x 其他其他 的密度函数为的密度函数为解 解 服从均匀分布 上在区间的指数分布 试证服从参数为设随机变量 1 0 12 25 2 e 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 01 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1ln ln ln ln 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1ln ln ln ln 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 U U U Ue e e e y y y y y y y yf f f f y y y y y y y yy y y y y y y y y y y yP P P Py y y yF F F F y y y ydxdxdxdxe e e e y y y yP P P Py y y ye e e eP P P Py y y yP P P Py y y y x x x xe e e e x x x xf f f fE E E E y y y y x x x x x x x x 其他其他 时 时 当当 其他其他 的密度函数为的密度函数为 解 解 12 数学期望值 件产品获利的元 试求工厂售出件产品工厂要损失元 调换获利 件产品可工厂售出年内损坏可以调换 若若在工厂规定 售出