第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案(非数学组).pdf

第四届全国大学生竞赛决赛试卷及解答第四届全国大学生竞赛决赛试卷及解答 一 本大题共一 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 解答下列各题分 解答下列各题 1 计算 0 ln lim ln ln ln 1 ln x ax xaa x a 解 设lntx 则 0 lnlnln ln ln ln lim ln ln lnlim ln ln lnlim 1 ln ln lnln 11 lnln lim 1 lnl tt x t axtatata xata x ta ata tata t 2 22 2 2ln lnln lim2ln ln n t ata a ta a 2 设 f u v具有连续偏导数 且满足 uv fu vf u vu v 求 2 x y xef x x 满足的一阶微 分方程 并求其通解 解 由已知 2 12 f x xfx xx 在 2 x ey xf x x 两边对x求导 2 2 12 2 x ey xy xf x xfx xx 故 22 2 x y xy xex 通解为 3 22222 3 xxxx x y xex e dxc eec 3 求在 0 上可微函数 f x 使 u x f xe 其中 0 x u xf t dt 解 由已知可得ln f xu x 两边对x求导得 fx u xf x f x 即 2 0fxfx 其通解为 1 f x xc 由于 0 0u 知 0 1f 故1c 即 1 1 f x x 4 计算不定积分 2 arctanln 1 xxx dx 解 222 222 2 1 arctanln 1 arctan 1 ln 1 1 2 11 arctan 1 ln 1 1 ln 1 1 22 1 arctan 1 ln 1 2 xxx dxxdxx xxxxdx xxx 2 22 2 222 1 1 ln 1 1 21 113 arctan 1 ln 1 1 ln 1 arctan 222 x xxdx x xxxxxxxc 5 过直线 102227 0 xyz xyz 作曲面 222 327xyz 的切平面 求切平面方程 解 过直线 102227 0 xyz xyz 的平面束为 10 2 2 270 xyz 设切点为 000 xy z 则满足 222 000 000 000 327 10 2 2 270 622 102 2 xyz xyz xyz 求之得 0 00 3 1 1 x yz 或 0 00 3 17 19 x yz 故切平面方程为 927xyz 或9171727xyz 二 本题二 本题 15 分 分 曲面曲面 222 12 ZxyZ 222 12 ZxyZ 密度为密度为 求在原点处质量为 求在原点处质量为 1 的质 点和 的质 点和 之间的引力 引力常数为之间的引力 引力常数为G 解 设 222 rxyz 则引力F在 x y z轴的分量分别为 333 xyz xyz FGdS FGdS FGdS rrr 由于曲面关于0 x 和0y 对称 故0 xy FF 2222 3 222 2 22 3322 22 221212 22 2 01 1 2 2 2 1 ln2 2 x xyxy z FGdS xyz xyG Gdxdydxdy xy xy G rdrG r 三 本题三 本题 15 分 分 f x在在 1 连续可导 连续可导 2 111 ln 1 1 fx fxxx 证明证明 lim x f x 存在存在 证明 由于 1 1 x f xff t dt 故当 1 fx dx 收敛时 lim x f x 存在 显然 11 ln 1 fx xx 又 33 00 22 3 2 2 3 00 2 2 11 ln 1 ln 1 ln 1 limlimlim 1 ln 1 1 111 2 limlim0 24ln 1 1ln 1 xtt tt tttt xx tttt x t t ttt t 同时 3 1 2 1 dx x 收敛 故 1 11 ln 1 dx xx 收敛 由比较判别法 1 fx dx 绝对收敛 得证 四 本题四 本题 15 分 分 f x在在 2 2 二阶可导 二阶可导 2 2 1 0 0 4 f xff 证证 2 2 使得使得 0 ff 证明 在 2 0 和 0 2 上分别使用 Lagrange 中值定理 分别 12 2 0 0 2 使得 12 0 2 2 2 0 2 ffffff 令 2 2 g xfxfx 考虑 g x在闭区间 12 上的最大值 记 12 max x gMg x 由于 1f x 知 12 0 2 2 0 1 1 22 ffff ff 故 22 22 111222 2 2 gffgff 而 2 2 0 0 0 4gff 且 12 0 知 12 max 4 x gg x 由此可得 12 根据 Fermat 定理 0g 即 2 2 0gffff 又由 2 2 4gff 以及 2 1f 知 0f 于是有 0 2 2 ff 五 本题五 本题 15 分 分 求求 22 22 1 xy Ixyxydxdy 解 记 2222 12 2222 11 00 xyxy DD xyxyxyxy 则 12 2222 12 DD Ixyxydxdyxyxy dxdyII 引入极坐标 则 12 0sincos 0sincos1 0 44 3 01 0 sincos1 224 337 0sincos 01 2444 rr DrDr rr 故 0sincos1 22 2 1 000 4 3 sincos 2 4 0 2 sincos sincos sincos 1211 3212383212216 Idrrrrdrdrrrrdr drrrrdr 3 011 22 4 2 sincossincos 4 2 7 1 2 4 3 0 4 sincossincos sincos 123123217 2 4332433243216 Idrrrrdrdrrrrdr drrrrdr 于是 12 3 1 8 III 六 本题六 本题 15 分 分 若对任意收敛于若对任意收敛于0的数列的数列 n x级数级数 1 nn n a x 都收敛 证明级数都收敛 证明级数 1 n n a 收敛收敛 证明 用反证法 若级数 1 n n a 发散 令 1 n